1、第九章 内积空间和希尔伯特空间 例题选讲 例1 Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系 ne 证明：若X是可分的，设 nx 是X的一个可数稠密子集。不妨设 nx 是线性无关的。 用Gram Schmidt 方法，存在可数的完全规范正交系 ne ，使span 1, , ne eL = 1, , nspan x xL 。这样。因此 ne 是完全的。 反之，若 ne 是 X 的一个完全规范正交系，则 span ne 在 X 中稠密。( )01, , 1,2,3,nk k k k kkX a ib e a b Q N= = + = L 是X中的可数稠密子集，因此 X是可分的
2、。证毕 例2求证：P是Hilbert空间X上的投影算子的充分必要条件是： 2P P= 且 *P P= 证明：设P是X中相对应与闭线性子空间Y的投影算子。对任意x X，存在 1x Y ，2x Y，使1 2x x x= + ， 1Px x= 。对于 1x ， 1x = 1 0x + ，其中 1x Y ，0 Y 。因此 1 1Px x= ，即 2 1P x Px Px= = ，因此 2P P= 设 ,x y X ， 1 2x x x= + ， 1 2y y y= + 。其中 1 1,x y Y ， 2 2,x y Y 。这样( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 1 2, , ,
3、, ,Px y x y y x y x x Py x Py= + = = + = 。这就证明了 *P P= 。 反之，若P满足 *P P= ， *P P= 。令 Y x Px x= = ，则Y是X中的线性子空间。Y还是闭的。事实上，若 nx Y ， 0lim nnx x= ，则 0 0lim limn nn nPx Px x x = = = 。故 0x Y ，因此Y是闭的线性子空间，我们要证明P是Y上的投影算子。 设 x X ，则 ( )x Px x Px= + 。由于 2P P= ，因此PPx Px= ，即Px Y 。又( )*I P I P = 因 此 ， 对 任 意 的 y Y ， 有(
4、 ) ( )( ) ( ), , , 0x Px y x I P y x y y = = = ，即x Px Y 。由 ( )x Px I P x= + ，其中Px Y ，( )I P x Y 。而这种分解是唯一的，可得P是X到Y上的投影算子。证毕。 例3设T是Hilbert空间X上有界线性算子。若存在X上的一个稠密线性子空间 0X ，使对任意的 0x X ，成立 Tx x= ，且T的值域在X中稠密，求证：T是酉算子 证明：由 5 节定理 5，只要证明T是映射到上的保范算子。设x X在X中稠密，必有 0nx X ，lim nn x x = 。于是 lim limn nn nTx Tx x x =
5、 = = 。因此T是保范的。 我们再证明T 是映射到上的，因为T 的值域在X中稠密，因此对任意 y X ，存在nx X ， 使 lim nn Tx y = 。 由 于 nTx 收 敛 ， 因 此 nTx 柯 西 列 。 又( )n m n m n mx x T x x Tx Tx = = ，因此 nx 也是柯西列。设 0lim nn x x = ，则y = lim nnTx= 0Tx ，因此T是映射到上的。 这样，由5节定理5，T是酉算子，证毕 习题解答 1设 nx 是内积空间X中点列，若 nx x ( )n 且对一切y X 有( )nx y， ( )x y， ( )n ，证明： nx x (
6、 )n 证明： ( ) ( ) ( )2 2 2 0n n n n n nx x x x x x x x x x x x = = + =， ( )n 因此 nx x ( )n 2，设 1 2 nX X XL L， ， 是一列内积空间，令 2n n n nX x x X x = n=1， ，当 nx ny X 时，规定 n n n nx y x y + = + ，其中，是数， 1n n n nix y x y=， ， ，证明：X是内积空间，又当 nX 都是Hilbert空间， 证明：X也是Hilbert空间。 证明：1。若 0n nx =，x ，则10n nnx= ，x ，因此对任意n， 0n
7、nx =，x ，1 2 3n = L， ，即 0nx = 2 ( )1 1n n n n n n n n n nn nx y z x y x y = =+ = + = + ， ，z ，z ，z 3 这就证明了X是n维线性空间。又由第七g12468第22题，X是完g3803的g708在22题中g2474p=2g709，因此X是Hilbert空间。 3，设X是n维线性空间， 1 2, ,L ne e e 是X的一g13464g3534，证明( ),x y 成为X上内积的充 分 必 要 条 件 是 存 在 n n ( )uv 正 定 方 g19465 使 得( )1 1 , 10 , , = = =
8、 = = n n nu u v v uv u vu v u vx x x e x e x x 证明： 必要性。若( ),x y 是X上内积。设uv = ,u ve e 。对任意1=nu uux x e , 1=n uv u vu vx x =( ),x x 0 且当 0x 时，, 1=n uv u vu vx x = ( ),x x 0 因此( )uv 正定方g19465。 充分性。若( )uv 正定方g19465，则对任意1 1,= = = n nu u u uu ux x e y y e ，( ),x y =, 1=n uv u vu vx y 。g991证( ),x y 是X中内积。 1
9、( ),x x, 1= nuv u vu vx x 因( )uv 正定方g19465，可得( ),x x 0 ，且当( ), =x x 0= 时， 0=x 2 ( ) ( ), 1, =+ = +nvuv u uu vx y z x y z( ) ( ), 1 1, , = = + = + n nuv u v u uv u vu v ux z e y z x z y z 。 3 因 ( )uv 正 定 ， ( )uv = ( )uv 。 这 样, 1, = nuv u vu vx y x y ( ), 1 , 1, = = = n nuv u v uv u vu v u vx y x y y
10、x 因此( ),x y 是X上内积。证毕 4.设X是实内积空间，若 2 2 2x y x y+ = + ，则x y ，当X是复内积空间时，这个结论是否依然成立？ 解 当 X 是实内积空间且 2 2 2x y x y+ = + 时，由( ) 2 2 2, 2 ,x y x y x y x y x y+ + = + = + + 得 , 0x y = 即x y 在复内积空间上此结论不成立 ，例如 0,x y ix = ， 1x = ( )2 ,x y x ix x ix+ = + + 2 2 2 2, ,x y i x x i x x x y= + + = + 但 ( ), ,x y x ix i=
11、 = 0 5证明：内积空间X中两个向量 ,x y垂直的充要条件是：对一切成立 x y+ x 证明 若x y ，则任意复数，有2 2 2 2 2 2, , , ,x y x x x y y x y y x y x + = + + + = + 因此 x y x+ 若对一切数，x y x+ ，不妨设 0y 。令 21 ,2x yy = ，则由 2 2 2 2 ,x y x y x y + = + + + 2,x y x ， 得2 224 21 1, , 04 2x y y x yy y 。即 2 24 , ,x y x y ，此可得 , 0x y = ，即x y 。证毕 6设X是Hilbert空间，
12、M X ，并且 M ，证明( )M 是X中包含M的最小闭子集 。 证明：X中包含M的最小X闭子集是Y，若y Y ，则存在 nx spanM ，使 nx y设x M ，则( ),y x ( )lim , 0nnx x= = ，因此 ( )y M ，即 ( )Y M 又Y是X中闭子空间，且M Y ，则Y M，从而( ) ( )M Y = Y，所以 ( )Y M = 。证毕 7 设 ne 是 2 ,L a b 中 的 规 范 正 交 系 ， 说 明 两 元 函 数 列( ) ( )( ), 1,2,3n me x e y n m = L 是 ( )2 , ,L a b a b 中的规范正交系，若 n
13、e 完全。则两元函数列 ( ) ( )( ), 1,2,3,n me x e y n m = L 也是完全的 证 明 对 任 意 ( ),n m 和 ( ), n m ，( ) ( ) ( ) ( ) ,n m n me x e y e x e y ( ) ( ) ( ) ( ) b bn mn m nn mma ae x e x dx e y e y dy = ， 因此 ( ) ( ) n me x e y 是规范正交系 若 2 , ,f L a b a b ，则几乎处处 ,x a b ， ( ) 2, ,f x y L a b 。因此若记( ) ( ) ( ),bm maa x f x y
14、 e y dy= ， 则 由 于 ( ) 1mme y =是 完 全 的 ， 必 有( ) 2b ma a x =21nmnb= ， 其 中( ) ( ) ( ) ( ) ( ),b b bnm m n m na a ab a x e x dx dx f x y e y e x dy= = ，这样 ( ) ( ) ( )222 21 1 , 1,b b b bm m nma a a an n m ndx f x y dy a x dx a x dx b = = = = = 由于 nmb 是关于 ( ) ( ) n me x e y 的傅立叶系数，因此我们就证明了 Parseval 等式成立有第
15、3节定理3， ( ) ( ) n me x e y 完全的，因此 ( ) ( ) n me x e y 是完全规范正交系 ，证毕 8设 1 2, , , ne e eL 为内积空间X规范正交系，证明：X到 1 2, , , nspan e e eL 的投影算子P为 ( )1, ,nv vvPx x e e x X= ，则Y 是X的闭子空间，X Y Y= 。对任意x X ，1 2x x x= + ，其中 1 2,x Y x Y ，因 1niie=是Y 的完全的规范正交系，因此( )11,nv vvx x e e= ，由投影算子定义 ( )11,nv vvPx x x e e= = 。证毕 9设X
16、为可分为Hilbert空间，证明X中任何规范正交系至多为可数集。 证明 倘若 X 的一个规范正交系 e 可数不是可数集，则任意 ，2 2 2 2e e e e = + = 。 X是可分的，则存在X的可数稠密子集 1n nx = 因不可数，则必有某 Nx ，及 ， ， 使 22Nx e ， 22Nx e ，这样 2N Ne e x e x e + 。 此与 2e e = 矛盾。证毕 10设X是内积空间，X是它的共轭空间， zf 表示上线性范函 zf x z= ， ，若X到X的映射 zF z f： 是一一到上的映射，则X是Hilbert空间。 证明 设 1n nz = 是X中柯西列。 有( )(
17、) ，n mz z n m n mf f x x z z x z z = 可知 1nz nf =是X中柯西列。因X是完备的，因此有x X 使 ( )nzf x n 。设 zx f = ，其中z X ，设sup +nnz M= ，则( )( )2 n m n mn n n z z n n z zz z z z z z f f z z z z f f = = ， ( ) ( )0n mz zM z f f n + 。这就证明了X是完备的内积空间，即为Hilbert空间。证毕。 11.设X和Y为Hilbert空间，A是X到Y中的有界线性算子， ( ) A 和( )A 分别表示算子A的零空间和值域，证
18、明 ( ) A = ( )A ，( ) A = ( )A ， ( ) ( )A A = ， ( ) ( )A A = 证明 设 ( )x A ，则 0Ax = 。这样若y Y ， ( )A y A ，必有( ) ( ), , 0x A y Ax y = = ，所以x ( )A ， 设x ( )A ，则对任意y Y ，( ) ( ), , 0Ax y x A y= = 。由y的任意性可推得 0Ax = ，即 ( )x A 。 以 上 证 明 了 ( ) ( ) A A = ， 用 A 代 替 A 可 得( ) ( )( ) ( ) A A A = = 。同时， ( ) ( )( ) A A =
19、，以下证明( )( ) ( )A A = 首 先 ， 由 ( ) ( )A A 可 知 ( ) ( )A A 从 而( ) ( )( )A A = ( )( )A 又设 ( )( )y A ， 1 2y y y= + ，其中 ( ) ( )1 2,y A y A 。对任意x X ，( ) ( )2 2, , 0A y x y Ax = = ，所 以 2 0A y = ，即 ( )2y A 。这 样( ) ( ) ( )2 1 2 2 20 , , ,y y y y y y= = + ，即 2 0y = ，于是 ( )1y y A= 。 这样我们就证明了 ( ) ( )A A = 。用A代替A又
20、可得 ( ) ( )A A = ，证毕。 12设T是Hilbert空间X中的有界线性算子， 1T ，证明： x Tx x= x T x x= = 。 证明 若Tx x= ，则 2 , ,x Tx x x T x= = x T x 2x ， 因此， ,x T x x T x = 。由第一节引理 1，T x 与x线性相关，设T x x = 。由 , ,x T x x x = ，可得 1 = ，即T x x = 。这样， x Tx x x T x x x T x x x Tx x = = = = = 。 即 x Tx x= x T x x= = 。证毕 13设H为Hilbert 空间，M是H的闭子空
21、间， 0x H ，证明： 0 0min max , , 1x x x M x y y M y = = 证明：设 0 1 2x x x= + ，其中 1x M ， 2x M 。因为 1x M ，所以。又对任意x M ， 2 20 1 2x x x x x = 2 2 21 2 2x x x x= + ，所以 0 2min x x x M x ，这就证明了 0min x x x M 2x= 又对任意的y M ， 1y = ， 0 1 2 2 2, , , ,x y x y x y x y x= + = 。若2 0x = ，则 0 2max , , 1 0x y y M y x = = = 。若2
22、0x ，则令22, 1,xy yx= = 2 20 1 2 22 2, , ,x xx y x x xx x= + = 。 因 此 又 有 0 2max , , 1x y y M y x = = 。 即 0max , , 1x y y M y = 0min x x x M= 证毕 14设H是Hilbert空间。M是H的闭子空间，则M为H上某个非零连续线性范函的零空间的 充要条件是M是一维子空间， 证明：若M是非零连续线性范函的零空间，则存在y H ， 0y ，对每个x M ，使 ( ) , 0f x x y= = 。因此 M y = ，即 M span y = 是一维子空间 反之，若M是由非零
23、元y生成的一维子空间，令 ( ) ,f x x y= ，则( )f x = 0的充要条件是x y ，即 ( )x M M = 。所以M是非零连续线性范函f 的零空间。证毕 15设T为Hilbert空间X上正常算子，T A iB= + 为T的笛卡儿分解，证明： ( )1 2 2 2T A B= + ( )2 22T T= 。 证 明 ( )1 由 ,2 2T T T TA B i + = = 及 T T TT = ， 得( )( ) ( )( )2 24 4T T T T T T T TA B TT + + + = =， 所 以22 2A B T T T+ = = 。 ( )2 ( )2 2 4
24、2 2 2T T T T T T = = = ，即 2 2T T= 。证毕。 16证明：A是实内积空间X上的自伴算子时， 0A= 的充要条件是对所有x X ，成立( ), 0Ax x = 。 证明： 0A= 时。显然对任意 ,x y X ， 由y的任意性， 0Ax = 。又由x的任意性， 0A= 。证毕 17 设 U 是 Hilbert 空 间 2 0,2L pi 中 如 下 定 义 的 算 子 ：( )( ) ( ) 2, 0,2itUf t e f t f L pi= 证明：U是酉空间。 证明：对任意 2. 0,2f g L pi ，有( ) ( ) ( )20, itUf g e f t
25、 g t dtpi= ( ) ( )20itf t e g t dtpi = 因此若定义算子V ， ( )( ) ( )itVg t e g t= ，则 ( ) ( ), ,Uf g f Vg= 即V U= ，而( ) ( ) ( ) ( )it itUU f t e e f t f t = = ，因此U U I = 。同理UU I = ，即U是酉算子。证毕 18设是平面上有界L可测集， ( )2L 表示上关于平面L可测平方可积函数全体，对每个 ( )2f L ，定义( )( ) ( )Tf z zf z= ，z。证明：T是正常算子。 对于任意 ( )2,f g L ， ( ) ( ) ( ), ,Tf g zf z g z dz f Sg= = ，因此T S= 。于是对任意 ( )2f L ， ( ) ( ) ( ) ( )2T Tf z zzf z z f z T Tf z = = = 。由 f 的任意性得，T T TT = ，即 T是正常算子， 证毕
