实变函数第一章答案.pdf

1、第 一 章 ： 集 合 与 实数 集 (8)设是 上 的 实 函 数 ， 假 若 存 在 0,使 得对 于 任 何 有 限 个 两两 不 等的 实数 1 , ., , =1 ( ) . 证 明 : : ( )= 0 是 至 多 可 数 集 。 证 明 :令 + = : ( ) 0 , = : ( ) 1/ . 这 样 问 题 就 归 结 为 证 明 对 于 任 意 的 , 是 至 多 可 数 集 .由 假 设 条 件 知 道 ： 是 一 个 有 限 集 合 ， 其 中 的点的 个 数 不 超 过 + 1个 . (9)证 明 ： R上 单 调 函 数 的 间 断点 是 至 多 可 数 的 . 证

2、 明 ： 设 是 R上 的 单 增 函 数 ， 我 们 首 先 证 明 ： 对 于 任 意 的 0 R, lim 0 0 ( ), lim 0 +0 ( ) 都 是 存 在 有 限 的 .为 简 单 起 见 ， 我 们 仅 考 虑 左 极 限 的 存 在 性 .我 们 只 要 证 明 ： (a)对 于 任 意 的 , 0 , 使 得当 时 ,从 而 ( ) ( ),这 依 次 隐 含 着 lim ( ) lim ( ). 2同 理 可 证 lim ( ) lim ( ). 现 在 回 到 要 证 明 的 结 论 .假 如 在 0 不 连 续 ， 则 ( 0 0) 0,存 在 , ,使 得 |

3、( ) + ( )| ( ) ( ) 1 2 . 这 样 在 = 连 续 ， 同 理 可 证 明 在 =连 续 。 现 在 取 0 (, ).我 们 只 要 证 明 ： ( 0 ) = ( 0 ) = ( 0 +). 3明 显 地 ： ( 0 ) ( 0 ).假 如 二 者 不 相 等 ， 则 有 ( 0 ) 0,使 得 ( ) ( ) 2 ,且 ( 0 ) + 00, ( , + )不 可 数 ， 进 一 步 ， 满 足 这 样 条 件 的 的 全 体 是 不 可 数 集 合 。 证 明 : 假 如 对 于 任 意 的 ,存 在 0,使 得 ( , + )是 可 数 集 ， 这 样 ， 我

4、们 可 以 取 有 理 数 , ,使 得 ( , )且 ( , )至 多 可 数 ， 但 是 ( , ) , 有 理 数 至 多 可 数 ， 而 = ( , ). 所 以 至 多 可 数 ， 和 假 设 矛 盾 。 为 证 明 满 足 上 面 条 件 的 的 全 体 是 不 可 数 集 ， 我 们 用 反 证 法 。 令 = :对 于 任 意 的 0, ( , + )不 可 数 . 假 如 至 多 可 数 ， 则 不 可 数 .利 用 已 经 建 立 的 结 论 知 道 ： 存 在 0 ,使 得 对 于 任 意 的 0, ( ) ( , + )不 可 数 ， 这 样 0 .从 而 得到 矛 盾

5、 。 (15)设 1 是 可 数 个 实数 ， 请 构 造 一 个 单 增 函 数 ,它 以 1 为 间 断点 . 证 明 :我 们 取 一 个 正 项 收 敛 级 数 =1 ,并 定 义 R上 的 函 数 如 下 ： ( ) = : . 则 在 R上 单 增 没 有 问 题 .与 此 同 时 ,注 意 到 ： ( ) = : + , 4而 对 于 任 意 的 1/ . 则 + = =1 +, . 这 样 ， 问 题 转 化 为 证 明 ： 对 于 任 意 的 自 然 数 , +,是 至 多 可 数 集 。 对 于 任 意 的 自 然 数 和 +, ,由于 ( +)存 在 ， 所 以 存 在

6、0,使 得对 于 任 意 的 1 , 2 (, + )， 成 立 | ( 1 ) ( 2 )| 1/. 从 而 , (, + ) R +, . 这 样 ， 对 于 任 意 的 +, ,我 们 可 以 找 到 一 个 开 区 间 (, + ),这 些 开 区 间 两两 互 不 相 交 （ 假 如 两 个 这 样 的 区 间 (, + )、 (, + )相 交 ， 则 , 两 个 点 中 有 一 个 属 于 R +, ,矛 盾 .所 以 存 在 一 个 一一 映 射 +, (, ), (, ) R +, +, . 后 面 那 个 集 合 是 至 多 可 数 的 。 从 而 +,是 至 多 可 数

7、集 。 517设 R 3 并 且 中 任 意 两 个 点 之 间 的 距 离 是 有 理 数 。 证 明 是 至 多 可 数 集 。 证 明 :我 们 记 Q为 全 体 正 有 理 数 组 成 的 集 合 ,写 Q = 1 , ., . . 首 先 给 出 两 个 结 论 ： (1)设 是 三 维 空 间 中 的 一 个 球 面 ， ,则 上 到 的 距 离 等 于 的点 组 成 球 面 上 的 一 个 圆 ; (2)设 是 一 个 圆 周 ， 是 这 个 圆 周 上 的 一 个 集 合 且 这 个 集 合 中 任 意 两 个 点 之 间 的 距 离 是 有 理 数 ， 则 一 定 是 至 多

8、 可 数 集 ； 结 论 （ 1） 是 明 显 的 ， 我 们 证 明 结 论 （ 2）。 假 如 是 空 集 ， 则 结 论 成 立 ； 如 果 不 空 ， 我 们 取 ,注 意 到 ： = =1 : (, ) = . 出 现 在 上 式 右 端的 并 集 中 的 每 个 集 合 ， 最 多 含 有 两 个 点 。 所 以 ， 是 至 多 可 数 集 。 现 在 证 明 我 们 的 结 论 .任取 0 ,明 显 地 ： = =1 : (, 0 ) = . 令 = : (, 0 ) = . 刻 画 的 是 以 0 为 中 心 以 为 半 径 的 三 维 空 间 中 的 球 面 和 的 交 集

9、我 们 只 要 证 明 ： 对 于 任 意 的 自 然 数 , 是 至 多 可 数 集 。 假 如 是 空 集 ， 不必 再 谈 ； 假 如 非 空 ， 我 们 取 1 ,则 = =1 , 其 中 = : (, 1 ) = . 6注 意 ： 是 前 面 所 述 的 球 面 上 和 1 的 距 离 等 于 的点 组 成 的 集 合和 的 交 集 ,它 是 一 个 空 间 中 的 圆 和 的 交 集 .按 照 前 面 的 结 论 (2),我 们 就 知 道 ： , 是 至 多 可 数 的 ,所 以 是 至 多 可 数 的 ! (19)设 R是 不 可 数 集 ： 证 明 存 在 ,使 得对 于 任

10、 意 的 0, ( , )和 (, + )中 都 含 有 的点 ， 进 一 步 ， 这 样 的点 有 不 可 数 多 个 。 证 明 令 0 = : , 对 任 意 的 0 ( , )和 (, + ) 中 都 含 有 的点 , 1 = : , 存 在 0使 得 ( , )中 不 含 有 的点 , 1 = : , 存 在 0使 得 (, + )中 不 含 有 的点 . 注 意 到 ： 0 = ( 1 2 ). 由于 不 可 数 集 和 至 多 可 数 集 的 差 集 是 不 可 数 集 ， 我 们 只 要 证 明 1 , 2 都 是 至 多 可 数 集 。 我 们 只 考 虑 1 ,对 于 2

11、可 以 同 样 处 理 。 对 于 任 意 的 1 ,存 在 0使 得 ( , ) R . 这 样 ， 我 们 可 以 考 虑 如 下 的 映 射 ： : 1 ( , ) : ( , ) R 1 . 这 个 映 射是 一一 的 ， 同 时 右 边 那 个 集 合 中 的 任 意 两 个 开 区 间 互 相 不 交 ， 所 以 右 边 的 集 合 至 多 可 数 。 这 样 1 也 是 至 多 可 数 的 。 (21)设 =1 有 连 续 统 的 势 ， 证 明 至 少 有 一 个 有 连 续 统 的 势 . 证 明 : 令 = =1 .由于 = .因 此 ， 存 在 到 全 体 实数 列 集

12、合 的 完 全 一一 映 射 . 我 们 令 = ( ).则 和 等 价 并 且 =1 =. 7基 于 上 面 的 讨 论 ， 我 们 不 妨 假 定 = 实数 列 .明 显 地 . 假 如 对 于 任 意 的 , , 则 存 在 实数 ,使 得对 于 任 意 实数 1 , ., 1 , +1 , . , 1 , ., 1 , , +1 . . (否 则 对 于 任 意 的 实数 ,存 在 实数 1 , ., 1 , +1 , .使 得 1 , ., , +1 , . , 于 是 : 1 , ., 1 , , +1 , . 是 R 的 一一 映 射 ， 所 以 矛 盾 ).这 样 ， 我 们

13、找 到 一 列 实数 1 , ., . 使 得对 于 任 意 的 , 1 , ., . ,这 和 1 , ., . 矛 盾 。 (22)构 造 下 列 集 合 之 间 的 完 全 的 一一 映 射 (i) 0, 1与 (0, 1); (ii) (0, 1与 (0, 1 (0, 1; (iii)正整 数 列 全 体 与 严 格 单 增 正整 数 列 全 体 . 证 明 .我 们 记 1 , ., , . 为 (0, 1)中 有 理 数 的 全 体 组 成 的 集 合 ， 并 构 造 (0, 1)到 0, 1的 映 射 如 下 ( ) = , 若 (0, 1)且 是 无 理 数 ; 0, 若 =

14、1 ; 1, 若 = 2 ; 2 , 若 = , 3. 这 个 映 射是 完 全 的 一一 映 射 (ii)的 完 全 一一 映 射 可 以 用 “两 个 具 有 连 续 统 势 的 集 合 的 直 积 具 有 连 续 统 的 势 ”的 证 明 中 给 出 的 构 造 方法 来 构 造 。 对 于 任 意 的 (0, 1,它 可 以 唯 一 地 表 示 成 = =1 2 8其 中 1 是 无 限 2元 数 列 ， 所 以 1 : (0, 1 无 限 2元 数 列 , 1 是 完 全 一一 映 射 .令 1 = 2 1 , 2 = 2 . 则 1 ( 1 1 , 2 1 ) 是 无 限 2元 数

15、 列 无 限 2元 数 列 无 限 2元 数 列 的 完 全 一一 映 射 。 令 1 = =1 1 2 , 2 = =1 2 2 . 容 易验 证 ： : ( 1 , 2 ) 就 是 我 们 需 要 的 完 全 一一 映 射 . (23)证 明 ： R上全 体 实 函 数 组 成 的 集 合 的 势 为 2 . 证 明 : (我 们 自 然 地 想 到 ： R的 全 体 子 集 组 成 的 集 合 的 势 等 于 2 .所 以 我 们 希 望 将 这 两 个 集 合 联 系 起 来 ).记 = R上 的 实 函 数 , = R的 子 集 . 考 虑 映 射 : , ( ) = ,对 于 这

16、个 映 射是 一一 映 射 .所 以 . 这 样 ， 问 题 就 转 化 为 证 明 2 . 令 = R 2 的 全 体 子 集 9则 = 2 . 做 到 的 映 射 如 下 : (, ( ) : R 这 当 然 是 一 个 一一 映 射 ， 所 以 . 这 就 给 出 我 们 需 要 的 结 果 。 (24)设 , 是 两 个 集 合 ,假 如 = ,则 = . 证 明 ： 假 如 = .我 们 取 ,则 存 在 0, 使 得 (, ) , 且 (, )中 含 有 的点 .这 个 点 .这 与 = 矛 盾 。 (34)设 1 是 一 列 闭 集 ， 且 对 于 任 意 的 , , + 1).

17、 证 明 ： =1 是 R中 的 闭 集 。 证 明 ： = =1 . 对 于 任 意 的 存 在 1 使 得 .不 妨 设 , + 1).则 当 足 够 大 时 ， 1, + 2),所 以 1 +1 . 由于有 限 个 闭 集 的 并 集 一 定 是 闭 集 ， 我 们 就 知 道 ： 1 +1 . 这 就 给 出 理 想 的 结 论 。 (35)设 R ,假 如 对 于 任 意 的 R ,存 在 ,使 得 (, ) = (, ).证 明 ： 是 闭 集 . 证 明 ： 设 0 ,则 对 于 任 意 的 0， 存 在 ,使 得 (, 0 ) , 1 没 有 聚 点 .矛 盾 10(38)设

18、R， 假 如 被 一 个 区 间 族 所 覆盖 ， 证 明 ： 存 在 的 一 个 至 多 可 数 子族 1 覆盖 . 证 明 :对 于 覆盖 的 区 间 族 中 的 任 一 ， 我 们 记 , 令 = , = , = ( , ). 我 们 断 言 ： (i) , 是 至 多 可 数 集 ； (ii) ( ) ( ) ( , ). 断 言 (ii)是 明 显 的 。 我 们 证 明 断 言 (i). 一 个 明 显 的 事实是 ： 假 如 1 , 2 都 属 于 ， 则 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )=我 们 知 道 ： 一 个 由 两两 互 不 相 交 的 开 区 间 组 成 的 集

19、 合 至 多 可 数 ， 所 以 至 多 可 数 ， 同 理 也 至 多 可 数 ； 利 用 前 面 的断 言 ， 我 们 知 道 ： ( ) ( ) ) 1 ( , ). 这 样 ， 问 题 就 转 化 为 证 明 下 面 的 结 论 ： Conclusion:假 如 R， 被 一 个 开 区 间 族 = ( , ) 所 覆盖 ， 则 存 在 这 个 开 区 间 族 的 一 个 至 多 可 数 子族 覆盖 . 现 在 来 证 明 我 们 的 结 论 ： 设 Q是 所 有有 理 数 组 成 的 集 合 .写 = 1 , ., , . . 明 显 地 ： ( , 1/ ) 1, 1 是 可 数

20、开 区 间 族 ， 令 = : ( , 1/ ) . 对 于 固 定的 , ,任取 一 个 (假 如 是 空 集 ， 从 中 取 的 过 程 自 动 省 略 ).则 1, 1 是 的 至 多 可 数 的 子族 。 11为 证 明 1, 1 是 的 一 个覆盖 ， 任取 ,必 有 某 个 0 使 得 0 ， 于 是 存 在 自 然 数 和 使 得 (, 2/ ) 0 . 利 用 1 的 稠 密 性 ,我 们 知 道 ： 存 在 (, 1/ ).这 样 ( , 1/ ) (, 2/ ) 0 , 所 以 不 空 ， 并 且 .从 而 1, 1 是 的 一 个覆盖 . 本 题 的 证 明 过 程 隐

21、含 着 这 样 的 结 论 ： R 中 的 一 个 集 合 ， 假 如 它 能 够 被 一 族 开 集 所 覆盖 ， 则 必 能 够 被 这 族 开 集 的 某 个 至 多 可 数 的 子族 覆盖 ,在 泛 函 分 析 中 ， 将 有 一 个 更 加 深 刻 的 结 论 . (40)证 明 :闭 区 间 不 能 表 示 成 两 个 非 空 不 交 的 闭 集 的 并 证 明 .如 不 然 ， 闭 区 间 = 1 2 ， 其 中 1 , 2 都 是 闭 集 且 不 相 交 ， 则 (由 习 题 39的 结 论 )存 在 1 , 2 2 ,使 得 d( 1 , 2 ) = dist( 1 , 2

22、) 0. 现 在 考 虑 线 段 ( 1 , 2 ),对 于 任 意 ( 1 , 2 ),假 如 1 ,则 d(, 2 ) d( 1 , 2 ),矛 盾 。 假 如 2 ,则 d( 1 , ) d( 1 , 2 )也 矛 盾 ,所 以 1 2 ,当 然 .这 和 是 区 间 矛 盾 . 请 给 出 上 述 结 论 在 高 维 空 间 中 的 类 似 (42)证 明 ： R 中 的 开 球 不 能 表 示 成 至 多 可 数 个 两两 不 相 交 的 闭 集 的 并 集 . 证 明 .我 们 仅 考 虑 以 坐 标 原 点 为 中 心 的 开 球 (0, ).如 不 然 , (0, ) = =1

23、 , 其 中 1 是 不 相 交 的 闭 集 列 。 令 * = 1 : ( 1 , 0, ., 0) . 则 * 是 闭 集 ， 相 互 不 交 且 ( , ) = =1 * .这 和 习 题 (41)的 结 论 矛 盾 . 12(44)设 1 是 R 中 一 列 连 续 函 数 . 证 明 R : lim ( ) 0 是 可 数 个 闭 集 的 并 ， 而 R : lim ( ) = 是 可 数 个 开 集 的 交 . 证 明 .我 们 仅 证 明 第 一 个 结 论 . R : lim ( ) 0 = 1 R : lim ( ) 1/ , 另 一 方 面 R : lim ( ) 1/ =

24、 =1 = R : ( ) 1/ . 因 此 只 要 证 明 对 于 任 意 的 , R : ( ) 1/ 是 闭 集 ,而 这 是 连 续 的 一 个 推 论 . 请 注 意 :lim = sup 1 inf . (45)证 明 ： R上任 一 实 函 数 的 连 续 点的 全 体 是 可 数 个 开 集 的 交 . 证 明 .设 是 R上 一 实 函 数 ， 对 于 R中 的 区 间 ,定 义 ( , ) = sup ( ) inf ( ). 对 于 任 意 的 R,我 们 定 义 ( , ) = inf R ( , ). 容 易验 证 ： 在 点 连 续 的 充 分 必 要 条 件 是

25、( , ) = 0.这 样 R : 在 点 连 续 = =1 R : ( , ) 1/ . 直 接 按 照 开 集 的定 义 可 以 证 明 ： 集 合 R : ( , ) 1/ 是 开 集 . (46)证 明 ： 闭 集 是 可 数 个 开 集 的 交 集 ， 开 集 是 可 数 个 闭 集 的 并 集 . 证 明 .设 是 一 个 闭 集 ， 对 于 任 意 的 自 然 数 ,令 = R : dist(, ) 1/ . 可 以 证 明 ： 是 开 集 并 且 = =1 . 至 于 后 面 一 个 结 论 ， 是 前 面 结 论 的对 偶 形 式 . 13(47)设 1 , 2 是 R 中

26、两 个 不 相 交 的 闭 集 .证 明 ： 存 在 不 相 交 的 开 集 1 , 2 ,使 得 1 1 , 2 2 . 证 明 法 一 .令 1 = R : dist(, 1 ) dist(, 2 ) 0 , 明 显 地 ， 1 2 = ,同 时 1 1 , 2 2 .所 以 我 们 只 要 证 明 1 , 2 都 是 开 集 . 任取 1 ,则 存 在 1 1 , 2 2 ,使 得 (, 1 ) 0使 得 (, 1 ) + 0.我 们 令 1 = 1 R : dist(, ) dist(, 2 )/2 , 2 = 2 R : dist(, ) dist(, 1 )/2 . 则 1 1 ,

27、 2 2 且 1 , 2 分 别 是 开 集 的 并 集 ,所 以 它 们 都 是 开 集 .余 下 只 要 证 明 1 2 = .如 不 然 我 们 取 1 2 .则 由 定 义 知 道 ： 存 在 1 1 , 2 2 使 得 dist(, 1 ) dist( 1 , 2 )/2, dist(, 2 ) dist( 2 , 1 )/2. 这 样 就 得到 dist( 1 , 2 ) ( dist( 1 , 2 ) + dist( 2 , 1 ) ) /2. 但 是 dist( 1 , 2 ) + dist( 2 , 1 ) dist( 1 , 2 ) + dist( 2 , 1 ). 这 当

28、 然 是 不 可 能 的 . 14(48)设 是 一 族 有 界 闭 集 .假 如 中 任 意 有 限 个 的 交 不 空 ， 证 明 = . 证 明 .我 们 令 =R , 则 是 开 集 .假 如 = , 任 意 取 一 个 0 , 则 0 ( , = 0 ) = . 因 此 ， 0 , = 0 . 利 用有 限 覆盖 定 理 ( 0 是 有 界 闭 集 )知 道 ： 存 在 的 一 个 有 限 子族 0 使 得 0 0 , 于 是 0 0 = . 这 就 得到 矛 盾 . 必 须 指 出 ： 当 “有 界 闭 集 ”这 个 假 设 条 件 改 成 “闭 集 ”时 ,上 面 的 结 论 不

29、 再 成 立 .我 们 来 看 下 面 的 反 例 :对 于 自 然 数 ,令 = , ),可 以 看 出 ： 对 于 任 意 的 有 限 集 合 N, = ,但 是 =1 = . (49)设 是 开 集 , 是 一 族 有 界 闭 集 . 假 如 ,证 明 ： 存 在 中 有 限 个 元 素它 们 的 交 是 的 子 集 . 证 明 . 是 一 族 有 界 闭 集 ， 并 且 ( ) = . 15因 此 ， 利 用 前 题 的 结 论 知 道 ： 存 在 的 有 限 子 集 0 使 得 0 ( ) = . 也 就 是 说 ： 0 . (51)证 明 ： 用 十 进 制 小 数 表 示 0,

30、1中 的 数时 ， 规 定 有 理 小 数 按 规 定 展 开 为 有 限 位 ， 而 以 7为尾 数 的 有 理 小 数 展 开 为无 限 位 (也 就 是 说 ： 0. 7 = 0. 699. , 0. 17 = 0. 1699. )。 则 10进 制 表 示 中 用 不 着 数 字 7的 一 切 数 构 成 的 集 合 是 完 备 集 . 证 明 ： 我 们 知 道 ： (0, 1中 的 任 意一 个 数 可 以 写 成 = =1 10 , 而 如 此 的 表 示 不 是 唯 一 的 (例 如 0, 1中 的 有 理 数 ).令 = 0, 1, 且 其 十 进 制 小 数 表 示 用 不

31、 着 数 字 7 = (7/10, 8/10) =1 ( =1 10 + 7 10 +1 , =1 10 + 8 10 +1 ) , 这 里 , 1 , ., = 7.则 0, 1 是 一 个 完 备 集 (其 余 集 可 以 写 成 一 列 两两 不 相 交 且 没 有 公 共 端点的 开 区 间 的 并 ).只 要 我 们 能 证 明 = 0, 1 就 可 以 得到 要 证 明 的 结 论 . 明 显 地 ,假 如 , ,所 以 0, 1 . 为 证 明 反 向 包 含关 系 ， 任取 0 , 则 0 = =1 10 ,且 1 中至 少 有 一 项 为 7.我 们 记 0 为 第 一 个

32、等 于 7的 项 .断 言 ： (a) 0 中 不 全 为 零 (尾 数 为 7的 有 理 小 数 展 开 为无 限 位 ); (b) 0 中 不 全 等 于 9(否 则 0 = 0 1 =1 10 + 8 10 0 ,是 有 理 小 数 ). 这 样 就 知 道 ： 0 = 0 1 =1 10 + 7 10 0 + 0 10 , 16且 7 10 0 + 0 10 0 9 10 0 10 7 10 0 . 所 以 0 . (52)证 明 ： 设 是 不 可 数实数 集 ， 证 明 集 合 R :对 于 任 意 0, ( , + )是 不 可 数 集 是 一 个 完 备 集 . 证 明 ： 设 是 不 可 数 集 ， = : R,对 任 意 0, ( , + )不 可 数 . 首 先 证 明 : 是 闭 集 ， 为 此 任取 则 存 在 使 得 .对 于 任 意 的 0, ( , + )中 含 有 某 个 ,但 是 如 令 = | | ,则 ( , + ) ( , + ). 而 上 式 前 面 的 那 个 区 间 中 有 的 不 可 数 个 点 。 所 以 . 现 在 来 证 明 中 没 有 孤 立 点 。 假 如 是 的 孤 立 点 ， 则 存 在 0, (