实变函数答案陕师大

1、 1. 设X赋范线性空间, 1 2, , , kx x xL 是X中k个线性无关向量, 1 2, , , k L 是一组数,证明:在X 上存在满足下列条件:(1) ( ) , 1,2, ,i if x i k= = L ;(2) f M 的线性连续泛函f 的充要条件为:对任何数 1 2, , , kt t tL ,1 1k ki i i ii it M t x= = . 证 必要性 若线性连续泛函 f 满足(1)和(2),则 ( )1 1 1 1k k k ki i i i i i i ii i i it f t x f t x M t x= = = = . 充分性 若对任意数 1 2, , , kt t tL ,有1 1k ki i i ii it M t x= = ,则令 0 1 2, , , kX span x x x= L ,对任意的, 01ki iit x X= ,定义 0X 上的线性泛函k k0 0 i。

2、第九章 内积空间和希尔伯特空间 例题选讲 例1 Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系 ne 证明：若X是可分的，设 nx 是X的一个可数稠密子集。不妨设 nx 是线性无关的。 用Gram Schmidt 方法，存在可数的完全规范正交系 ne ，使span 1, , ne eL = 1, , nspan x xL 。这样。因此 ne 是完全的。 反之，若 ne 是 X 的一个完全规范正交系，则 span ne 在 X 中稠密。( )01, , 1,2,3,nk k k k kkX a ib e a b Q N= = + = L 是X中的可数稠密子集，因此 X是可分的。证毕 例2求证：P是Hilbert空间X上的投影算子的充分必要条件是。

3、泛函分析第八章习题答案 例 1 设 X=C a,b,t1, ,tn ., 1 Cba n 定义 X 上的线性泛函：若 .)()(,1=niii txxfXx 求证f是X上的有界性泛函，求 f 。 证明 任意x X ,|f(x)|=| =niii tx1)( | =niii tx1|)(| |)(|1=niii tx . 所以|f| =nii1.| 存在 C ， 1| =i ，使 | iii = 。存在，x X ,使,2,1,)( nitx ii = 且|x|=1.这样|f(x)|=| =niii tx1)( |= |1=nii ，所以. |f(x)| |1=nii 由此 ，我们证明了|f(x)|=| |1=nii 。证毕。 例题 2 设 F 是 ),(0 +C 上的线性泛函，（ ),(0 +C 的定义参见七章例题讲例5）。若F满足条件：若 ),(0 +C 且任意 ,0)(),( 。

4、【 学仰 爱 实变 】 10应数班 作者： 谢学仰 【 学仰 爱 实变 】 10应数班 作者： 谢学仰 【 学仰 爱 实变 】 10应数班 作者： 谢学仰 【 学仰 爱 实变 】 10应数班 作者： 谢学仰 【 学仰 爱 实变 】 10应数班 作者： 谢学仰 【 学仰 爱 实变 】 10应数班 作者： 谢学仰 【 学仰 爱 实变 】 10应数班 作者： 谢学仰 【 学仰 爱 实变 】 10应数。

5、第一章习题参考解答 1 第一章习题参考解答 3等式 )()( CBACBA 成立的的充要条件是什么？ 解 ： 若 )()( CBACBA ，则 ACBACBAC )()( . 即， AC . 反过来 , 假设 AC , 因为 BCB . 所以 , )( CBABA . 故 , CBA )( )( CBA . 最后证， CBACBA )()( 事实上， )( CBAx , 则 Ax 且 CBx 。若 Cx ，则 CBAx )( ；若 Cx ，则 Bx ，故 CBABAx )( . 从而 , CBACBA )()( . AACBACBAC )()( . 即 AC . 反过来，若 AC ，则 因为 BCB 所以 )( CBABA 又因为 AC ，所以 )( CBAC 故 )()( CBACBA 另一方面， AxCBAx )( 且 CBx ，如果 Cx 则 CBAx。

6、A4CECQB3DJAFCZDJBLD1BTDJDJAFCSAABBCZAMA5AVB1B2 AYAUAWB01.AMC8A2f(x)AHE CND9BUADBBCZATAGA1D6BOCWAZCJA3ABBXCZ r,BHEf rBUADA1CKBABHEf = r BUADA0DAf(x)CWB5BUADA3B3AZ CLAZCJABBXCZr,Ef rBUADA0AIAZCJA6CSCZ,BMrnCWANADATA3CCABBXCZA0AIABEf a =uniontextn=1Ef rn,AAEf rnBUADASEf CWBUADATA0D2A5f(x) CWE CNATBUADBBCZA1CLAZCJABBXCZr,Ef = rBUADA0AIf(x)ACA3AWCWBUADATA1BZCKA0E = (,), zCW(,)AQACBUADBHA1AZCJA6x z,f(x) = 3;x negationslash z,f(x) = 2,AIAZCJA6ABBXCZr,Ef = r = C。

7、第一章可测函数x1.1第四章可测函数练习题习题1.1.1证明：f(x)在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r,集Ef r可测.如果集Ef = r可测，问f(x)是否可测？证明分析：根据可测函数的定义t R,Ef t为可测集，则函数f为可测函数.由题意知道，对于有理数r,集Ef r可测,那么问题就是如何将已知的有理数转化到未知的实数上，那么就可以采用有理数在实数中稠密的特征，任何一个实数都可以用有理数进行逼近的办法然后利用可测集的运算性质的到想要的结果.证明中的等式可以参考课本P80的引理中的集合论等式的证明Ef g = n=1(Ef rn) Eg r可测，则对任意。

8、A4D7DIBAASBCA8ASBBC1A9CDASASBCA0ADBOA8ARA5BYC4C5 C0BZC21.AIB4B9LebesgueB0B1ALAWDFALBWBEB6AUA0AOB4B9 DarbouxB1CKAWC7CWA4BFAKCNA3C1 AOB4AW Darboux B1CKB4A4A2DH f (x) A4 E DFAWB7C8CEAGBOA8A0B4 E AWDCBQCEAGBEBUD : E1, E2, , En,AU max1inmEi 0DJA0S (D, f ) integraldisplayEf (x)dx, S (D, f ) integraldisplayE f (x)dx.ANC7CWAFAYB1AKCNA1CMDDCCAH0, 1D9C4DFAYCLCFCIBOA8f (x) =1, xA40,1BUAWB7CKA8,0, xA40,1BUAWAJCKA8.B4CYBJBLBKA8n,BX0,1D9C4AWBEBUDn = Eni ,D3BUE。

9、 LMf 5s06) S S2007-2008= 5551BBBFFF1. !ffj(x)g lRn f , k“fx : fj(x) 1kg (j;k = 1;2;)V U“fx : limj!1fj(x) 0g.: fx : limj!1fj(x) 0g =1Sk=11TN=11Sj=Nfx : fj(x) 1kgY L , !x0 2fx : limj!1fj(x) 0g,5ik0, Plimj!1fj(x0) 1k0, Kl, N,inN N, PfnN(x0) 1k0,yNx0 21TN=11Sj=Nfx : fj(。

10、第 一 章 ： 集 合 与 实数 集 (8)设是 上 的 实 函 数 ， 假 若 存 在 0,使 得对 于 任 何 有 限 个 两两 不 等的 实数 1 , ., , =1 ( ) . 证 明 : : ( )= 0 是 至 多 可 数 集 。 证 明 :令 + = : ( ) 0 , = : ( ) 1/ . 这 样 问 题 就 归 结 为 证 明 对 于 任 意 的 , 是 至 多 可 数 集 .由 假 设 条 件 知 道 ： 是 一 个 有 限 集 合 ， 其 中 的点的 个 数 不 超 过 + 1个 . (9)证 明 ： R上 单 调 函 数 的 间 断点 是 至 多 可 数 的 . 证 明 ： 设 是 R上 的 单 增 函 数 ， 我 们 首 先 证 明 ： 对 于 任 意 的 0 R, lim 0 0。

11、1.证 明： ( )BAAB=的 充要 条件 是 AB.证 明： 若 ( )BAAB=， 则 ( )ABAAB， 故 AB成 立 .反 之 ， 若 AB， 则 ( ) ( )BAABABB ， 又 xB， 若 xA，则 ( )xBAA， 若 xA， 则 ( )xBABAA.总 有( )xBAA.故( )BBAA， 从而 有 ( )BAAB=。 证 毕2.证 明 cABAB=.证 明 ： xAB， 从 而 ,xAxB， 故 ,cxAxB， 从 而 xAB，所 以 cABAB.另 一 方 面 ，cxAB， 必 有 , cxAxB， 故 ,xAxB， 从 而xAB，所 以 cABAB .综 合上 两个 包含 式得 cABAB=. 证 毕3.证 明定 理 4中 的 （ 3） （ 4） ， 定 理 6（ DeMorgan公 式 ） 中 的第 二式 和定理 9.证 明：。

12、习题 1.1 1 证明下列集合等式 (1) CABACBA ； (2) CBCACBA ； (3) CABACBA 证明 (1) )()CB( cCBAA )()( cc CBAABA cCABA )()( )()( CABA . (2) cCBAA )(CB)( )()( cc CBCA = )()( CACA . (3) )(C)(B cCBAA ccCBA )( )( CBA c )()( CABA c )()( CABA . 2 证明下列命题 (1) ABBA 的充分必要条件是 ： AB ； (2) ABBA 的充分必要条件是： BA ； (3) BBABBA 的充分必要条件是： B 证明 (1) ABABBBA。