1、习题 1.1 1 证明下列集合等式 (1) CABACBA ； (2) CBCACBA ； (3) CABACBA 证明 (1) )()CB( cCBAA )()( cc CBAABA cCABA )()( )()( CABA . (2) cCBAA )(CB)( )()( cc CBCA = )()( CACA . (3) )(C)(B cCBAA ccCBA )( )( CBA c )()( CABA c )()( CABA . 2 证明下列命题 (1) ABBA 的充分必要条件是 ： AB ； (2) ABBA 的充分必要条件是： BA ； (3) BBABBA 的充分必要条件是： B
2、证明 (1) ABABBBABBABBA cc )()()()( 的充要条 是： .AB (2) cccc BABBBABBABBA )()()()( 必要性 . 设 ABBA )( 成立，则 ABA c , 于是有 cBA , 可得 .BA 反之若 ,BA 取 BAx , 则 BxAx 且 , 那么 BxAx 且 与 cBA 矛盾 . 充分性 . 假设 BA 成立 , 则 cBA , 于是有 ABA c , 即 .)( ABBA (3) 必要性 . 假设 BBABBA )()( , 即 . cCABABA 若 ,B 取 ,Bx 则 ,cBx 于是 ,cBAx 但 ,BAx 与 cCABA 矛
3、盾 . 充分性 . 假设 B 成立 , 显然 BABA 成立 , 即 BBABBA )()( . 3 证明定理 1.1.6 定理 1.1.6 (1) 如果 nA 是渐张集列 , 即 ),1(1 nAA nn 则 nA 收敛且 1 ;lim n nnn AA (2) 如果 nA 是渐缩集列 , 即 ),1(1 nAA nn 则 nA 收敛且 1 .lim n nnn AA证明 (1) 设 ),1(1 nAA nn 则对任意 1 ,n nAx存在 N 使得 ,NAx 从而),( NnAx N 所以 ,lim nn Ax 则 .lim1 nnn n AA 又因为 1 ,limlim n nnnnn
4、AAA由此可见 nA 收敛且 1 ;lim n nnn AA(2) 当 )1(1 nAA nn 时 , 对于 ,limnn Ax 存在 )1(1 knn kk 使得),1( kAx kn 于是对于任意的 ,1n 存在 0k 使得 nnk 0 , 从而 ,0 nn AAx k 可见.lim 1 n nnn AA 又因为 ,limlim1 nnnnn n AAA 所以可知 nA 收敛且 1 .lim n nnn AA 4 设 f 是定义于集合 E 上的实值函数 ， c 为任意实数 ， 证明 ： (1) ncfEcfE n 1 1； (2) ncfEcfE n 1 1； (3) 若 )()(lim
5、Exxfxfnn ， 则对任意实数 c 有 kcfEkcfEcfE nnknNnNk 1lim1 111 证明 (1) 对任意的 ,cfEx 有 ,)( cxf 则存在 Zn 使得 ncxf 1)( 成立 . 即 ,1 ncfEx那么 .11 n ncfEx故 ;11 n ncfEcfE另一方面 , 若 ,11 n ncfEx则存在 Zn0 使得 ,11 0 n ncfEx于是cncxf 01)( , 故 cfEx . 则有 .11 n ncfEcfE (2) 设 cfEx , 则 cxf )( , 从而对任意的 Zn , 都有 ncxf 1)( , 于是 1 1n ncfEx , 故有 ;1
6、1 n ncfEcfE 另一方面 , 设 11n ncfEx, 则对于任意的 Zn , 有 ncxf 1)( , 由 n 的任意性 , 可知 cxf )( , 即 cfEx , 故 11n ncfEcfE. (3) 设 cfEx , 则 cxf )( . 由 ),)()(lim Exxfxfnn 可得对于任意的Zk , 存在 N 使得 )(1|)()(| Nnkxfxfn , 即 )1(11)()( kkckxfxfn, 即 kcxfn 1)( , 故 )1(1lim kkcfEx nn, 所以 11limk nn kcfEx, 故 1 1limk nn kcfEcfE ； 另一方面 , 设
7、101limk nn kcfEx, 则对任意 Zk 有 kcfEx nn 1lim0. 由下极限的定义知：存在 1N 使得当 1Nn 时 , 有 )(10 ZkkcfEx n, 即对任意Zk 有 kcxfn 1)( 0 ; 又由 ),)()(lim Exxfxfnn 知 ),()(lim00 xfxf nn 即对任意的 Zk , 存在 2N 使得当 2Nn 时 , 有 kxfxfn 1|)()(| 00 . 取 ,max 21 NNN , 则有 kcxfn 1)( 0 与 kxfxfn 1|)()(| 00 同时成立 , 于是有 kcxfkxfn 1)(1)( 00 , 从而 kcxf 2)(
8、0 , 由 k 的任意性知： cxf )( 0 , 即 cfEx 0 , 故有 1 1limk nn kcfEcfE ; 综上所述： .11lim1 11 k N Nn nnn n kcfEkcfEcfE5 证明集列极限的下列性质 (1) cnncnn AA limlim_ ； (2) cnncnn AA_limlim ； (3) nnnn AEAE limlim； (4) nnnn AEAE limlim 证明 (1) cnnn nm cmn cnm mcn nm mcnn AAAAA lim)()(lim111_ . (2) cnnn n nm cmcnm mcn nm mcnn AAAA
9、A_1 11 lim)()(lim . (3) 1 11 )()()(lim n nm n nmcmcmn nm mnn AEAEAEAEcn nm mncnm mn nmcm AEAEAE )()()(111 1 lim n nm nnm AEAE. (4) 11 1 )()()(lim n nmcmn nm n nmcmmnn AEAEAEAE cn nm mncnm mn nmcm AEAEAE )()()(111 1 lim n nm nnm AEAE. 6 如果 , nn BA 都收敛 ， 则 , nnnnnn BABABA 都收敛且 (1) nnnnnnn BABA limliml
10、im ； (2) nnnnnnn BABA limlimlim ； (3) nnnnnnn BABA limlimlim 习题 1.2 1 建立 区间 )1,0( 与 1,0 之间的一一对应 解 令 1 1 1 1 , , , , 2345E , 1110,1 , , , 234F , (0,1)DE , 则 (0,1) ED ,0,1 FD . 定义 : (0,1) 0,1 为 : ;11( ) ; ( 1 , 2 , )210;2x x Dx x nnnx 则 为 (0,1) 0,1 之间的一个一一对应 . 2 建立区间 , ba 与 , dc 之间的一一对应 ， 其中 dcba , 解
11、定义 : : , , a b c d 为 : ( ) ( ) . ( , )d c d c b c a dx x a c x x a bb a b a b a 可以验证 : : , , a b c d 为一个一一对应 . 3 建立区间 ),( ba 与 , dc 之间的一一对应 ， 其中 dcba , 解 令 , , , 234b a b a b aE a a a ， , , , , 23d c d cF c d c c ( , ) D a b E . 定义 : ( , ) , a b c d 为 : ;( ) ; ( 1 , 2 . )2;.2d c b c a dx x Db a b ad
12、 c b ax c x a nnnbac x a 可以验证 : : ( , ) , a b c d 为一个一一对应 . 4 试问 ： 是否存在连续函数 ， 把区间 1,0 一一映射为区间 )1,0( ?是否存在连续函数 ，把区间 1,0 一一映射为 4,32,1 ? 答 不存在连续函数把区间 0,1 一一映射为 (0,1) ; 因为连续函数在闭 区间 0,1 存在最大、最小值 . 也不存在连续函数把区间 0,1 一一映射为 1,2 3,4 ; 因为连续函数在闭区间 1,2上存在介值性定理 , 而区间 1,2 3,4 不能保证介值性定理永远成立 . 5 证明 ： 区间 2)1,0()1,0()1
13、,0( R 且 2R 证明 记 (0,1)A ,则 (0,1) (0,1)AA . 任取 ( , )x y A A, 设 1 2 3 1 2 30 . , 0 . ,x a a a y b b b 为实数 ,xy正规无穷十进小数表示 , 并令 1 1 2 2( , ) 0 .f x y a b a b , 则得到单射 :f A A A. 因此由定理 1.2.2 知A A A . 若令 1 0.5AA , 则 1A A A A. 从而由定理 1.2.2 知 : A A A . 最后 , 根据 Bernstein 定理知 : (0,1) (0,1) (0,1) . 对于 ( , ) (0,1 )
14、(0,1 )xy ,定义 2: (0,1) (0,1) R 为 : ( , ) ( ( ) , ( ) )22x y t g x t g y , 则 为 2(0,1) (0,1) R的一个一一对应 ,即 2(0,1) (0,1) R . 又因为 : (0,1)R , 则由对等的传递性知 : 2( 0 ,1 ) ( 0 ,1 ) ( 0 ,1 ) RR 且 2RR . 6 证明 ： 1:),( 22 yxyxA 与 1:),( 22 yxyxB 对等并求它们的基数 证明 令 22 1 ( , ) : ( 1 , 2 , 3 , ) E x y x y nn , D A E , 22 1 ( ,
15、) : ( 1 , 2 , 3 , ) 1F x y x y nn . 则 ,A E D B F D. 定义 : :AB 为 : 2 2 2 2( , ) ; ( , ) ,( , ) 11; ( 1 , 2 , 3 , ) , ( , ) .1x y x y Dxy x y x y n x y Enn 可以验证 : :AB 为一一对应 , 即 AB. 又因为 2 ( 0 ,1) ( 0 ,1) B R R , 所以 AB . 7 证明 ： 直线上任意两个区间都是对等且具有基数 证明 对任意的 ,I J R， 取有限区间 ( , )ab I， 则 ( , )a b I R , 则由Bernst
16、ern 定理知 I , 同理 J . 故 IJ . 习题 1.3 1 证明 ： 平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集 M 是可数集 证明 因为有理数集 Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以 M 中的每个元素由 Q 中的六个相互独立的数所确定，即 Q ,: 621621 xxxaM xxx 所以 M 为可数集 . 2 证明 ： 由平面上某些两两不交的闭圆盘之集 M 最多是可数集 证明 对于任意的 MO , 使得 Q)(Of . 因此可得： QMf : . 因为 1O 与 2O 不相交，所以 )()( 21 OfOf . 故 f 为
17、单射，从而 aM Q . 3 证明 ： （ 1） 任何 可数 集都可表 示 成 两个不交 的 可数 集之并 ；（ 2） 任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并 证明 (2) 当 E 可数时，存在双射 Q)1,0(: Ef . 因为 1 1,11)1,0( n nn QQ 所以 11 11 1,11)1,0( n nn AnnffE QQ. 其中： )(),3,2,1(1,111 jiAAnnnfA jin 且Q. 又因为 QQ nnnnf 1,111,111 且 Q nn 1,11 可数，所以 E 可表示成 可数个两两不交的无限集之并 当 E 不可数时，由于 E 无限，所以存在可数集 E
18、E1 , 且 1EE 不可数且无限，从而存在可数集 12 EEE ，且 )()( 2121 EEEEEE 无限不可数 . 如此下去，可得),3,2,1( nEn 都可数且不相交，从而 1011 )()( EEEEEE i in i . 其中 )0( iEi 无限且不交 . 4 证明 ： 可数个不交的非空有限集之并是可数集 5 证明 ： 有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集 证 明 有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集 . 6 证明 ： 单调函数的不连续点之集至多是可数集 证明 不妨设函数 f 在 ),( ba 单调递增，则 f 在 0x 间断当且
19、仅当 0)(lim)(lim)0()0( _0000 xfxfxfxf xxxx. 于是，每个间断点 0x 对应一个开区间 )0(),0( 00 xfxf . 下面证明：若 xx 为 ()fx的两个不连续点，则有 ( 0) ( 0)f x f x . 事实上，任取一点 1x ，使 1x x x ，于是 11( 0 ) l i m ( ) i n f ( ) ( ) s u p ( ) l i m ( )xxx x x xx x xf x f x f x f x f x f x ， 从而 x 对应的开区间 ( ( 0), ( 0)f x f x与 x 对应的开区间 ( ( 0 ), ( 0 )f
20、 x f x 不相交，即 不同的 不连续点 对应的开区间互不相交， 又 因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集 . 7 证明 ： 若存在某正数 d 使得平面点集 E 中任意两点之间的距离都大于 d ， 则 E 至多是可数集 证明 定义映射 :)3,(: ExdxEf ，即 )(3,()( ExdxDxf ，其中 )3,( dxD 表示以 Ex 为中心，以 3d 为半径的圆盘 . 显然当 yx 时，有 )3,()3,( dyDdxD ，即)()( yfxf ，于是 f 为双射，由第 2 题知： aExdx :)3,( ，故 aE . 习题
21、1.4 1 直线上一切闭区之集具有什么基数？区间 , ba 中的全体有理数之集的基数是什么 ? 答 直线上一切闭区间之集的基数是 c . 这是因为： 2),(,: R babaf 为单射，而 R abaf ,: 为满射，所以 cMc 2RR . 区间 , ba 中的全体有理数之集的基数是 c ，这是因为： abaa QQ, . 2 用 , baC 表示 , ba 上的一切连续实值函数之集 ， 证明 ： (1) 设 , 21 nrrrba Q ， , baCgf ， 则 gf ),2,1)()( krgrf kk ； (2) 公式 ),(,),(),()( 21 nrfrfrff 定义了 单射
22、)(,: RSbaC ； (3) cbaC , 证明 (1) 必要性 . 显然 . 充分性 . 假设 ),2,1)()( krgrf kk 成立 . 因为 , 321 rrrbax ，存在有理数列 1 nnx，使得 xxnn lim，由 , bacgf ，可得 )()lim()(lim xfxfxf nnn 及 )()lim()(lim xgxgxg nnn . 又因为 1 nnx为有理点列，所以有 )()( nn xgxf ，故 , bax ，都有 )()( xgxf . (2) , bacgf ，设 )()( gf ，即 ),(,),(),(),(,),(),( 2121 nn rgrgr
23、grfrfrf . 由 (1)知： gf . 故 为单射 . (3) 由 (2) 知： cRSbac )(, ；又由 , bacR ，可得 , bacc R . 故cbaC , . 3 设 , baF 为闭区间 1,0 上的一切实值函数之集 ， 证明 ： (1) ,:)(,()( baxxfxf 定义了一个单射 )(,: 2RPbaF ； (2) 1,0E ， EE )( 定义了单射 ,)1,0(: baFP ； (3) , baF 的基数是 c2 证明 (1) , baFgf ，设 )()( gf ，即 ,:)(,(,:)(,( baxxgxbaxxfx . 从而 ),)()( baxxgx
24、f ，故 为单射 . (2) 1,0, FE ，设 )()( FE ，则 FE FE )()( ，故 为单射 . (3) 由 (1) 知： cPbaF 2)(, 2 R ； 又由 (2) 知： ,2)1,0( baFP c ，故cbaF 2, . 4 证明 ： cnC 证明 因为 RRC ，而 cRR ，故 cC ；又由定理 14.5 知： cnC . 5 证明 ： 若 E 为任一平面点集且至少有一内点 ， 则 cE 证明 显然 cE RR . 设 00 Ex ，则 0 使得 ExB ),( 0 ，可知ExBc ),( 0 ，故 cE . 第一章总练习题 .1 证明下列集合等式 (1) FFE
25、FEEFE ； (2) GFGEGFE 证明 (1) 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c cE E F E E F E E F E E E F E F , ( ) ( ) ( ) ( ) c c cE F F E F F E F F F E F . 所以 ( ) ( ) E F E E F E F F. (2) 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,c c c cE F G E F G E F G E G F G E G F G 所以 GFGEGFE . .2 证明下列集合等式 (1) BABAnnnn 11 ； (2) BABAnnnn 11 证明
26、 (1) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )ccn n n nn n n nA B A B A B A B . (2) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )ccn n n nn n n nA B A B A B A B . 3 证明 ： 22 ccE f g c E f E g ， 其中 gf, 为定义在 E 的两个实值函数 ，c 为任一常数 证明 若 ( ) ( )22ccx E f E g , 则有 ()2cfx 且 ()2cgx , 于是 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f g x c , 故 ()x E f g c . 所以 ( ) ( ) ( )22ccE f g
27、 c E f E g . 4 证明 ： nR 中的一切有理点之集 nQ 与全体自然数之集对等 证明 因为 0Q ,所以 0Q Q Q Qn (推论 1.3.1). 又因为 0N , 所以0Qn N , 故 Qn N . 5有理数的一切可能的 序 列所成之集 )(QS 具有什么基数？ 6 证明 ： 一切有理系数的多项式之集 xQ 是可数集 证明 设 ,Q,0,:Q 1100111 nnnnnnnnnn aaaaaaxaxaxaxPxPx 于是 .QQ 0 n n xx 显然 ,QQ 1nxn 所以 ,QQ 1n axn 因此由定理 1.3.5 知： .Q ax 7 证明 ： 一切实系数的多项式之
28、集 xR 的基数为 c 证明 记 ,R,0,:R 1100111 nnnnnnnnnn aaaaaaxaxaxaxPxPx 于是 .RR 0 n n xx 显然 ,RR 1nxn 所以 ,RR 1n cxn 因此由定理 1.4.3 知： .R cx 8 证明 ： 全体代数数 (即可作为有理系数多项式之根的数 )之集是可数集 ， 并由此说明超越数 (即不是代数数的实数 )存在，而且全体超越数之集的基数是 c 证明 由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为 , 210 nPPPP 记多项式 )(xPn 的全体实根之集为 ,nA 由于 n 次多项式根的个数为有限个，故 nA 为有限集，从而代数数
29、全体 0n nAA为可数个有限集的并，故 A 为可数集，即 .aA 设超越数全体所成之集为 ,B 即 ,R AB 则 R,BA 从而 B 必为无限集，由于A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故 .R cBAB 9 证明 ： ABBA ， 则 BA 证明 因为 ),()(),()( BAABBBABAA 又因为 ,)()(, BAABBABABABAABBA 所以由保并性知 ),()()()( BAABBABA 即 .BA 10 证明 ： 若 , DBBA 则 DA 证明 (反证法 ) 假设 ,DA 则由已知可得 ,BD 这与 DB 矛盾 . 故有 DA . 11 证明 ： 若
30、cBA ， 则 cA 或 cB 证明 假设 ,aBA 则有 ,aBA 这与 cBA 矛盾，故有 cA 或 cB . 12 证明 ： 若 cAkk Z， 则存在 Zk 使得 cAk 证明同上 . 习题 2.1 1若 E 是区间 1,01,0 中的全体有理点之集，求 bEEEE , 解 E ； 0 ,1 0 ,1bE E E 。 2设 )0,0(1s i n,10:),( xyxyxE，求 bEEEE , 解 E ； ( , ) : 0 , 1 1 .bE E x y x y E E 3下列各式是否一定成立 ? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明 (1) 11nnnnEE ； (2) )()(
31、BABA ； (3) nnnn EE 11 ； (4) BABA ； (5) BABA )( ； (6) .)( BABA 解 (1) 不一定。如设 12= , , , , nr r rQ ， nnEr （单点集） ，则1()nn E QR, 而1 .nn E 但是，总有11nnnnEE 。 (2) 不一定。如 AQ , BRQ , 则 ( ) ,AB 而 .AB R R = R (3) 不一定。如设 12= , , , , nr r rQ ， nnEr （单点集），则1 nn E QR, 而1 .nn E Q但是，总有11nnnnEE。 (4) 不一定。如 ( , )A ab ， ( , )
32、B bc ，则 AB ，而 A B b 。 (5) 不一定。如 , A ab , , B bc , 则 ( , )A a b , ( , )B b c ，而 ( ) ( , )A B a c ， ( , ) A B a c b . (6) 成立。因为 A B A , A B B , 所以 ()A B A , ()A B B 。因此，有 ()A B A B 。设 x A B , 则存在 1 0 ， 2 0 使得 1( , )B x A 且2( , )B x B , 令 12min( , ) , 则 ( , )B x A B 。故有 ()x A B ，即()A B A B 。因此， ()A B A
33、 B . 4试作一点集 A ，使得 A ，而 )(A 解 令 1 1 1 11, , , , , , 234A n ，则 0A ， ()A . 5试作一点集 E ，使得 bEE 解 取 EQ ，则 bER 。 6证明：无聚点的点集至多是可数集 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集 A 是最多可数。对任意的 xA ，都存在 0x 使得 ( , ) xB x A x 。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球） ( , ) ( , )x x xB P r B x 使得 ( , )xxx B P r ，从而( , ) xxB P r A x。显然，对
34、于任意的 ,xy A ，当 xy 时，有 ( , ) ( , )x x y yB P r B P r ，从而 ( , ) ( , )x x y yP r P r 。令 ( ) ( , )xxf x P r ，则得到单射 : nfA QQ。由于 n QQ可数，所以， A 是最多可数。 7无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同 ? 答 不相同。例如，点集 1 1 1 11 , , , , , , 234A n 只有孤立，但 是有一个聚点：0A 。 8对无聚点的点集 , 是否一定存在一个正数 d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d ? 答 不一定。例如，取 1 ( , 0 ) : 1 , 2 ,
35、 ( , ) : 1 , 2 , A n n n n n ， 则 A 无聚点。但是 11( , 0 ) , ( , ) 0 ( )d n n n n n ，这说明：不 存在一个正数 d , 使得该点集中任意二点间的距离大于 d 。 9 点集的聚点与点列的极限点有何异同 ? 证明：若 Ex 0 ，则存在 Exn 且),( mnxx mn 使得 )(0 nxxn 证明 不同。聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列的概念。对于一个点列 1 nkkx R ，可以得到一个点集 : 1, 2, kE x k。 如果 0xE , 则 0x 必是点列 1kkx 的极限点。反之不真。如取 1(
36、1, 2, )kxk ，则 1 是点列 1kkx 的极限点，但它不是点集 : 1, 2, kE x k的聚点（因为 1E 没有聚点）。对于可数点集 12 , , , , ( ( ) )nk i jE x x x x x i j R， 得到点列 1kkx 。显然， 点集 E 的聚点与点列 1kkx 的极限点 是相 同 的。 设 Ex 0 ，则对 11 , 01( , )Bx 中有 E 的 无 限 个 点 。 任 取 一 点1 0 0 1( ) ( , )x E x B x 。令 12 1 0m in ( , ), 2 d x x ，则 02( , )Bx 中有 E 的无限个点。任取一点 2 0
37、0 2( ) ( , )x E x B x 。如此下去 , 可得点列 1kkx 满足： 00( ) ( , )kkx E x B x ， 110m in ( , ) , 2 kkkd x x ( k Z ). 易见， 1kkx 是 E 的各项互不相同的点列且 0( , ) 2 0 ( )kkd x x k 。可见，0()kx x k 。 10证明： Ex 0 的充要条件是对任意 0 ， ),( 0xB 含 有一个异于 0x 的 E 的点 证明 必要性显然 . 充分性 . 对 1 1 , 在 0( ,1)Bx 中有一点 1xE , 而 10xx 。令 2 1 0 1m in ( , ), 2d
38、x x , 在 02( , )Bx 中有一点 2xE 且 21xx 。令 3 2 0 1m in ( , ), 3d x x , 在 03( , )Bx 中有 3xE 且 30xx 。这样继续下去，得到 E 中各项互不相同的点列 nx 使得 10( , ) 0 ( )kd x x k k 。从而，0lim nn xx ，由上题知 Ex 0 . 11 ExEx k 0 使得 )(0 kxxk 证明 必要性。设 0xE ，则 10, ( , )kk x E B x k Z 。显然， kxE 且)(0 kxxk 。 充分性 设 kxE使得 )(0 kxxk ，则 0, N 使得当 nN 时有0( , )kd x x ，从而 10( , )Nx B x E 。可见， 0xE 。 12. 设点列 )( naxn , )( nbxn ,证明 : ba . 证明 由 ( ) , ( )nnx x n y y n 可知：对任意的 120, ,NN 使得当1nN 时 , 有 ( , ) 2nd x a ; 当 2nN 时 , ( , ) 2n
