1、fpgfpg2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1) 0ln(1)imcosx.(2)微分方程 yx通解是 .(3)设 是锥面 2z( 01z)下侧,则 23(1)xdyzxzdy .(4)点 (2,10)到平面 345xy距离 z= .(5)设矩阵 2A, E为 2 阶单位矩阵,矩阵 B满足 2AE,则 B= .(6)设随机变量 X与 Y相互独立,且均服从区间 0,3上均匀分布,则max,1P= .二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出四个选项中,只有一
2、项符合题目要求,把所选项前字母填在题后括号内)(7)设函数 ()yfx具有二阶导数,且 ()0,()fxf, x为自变量 在 0x处增量, 与 d分别为 在点 0处对应增量与微分,若 ,则(A) 0xy(B) yd(C) (D) 0(8)设 (,)fxy为连续函数,则 140(cos,in)dfrrd等于(A)2210(,)xdfy(B)2210(,)xfy(C)2210(,)yfd(C)2210(,)ydfdx(9)若级数 1na收敛,则级数fpgfpg(A) 1na收敛 (B) 1()na收敛(C) 1n收敛 (D) 112n收敛 (10)设 (,)fxy与 (,)均为可微函数 ,且 1(
3、,)0yx.已知 0(,)xy是 (,)fx在约束条件 0下一个极值点,下列选项正确是(A)若 ()xfy,则 0(,)yfx(B)若 0(,)xfy,则0(,)yf(C)若 0(,)xfy,则 0(,)yfx (D)若 0(,)xfy,则0(,)yf(11)设 12,s 均为 n维列向量, A是 mn矩阵,下列选项正确是(A)若 s 线性相关,则 12,s 线性相关(B)若 12,s 线性相关 ,则 ,s 线性无关(C)若 ,s 线性无关 ,则 12,sA 线性相关(D)若 12,s 线性无关,则 ,s 线性无关.(12)设 A为 3 阶矩阵,将 第 2 行加到第 1 行得 B,再将 第 1
4、 列-1 倍加到第 2列得 C,记01P,则(A) 1 (B) 1CPA (C) TPA(D) T(13)设 ,B为随机事件,且 ()0,(|)1PBA,则必有(A) ()(B) ()(PAB(C) PA(D) (14)设随机变量 X服从正态分布 21(,)N,Y服从正态分布 2(,)N,fpgfpg且 12|1,PXPY则(A) 2 (B) 12(C) 1 (D)三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 10 分)设区域 D= 2,1,0xyx,计算二重积分 21DxyId.(16)(本题满分 12 分)设数列 n满足 110,
5、sin1,2.求:(1)证明 limx存在,并求之.(2)计算21linxx.(17)(本题满分 12 分)将函数 2f展开成 x幂级数.(18)(本题满分 12 分)设函数 0, ,fu在 内 具 有 二 阶 导 数 且 2zfxy满足等式2zxy.(1)验证 0fuf.(2)若 1,1,ff求函数 ()fu表达式.(19)(本题满分 12 分)设在上半平面 ,0Dxy内,数 ,fxy是有连续偏导数,且对任意 0t都有2,ftxytf.证明: 对 L内任意分段光滑有向简单闭曲线 L,都有 (,)(,)yfxdfxyA.(20)(本题满分 9 分)已知非齐次线性方程组fpgfpg1234145
6、xxab有 3 个线性无关解,(1)证明方程组系数矩阵 A秩 2r.(2)求 ,ab值及方程组通解.(21)(本题满分 9 分)设 3 阶实对称矩阵 各行元素之和均为 3,向量 12,0,1TT是线性方程组 0xA两个解 .(1)求 特征值与特征向量 .(2)求正交矩阵 Q和对角矩阵 A,使得 TQ.(22)(本题满分 9 分)随机变量 x概率密度为 21,02,4令其 它xxf yFxy为二维随机变量(,)XY分布函数 .(1)求 概率密度 Yfy.(2) 1,42F.(23)(本题满分 9 分) 设总体 X概率密度为 (,0)FX 1012x其,其中 是未知参数 (01),12n,.为来自
7、总体 简单随机样本,记 N为样本值 12,.nx中小于 1 个数,求最大似然估计.fpgfpg2006 年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1 ） = 2 .0ln(1)imcosx（ ）,lx0当 时（2 ）微分方程 通解是 ，这是变量可分离方程.()y()xyce（3 ）设 是锥面 下侧，则21)xZ=3(2xdyzzdxy补一个曲面 上侧2:1xz1,3()PQyRz126xz （ 为锥面 和平面 所围区域）1dxyz1（ 为上述圆锥体体积）V623而 1 (1)0dyzxzdy（在 上： ）,（4 ） ,04502xyzd点 (2)到 平 面 3的 距 离221d(5)设
8、 A= 2 1 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则| B|= .-1 2解:由 BA=B +2E 化得 B(A-E)=2E,两边取行列式,得|B|A-E|=|2E|=4,计算出| A-E|=2,因此| B|=2.（6 ） 91二、选择题（7 ）设函数 具有二阶导数，且 ， ， 为自变量 在 处()yfx()0fx()fxx0增量， 与 分别为 在点 处对应增量与微分.若 ，则df0 0Afpgfpg0)(0)(0)(0)( ydDyCdyBdyA,fxf因 为 则 严 格 单 调 增 加()()则 是 凹 的 y,故又 2 2102 21 10 0(8) (cos,in)CA(,)B
9、)(,x xfydfrrddfyfy 4设 为 连 续 函 数 则 等 于2 22 21 10 0(C),(D,)y yfddfd1111 19()()()2nnn nnaABaCaDa 若 级 数 收 敛 ,则 级 数收 敛 收 敛收 敛 收 敛 也 收 敛 000 00(),)(,)(,),(,)yxy xyf fxffxffx 设 与 均 为 可 微 函 数 且 已 知 (,)是在 约 束 条 件 下 的 一 个 极 值 点 下 列 选 项 正 确 的 是 DA若 ,=则 ,B若 ,=则 (,)(C)若 )则 ()()若 )则0 000 0,1()()(2), , (,)(,)(), (
10、,)(),xxyyy yxy xx fyff fyfxf 构 造 格 朗 日 乘 子 法 函 数 FF=今 代 入 1得今 0,yf D则 故 选(11)设 1,2,s 都是 n 维向量， A 是 mn 矩阵，则（ ）成立.(A) 若 1,2,s线性相关,则 A1,A2,As线性相关.(B) 若 1,2,s线性相关,则 A1,A2,As线性无关.(C) 若 1,2,s线性无关,则 A1,A2,As线性相关.(D) 若 1,2,s线性无关,则 A1,A2,As线性无关.解: (A)本题考是线性相关性判断问题,可以用定义解.若 1,2,s线性相关,则存在不全为 0 数 c1,c2,cs使得 c11
11、+c22+css=0,用 A 左乘等式两边,得fpgfpgc1A1+c2A2+csAs=0,于是 A1,A2,As线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.1,2,s线性无关 r( 1,2,s)=s.2. r(AB) r(B).矩阵( A1,A2,As)=A(1,2,s),因此r(A1,A2,As) r(1,2,s).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设 A 是 3 阶矩阵,将 A 第 2 列加到第 1 列上得 B,将 B 第 1 列-1 倍加到第 2 列上得 C.记 1 1 0P= 0 1 0 ,则0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-
12、1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中作用得出B=PA ,1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.0 0 1（13 ）根据乘法公式与加法公式有：P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)应选 C（14 ）依题： ).1,0(),10(21NYx，,11XPX.222YY因 ,11PXP即 .2211 Yp所以 .,221应选 A三、解答题fpgfpg2 2212102 202 1(15)(,)1,0,:1ln()lnDD xyxyxIddrIxydr 设 区 域 计 算 二 重
13、 积 分解 2111221(6) ,si(,)1lim()():sin,0,2i0, lim,nnnnxnn nxxxA 设 数 列 满 足求 证 明 存 在 ,并 求 之计 算解 因 此 当 时 单 调 减 少又 有 下 界 ， 根 据 准 则 1,存 在 递 推 公 式 两 边 取 极 限 得si,A21in(2)lm(),nx原 式 =为 “型离 散 型 不 能 直 接 用 洛 必 达 法 则2201sinlim()0sinl()tttt e先 考 虑 2320 3001(cosin) 11()0()lim 6cosinsin 12 62limlim2 6t t tttttt teeee
14、 A(7)()xf x将 函 数 展 开 成 的 幂 极 数2121ABfx解 : 2(1)(),3,3ABxA令,3,x令 )(1)2(31)()2()( xxxxf 0001 ,3nnnfpgfpg（18 ）设函数 内具有二阶导数，且 满足等式()0,)fu在 2Zfxy2zxy（I）验证 ()0fuf（II）若 求函数(1)0,1()f的 表 达 式证：（I） 2 22 2;zxzyfxyfxy 222 22 2xyzxfxyfx 2 22 23yf f 2 2 22 23zyxfxfxy y 同 理 22 2()00() fzfyx xfuf 代 入 得 成 立（II）令 (),;dp
15、duf cu则lnl,()cpucf22(1)ln|,(1)0,()ln|f fcfu由 得 于 是fpgfpg（19 ）设在上半平面 内，函数 具有连续偏导数，且对任意(,)|0Dxy(,)fxy都有0t2(,),ftxytf证明：对 D 内任意分段光滑有向简单闭曲线 L，都有 .0),(,dyxffL证：把 2(,),ftxytft两 边 对 求 导得： ()(,)xyfxy令 ，则1t,2xyf再令 (,)(,)PyQfx所给曲线积分等于 0 充分必要条件为 Py今 (,)(,)xfyfx,yPff要求 成立，只要Qx(,)(,)2(,)xyffxfxy我们已经证明， ，于是结论成立.P
16、y(20)已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有 3 个线性无关解. 证明此方程组系数矩阵 A 秩为 2. 求 a,b 值和方程组通解. 解: 设 1,2,3是方程组 3 个线性无关解,则 2-1,3-1是 AX=0 两个线性无关解.于是 AX=0 基础解系中解个数不少于 2,即 4-r(A)2,从而 r(A)2.fpgfpg又因为 A 行向量是两两线性无关,所以 r(A)2.两个不等式说明 r(A)=2. 对方程组增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|)= 4 3 5 -1
17、-1 0 1 1 5 3 ,a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由 r(A)=2,得出 a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0) T和 AX=0 基础解系(-2,1,1,0) T,(4,-5,0,1) T.得到方程组通解: (2,-3,0,0) T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(21) 设 3 阶实对称矩阵 A 各行元素之和都为 3,向量 1=(-1,2,-1)
18、T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组 AX=0 解. 求 A 特征值和特征向量. 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 ,使得Q TAQ=. 解: 条件说明 A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 0=(1,1,1)T是 A 特征向量,特征值为 3.又1,2都是 AX=0 解说明它们也都是 A 特征向量,特征值为 0.由于 1,2线性无关, 特征值 0 重数大于 1.于是 A 特征值为 3,0,0.属于 3 特征向量:c 0, c0.属于 0 特征向量:c 11+c22, c1,c2不都为 0. 将 0单位化,得 0=( , , )T.3对 1,2作施密特正交化, 1=(0,- , )T,2
19、=(- , , )T.36作 Q=(0,1,2),则 Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .0 0 0 fpgfpg（22 ）随机变量 概率密度为 ，令 ， 为二维随X其 他,0241,)(xxfX 2XY),(yxF机变量 分布函数.）（ Y,（）求 概率密度；（ ） )4,21(F解：（） yyXPyYFY 4,1)2(0,()()2式式；yydxyP003)()1(式.yyX0014122)()2(式所以： 其 他,0418,3)( yyFfYY这个解法是从分布函数最基本概率定义入手，对 y 进行适当讨论即可，在新东方辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（）
20、 )4,21(F )21()2,1()4,21() XPXPXPYXP.412dx（23 ）设总体 概率密度为 ，其中 是未知参数（00 内任意分段光滑简单闭曲线 C，有fpgfpg；02)(4Cyxd（II）求函数 表达式.)(（20 ） （本题满分 9 分）已知二次型 秩为 2.212321321 )()()(,( xaxaxxf （I） 求 a 值；（II） 求正交变换 ，把 化成标准形；Qy),(321f（III） 求方程 =0 解.),(321xf（21 ） （本题满分 9 分）已知 3 阶矩阵 A 第一行是 不全为零，矩阵 （k 为常cba,),( B63421数） ，且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0 通解（22 ） （本题满分 9 分）设二维随机变量(X,Y)概率密度为.,20,1,),(其 他 xyxyxf 求：（I） (X,Y)边缘概率密度 ；)(,fYX（II） 概率密度YXZ2.zZ（23 ） （本题满分 9 分）设 为来自总体 N(0,1)简单随机样本， 为样本均值，记)(,21n X.iYii 求：（I） 方差 ；i niDY,21,（II） 与 协方差1n).(Cov
