1、1OBPQSSPQBPQCPBC .21存在性问题1、平行四边形（2016 本溪 26） （2017 铁岭）26、 （14 分）如图，抛物线 与 x 轴的两个交点分别为 A（3,0） ，D（-cbxy21,0） ，与 y 轴交于点 C，点 B 在 y 轴正半轴上，且 OB=OD。(1)求抛物线的解析式；(2)如图 1，抛物线的顶点为点 E，对称轴交 x 轴于点 M，连接 BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点 Q，使QBA=BEM，求出点 Q 的坐标；(全等三角形、勾股定理、一次函数）(3)如图 2，过点 C 作 CF x 轴，交抛物线于点 F，连接 BF，点 G 是 x 轴上一点，在抛物线上
2、是否存在点 N，使以点 B，F，G，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由。（1、BF 为边、为对角线；2、抓住一组对边构造全等三角形，其中一个三角形三边是定值）（2017 鞍山）26、 （14 分）如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的2312xy左侧） ，与 y 轴交于点 C。(1)试探究ABC 的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；(2)点 P 是抛物线上一点（不与点 A 重合） ，且 ，求APB 的度数；ABCPB（面积问题：用铅垂线段 PQ 补形，PBC 的面积等于两部分之差，从而把PBC 的面积转化为“水平宽”与“
3、铅垂高”乘积的一半）将求三角形面积问题转化为求水平线段（铅垂线）的长度(3)在（2）的条件下，点 E 是 x 轴上方抛物线上一点，点 F 是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点 E 和点 F，使得以点 B，P，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由。2421EFSBEC（2015 葫芦岛）26、 （14 分）如图，直线 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线34y经过 B，C 两点。cxay432（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，当BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标和BEC 面
4、积的最大值？（面积问题：用铅垂线段 EF 分割，BEC 的面积变成两部分之和， 从而把BEC 的面积转化为“水平宽”与“铅垂高”乘积的一半）过点 E 作 EF y 轴交 BC 于点 F，则(OC=4)（3）在(2)的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P，Q，A，M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。（2016 营口）26、 （14 分）如图 1，已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（-1,0） ，B（3,0） ，C（0,3）直线 BE 交
5、y 轴正半轴于点 E。（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线解析式及顶点 D 的坐标；（2）连接 BD，CD，设 ，求点 E 的坐标；1)tan(, 若BOD(特殊角的三角函数值，相似三角形的判定及性质）（3）如图 2，在(2)的条件下，动点 M 从点 C 出发以每秒 个单位的速度在直线 BC 上移动2（不考虑点 M 与点 C，B 重合的情况） ，点 N 为抛物线上一点，设点 M 移动的时间为 t 秒，在点M 移动的过程中，以 E，C，M，N 四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能，直接写出满足条件的 t 值及点 M 的个数，若不能，请说明理由。32、菱形（2014 本溪）（2017 葫
6、芦岛）如图，抛物线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B，C 三点，已知点)0(2acxyA（-2,0） ，点 C（0，-8） ，点 D 是抛物线的顶点。（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）如图 1，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，第四象限的抛物线上有一点 P，将EBP 沿直线 EP 翻折，使点 B 的对称点 落在抛物线的对称轴上，求点 P 的坐标；B（3）如图 2，设 BC 交抛物线的对称轴于点 F，作直线 CD，点 M 是直线 CD 上的动点，点 N 是平面内一点，当以点 B，F，M，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 M 的坐标。(2)轴对称的性质、等腰直角三角形的性
7、质、函数图像中交点坐标的求法(3)利用边长相等构造全等三角形，其中一个三角形三边长是定值；利用垂直平分线的性质，找到 y 轴上的一点与两端点距离相等，根据勾股定理用方程法求出交点 H 的坐标；求出直线 GH 的解析式，再与直线 CD 的解析式联立方程组求出点 M 的坐标。（2017 营口）26、 （14 分）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 x 轴交于 A，B22bxay 1x两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（-2,0） ，点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E。（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 在第一象限内，当 OD=4PE
8、时，求四边形 POBE 的面积；（3）在(2)的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。4（2016 锦州）26、 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 A（-1,0）和点 B（3,0） ，且与 y 轴交于点 C，点 D 为对）为 常 数 ，其 中 0,(32 ababxay称轴与直线 BC 的交点。（1）求该抛物线的表达式；（2）抛物线上存在点 P，使得DPBACB，求点 P 的坐标；（3）若点 Q 为点 O 关于
9、直线 BC 的对称点，点为直线 BC 上一点，点 N 为坐标平面内一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以 Q，B，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。（2016 眉山）已知如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4。(1) 求经过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式；(2) 在平面直角坐标系 xoy 中是否存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。(3) 若点 M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，
10、请求出当 的最大值时点 M 的坐标，M并直接写出 的最大值。A（3）当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形三边的关系 始终小于 PA。AP当点 M 与点 P、A 在同一直线上时， PAM当点 M、P、A 在同一直线上时， 的值最大。53、矩形如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 D32xy和点 C 关于抛物线的对称轴对陈，直线 AD 与 y 轴相交于点 E。（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求
11、FGH 的周长的最大值；(求二次函数最大值)（3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形是以 AM 为边的矩形，若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标。（3）利用矩形中的直角构造相似三角形，其中一个三角形三边一定（2017 本溪模拟）如图，一次函数 的图像与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，二次函数12xy的图像与一次函数 的图像交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐cbxy21标为（1,0） 。(1) 求二次函数的解析式；(2) 若抛物线上存在点 P，使 ，求出 P
12、点坐标（不与已知点重合） ；PBCDS(3) 在 x 轴上存在点 N，平面内存在点 M，使得 B、N、 C、M 为顶点构成矩形，请直接写出 M点坐标。（2）方法:作铅垂线段分割计算方法 1：作铅垂线段 DF、PG，把 BC 当底，高 DF=PG 列等式计算方法 2：分别以 DF、PG 为底，而高都是点 C 的纵坐标，即“水平宽”与“铅垂高”乘积的一半6BPDHAPDABHABP SSSS 四 边 形 32121 QABP3、等腰直角三角形（2017 本溪 26）（2016 丹东）26、如图，抛物线 过 A（4,0） ，B（1,3）两点，点 C，B 关于抛物线的bxay2对称轴对称，过点 B 作
13、直线 BHx 轴，交 x 轴于点 H。（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点 C 的坐标，并求出ABC 的面积；（3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP 的面积为 6 时，求出点 P 的坐标；（4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C，M，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN 的面积。(3)面积问题：1、用水平线段 PD 补形：2、用铅垂线段 PQ 补形：（2016 玉林）如图，抛物线 L： 与 x 轴交于 A，B（3,0）两点， （A 在 B 的左侧） ，cbaxy2与 y 轴交于点 C（0,3） ，已知对称轴 ，1（1
14、）求抛物线 L 的解析式；（2）将抛物线 L 向下平移 h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC 内（包括OB 的边界） ，求 h 的取值范围；（3）设点 P 是抛物线 L 上任意一点，点 Q 在直线 上，PBQ 能否成为以点 P 为直角顶点3:xl的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由。74、等腰三角形（2013 本溪）（2017 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过两点 A（2,4） ，B（4,4） ，交bxay2x 轴正半轴于点 C。（1）求抛物线 的解析式；bxay2（2）过点 B 作 BD 垂直于 x 轴，垂足为点 D，连接 AB，
15、AD，将ABD 以 AD 为轴翻折，点 B 的对应点为点 E，直线 DE 交 y 轴于点 P，请判断点 E 是否在抛物线上，并说明理由。（3）在(2)的条件下，点 Q 是线段 OC（不包含端点）上一动点，过点 Q 垂直于 x 轴的直线分别交直线 DP 及抛物线于点 M，N，连接 PN，请探究，是否存在点 Q，使PMN 是以 PM 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由。（3）属于“两动一定” ，适合代数法：用代数式分别表示出三边列方程解方程（检验）（2016 山西）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点，与82baxyy 轴交于点 C，
16、直线 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，l连接 CE，已知点 A，D 的坐标分别为（-2,0） ， （6，-8）.（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点 F，使FOEFCE?若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m） ，直线 PB 与直线 交于点 Q，试l探究：当 m 为何值时，OPQ 是等腰三角形。(3)当OPQ 三边无法表示出时，过点 E 作 EFPB，能求出直线 EF 的解析式，再根据平行线的性质 ， 求出直线 PB
17、 的解析式，从而求出点 P 的坐标，即 m 的值。21K8（2016 铁岭）如图，抛物线 经过点 A(-1,0)和点 B(4,0)，且与 y 轴相交于点 C，点32bxayD 是线段 BC 上的一个动点（不与点 B,C 重合） ，设点 D 的横坐标为 t，过点 D 作 DEy 轴交抛物线于点 E，点 F 在 DE 的延长线上，且 EF=DE，过点 F 作 FG直线 BC，垂足为点 G。（1）求此抛物线的解析式和点 C 的坐标；（2）设DFG 的周长为 L，求 L 和 t 的函数关系式；(相似三角形的判定和性质）（3）直线 m 经过点 C，且直线 mx 轴，点 P 是直线 m 上任意一点，过点
18、P 分别作 PQ直线BC，PRx 轴，垂足分别为点 Q，R，若以三点 P，Q，R 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 P 的坐标。（3）利用全等或相似的判定和性质5、直角三角形（2015 本溪 26）（2017 年阜新）如图，抛物线 的图像与 x 轴交于 A（-5,0） ，B（1,0）两点，与 ycbxy2轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D。（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 1，点 E（x，y）为抛物线上一点，且 ，过点 E 作 EF x 轴，交抛物线的对25-x称轴于点 F，作 EHx 轴于点 H，得到矩形 EHDF，求矩形 EHDF 周长的最大值；（3）如图 2，
19、点 P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 P，使以点 P，A，C 为点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。9（2015 本溪）如图，抛物线 经过点 A（2,0） 、点 B（3,3） 。BCx 轴于点 C，连)0(2abxy接 OB，等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 在 x 轴上，点 E 的坐标为（-4,0） ，点 F 与原点重合。(1) 求抛物线的解析式并直接写出它的坐标；(2) DEF 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动，运动时间为 t 秒，当点 D 落在 BC边上时停止运动。设DEF 与OBC 的重叠部分的面积为 s，求出 s 与
20、 t 的函数解析式；(3) 点 P 是抛物线对称轴上一点，当ABP 是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标。6、三角形相似问题（2015 铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A（-3,0） ，32baxyB（1,0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对陈。（1）求抛物线的解析式，并直接写出点 D 的坐标；（2）如图 1，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 匀速运动，到达点 B 时停止运动。以 AP 为边作等边APQ（点 Q 在 x 轴上方） ，设点 P 在运动过程中，APQ 与四边形AOCD 重叠部分的面
21、积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒，求 s 与 t 之间的函数关系式；（3）如图 2，连接 AC，在第二象限内存在点 M，使得以 M，O，A 为顶点的三角形与AOC 相似。请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标。（2016 连云港）如图，在平面直角坐标系 x0y 中，抛物线 经过两点 A（-1,1） ，bxay2B（2,2） ，过点 B 作 BC x 轴，交抛物线于点 C，交 y 轴于点 D。（1）求此抛物线对应的函数表达式及点 C 的坐标；（2）若抛物线上存在点 M，使得BCM 的面积为 ，求出点 M 的坐标；27（3）连接 OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得AOC 与OBN
22、相似（边 OA 与边 OB 对应）的点 N 的坐标。10OAMNSABN21（2015 朝阳市）如图，已知经过点 D（2， ）的抛物线 （m 为常数，且 m0）3- )3(1xy与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C。（1）填空：m 的值为 ，点 A 的坐标为 ；（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留卓图痕迹，不写作法）：连接 AD，在 x 轴上方作射线 AE，使BAE=BAD，过点 D 作 x 轴的垂线交射线 AE 于点 E；（3）动点 M、N 分别在射线 AB、AE 上，求 MEMN 的最小值；（4） 是过点 A 平行于 y 轴的直线，P 是抛物线
23、上一点，过点 P 作 的垂线，垂足为点 G。请你l l探究：是否存在点 P，使以 P、G、A 为顶点的三角形与ABD 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。7、与面积有关的问题:（2017 鞍山） （2015 葫芦岛） （2016 丹东）(2017 本溪模拟）(割补法用水平线段或铅垂线段来割补三角形）(2017 抚顺模拟)如图，直线 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，抛物线 经过 A、B34y cbxy2两点，M 是射线 BA 上一个动点，MN y 轴交抛物线于点 N。(1) 求抛物线的解析式；(2) 连接 AN、BN，设ABN 的面积为 S，点 M 在线段 AB 上运动
24、，在点 M 的运动过程中，S 是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。(3) 点 M 从点 B 出发，沿射线 BA 方向以每秒 5 个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为ts，当 t 为何值时，MB=MN，请直接写出所有符合条件的 t 值。OA=4，则 MN 值最大，ABN 面积最大面积最值本质上就是线段的最值，面积最值与线段最值之间可以互相转化11DEMDCMAMNACDEDMN SSSSS 四 边 形42121 PDOAPSAPQ(2018 本溪模拟一）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经过点 A（6,0） ，cbxay2B（-2,0） ，C（0,4）（1）
25、求二次函数 的表达式；cbxay2（2）点 P 在第一象限的抛物线上，且能够使ACP 的面积最大，求点 P 的坐标；（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得APQ 为直角三角形，若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。面积求法：作铅垂线段 PD，把ACP 的面积分割成两部分的和，所以 PD 最大， 则ACP 的面积最大。（2016 抚顺）已知抛物线 经过点 A（-3,0） ，点 C（0,4） 。cbxy29（1）求抛物线的解析式；（2）作 CD x 轴交抛物线于点 D，作 DEx 轴，垂足为点 E，动点 M 从点 E 出发在线段 EA 上以每秒 2 个单位长度
26、的速度向点 A 运动，同时动点 N 从点 A 出发在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒。如图 1，当 MN DE 时，求 t 值；如图 2，设DMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；在点 M 和点 N 运动过程中，是否存在某一时刻，使 MNAD？若存在，直接写出此时 t 的值；若不存在，请说明理由。8、重叠部分的面积问题（2015 年中考本溪、铁岭、营口、辽阳）12二、线段和、差最值问题（2016 本溪）题型 1：两定一动（作对称，连定点） （两点之间线段最短）1、如图，正方形 ABCD 的边长
27、为 8，M 在 DC 上，且 DM 等于 2，N 是 AC 上一动点，则 DNMN 的最小值为多少？题型二：两动一定（作对称，作垂直） （垂线段最短）1、正方形 ABCD 的边长是 8，DAC 的角平分线 AE 交 DC 于点 E，若点 PQ 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQPQ 的最小值？2、若ABC 中，BAC=30 0,AB=BC=2，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 得值最小，则这个最小值为？题型三：做双对称（转化成线段即两对称点之间的距离）1、已知AOB=30 0,点 P 为AOB 内一点，且 OP=5cm，点 M、N 分别在 OA、OB 上运动，求PM
28、N的周长的最小值。2、在直角坐标系中有四个点 A（-6,3） ，B（-2，5）,C（0，m）,D(n，0） ，当四边形的周长最短时求点 C 点 D 的坐标。题型四：平移线段在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上的两个动点，且 PQ=3，当 CQ= 时，四边形 APQE 的周长最小。13题型五：线段之差最大1、已知ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=4,BCD=15 0，P 为 CD 上的动点，则 的最大值PBA是多少？利用三角形三边关系，当三边共线时，差最大2、如图，已知直线 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 与直线交于1
29、2xy cbxy21A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1,0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使的值最大，求出点 M 的坐标。MCA(2016 眉山）已知如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4。(4) 求经过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式；(5) 在平面直角坐标系 xoy 中是否存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。(6) 若点 M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当 的最大值时
30、点 M 的坐标，M并直接写出 的最大值。A（3）当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形三边的关系 始终小于 PA。P当点 M 与点 P、A 在同一直线上时， PAM当点 M、P、A 在同一直线上时， 的值最大。14已知，二次函数 的图像的顶点为 H，与 x 轴交于 A，B 两点（B 在 A 点右侧） ，)0(32axay点 H，B 关于直线 ： 对称。(1) 求 A，B 两点坐标，并证明点 A 在直线 上；A （-3,0 ）B（1,0）(2) 求二次函数解析式；(3) 过点 B 作直线 BKAH 交直线 于 K 点，M ，N 分别为直线 AH 和直线 上的两个动点，连接 HN，NM，求 HN NMMK 的最小值。
