1、1复习专题 3-恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化： 恒成立 ；afxmaxfminfafx恒 成 立2、能成立问题的转化： 能成立 ；in a能 成 立3、恰成立问题的转化： 在 M 上恰成立 的解集为 Mff RfxC在 上 恒 成 立在 上 恒 成 立另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值 ，若Ax)(, )(xAf)(min,Dx在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值 .Bxf)( )(f Bfma4、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则fgba,1dc,221xgfgfminin5、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则xf
2、x,1x,2 21fxfaax6、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则gbadcxggmin7、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则f ,1,2 21ffaxin8、若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 和图象在函数 图x yfy象上方；9、若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 和图象在函数 图fg xg象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、已知函数 ， ，其中 ， 12)(axxf xag)(0x1）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；,1)(f2）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；4,2 )(21f a【分析：】1）思路
3、、等价转化为函数 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决0)(xgf2）思路、对在不同区间内的两个函数 和 分别求最值，即只需满足 即可f)(xg )(maxingf简解：（1）由 成立，只需满足 的最小值大于 即可对12123aax 12)(3x求导， ，故 在 是增函数， ，所以)(230)()4x)(x,132)(minx的取值范围是 a30a2、设函数 ，对任意 ，都有 在 恒成立，求实数 的取值范围bxh)( 2,1a0)(xh,4b分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值， ；0)(10)(max
4、h2方法 2：变量分离， 或 ；)(10xabxb)10(2方法 3：变更主元， ，)b,a简解：方法 1:对 求导， ，xxgh( 22)()(xaxh由此可知， 在 上的最大值为 与 中的较大者)(x1,4)41(h，对于任意 ，得 的取值范围是 abah93010)(4 2,1ab47b3、已知两函数 ， ，对任意 ，存在 ，使得 ，则实2)(xfmgx1)( ,01x2,1x21)(xgf数 m 的取值范围为 解析：对任意 ，存在 ，使得 等价于 在 上的最小值,01,12 21)(gfmx)(,不大于 在 上的最小值 0，既 ，412)(xf, 0441题型二、主参换位法(已知某个参
5、数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足 的所有实数 p,求使不等式 恒成立的 x 的取值范围。p212xp解：不等式即 ,设 ，则 在-2,2上恒大于 0，故211xx1fxfp有： 或2043032f x或或 32、已知函数 是实数集 上的奇函数，函数 是区间 上的减函数，()求()ln)(xfea为 常 数 ） R()singxfx1,的值； ()若 上恒成立，求 的取值范围；a 21,gtx在 t()分析：在不等式中出现了两个字母： 及 ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显t然可将 视作自变量，则上述问题即可转化为在 内关于 的一次函数大于等于 0 恒成立的
6、问题。()略 1解：由()知： ， ， 在 上单调递减， 在 上()fx()singxx()g， ()cosgxxcosx1，恒成立， ， 只需 ， （其中 ）恒成1， ma12sin1t2in1tt立，由上述结论：可令 ,则 ， ，而2()si10(ftt） 20sit2si0t恒成立， 。2sin0tt题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .,x24xm解析: 当 时，由 得 . .(1,)0m24x5题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法） ）1、若对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
7、_xR|xaa解析：对 ,不等式 恒成立、则由一次函数性质及图像知 ，即 。 1a1a2、已知函数 ，在 恒有 ，求实数 的取值范围。2fk1fxkk分析：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 ，则把原题转化成左边二次函数在x,Fxfk区间 时恒大于等于 的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。1,0|yx|yxaaO3解：令 ，则 对 恒成立，而 是开口向上的抛物线。2Fxfkxk0Fx1,Fx当图象与 x 轴无交点满足 ，即 ，解得 。240k21k当图象与 x 轴有交点，且在 时 ，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：1,解得 ，故由知 。012Fk32k3
8、1k小结：若二次函数 大于 0 恒成立，则有 ，同理，若二次函数 小于 0yaxbc0a 2yaxbc恒成立，则有 。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知0识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上 ；xfxAmaxfA若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上的 .BinB1、存在实数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值范围为_。x2313aa解：设 ，由 有解， ，31ffx 2minfx又 ， ，解得 。314x2441或2、已知函数 存在单调递减
9、区间，求 的取值范围ln0fxa解： 因为函数 存在单调递减区间，所以f2 10xfx有解.即 能成立, 设 .0,210ax21u由 得, .于是, ,uxminuxa由题设 ,所以 a 的取值范围是01小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式 对 时恒成立 ， 。即 的上界小于或等于 ；fxMImax()fMxIfxM不等式 对 时有解 ， 。 或 的下界小于或等于 ；in不等式 对 时恒成立 ， 。即 的下界大于或等于 ；fIi()fIf不等式 对 时有解 ， .。 或 的上界大于或等于 ；xmaxxx
