1、 中考专题之探索等腰三角形及菱形的存在性问题考点分析：中考中对于等腰三角形及菱形的存在性问题的考查多以压轴题形式出现,题目的设计多与几何图形中的动点问题、坐标系中的抛物线相结合，综合性很强，对学生分析问题、解决问题的能力提出较高的要求。等腰三角形存在性问题根据已知点的情况主要分为“两定一动型”和“一定两动型”，而菱形存在性问题可转化为等腰三角形存在性问教学过程：1主要知识回顾：1.若 是等腰三角形，则可能有下列线段相等： ABC2.等腰三角形的性质： 3.研究菱形的存在性问题可转化为研究 的存在性问题。二中考中的题目分类：（一）两定一动型1.只找点不计算（以选择题或填空题的形式出现，只需按照“
2、两圆一线”的方法作出图形即可求解）例1.如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x轴上，若以P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）A 2个 B 3个 C4个 D5个针对性练习1. 如图所示，在梯形ABCD中,ADBC, ABC=90,AD=AB=6,BC=14,点M是线段BC上一定点，且MC=8,动点P从C点出发沿 的路线运动，CDAB运动到点B停止在点P的运动过程中，使PMC为等腰三角形 的点P有 个2.计算题目（解这类题目的方法可以分为几何法与代数法）。例2.(例1变式）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴
3、上的一个动点，如果D OP是等腰三角形，求点P的坐标【解析】分三种情况讨论等腰三角形DOP：ODDP，OD OP，POPD 几何法一般步骤:分类、画图、计算当DODP 时，以 D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点 P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为 (6, 0)（如图1）当ODOP 5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点 P(5, 0) （如图2）当POPD 时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图3）在RtOPE中， ， ，所以 3cos52OE256此时点P的坐标为 25(,0)6图1 图2 图3上面是几何法的解题过程，我们可
4、以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中和画好图就知道答案了，只需要对进行计算代数法一般步骤：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验先设点P的坐标为(x, 0)，其中x0，然后罗列DOP 的三边长（的平方）DO25 2，OP 2x 2，PD 2(x3) 2+42当DODP 时， 52(x 3) 2+42解得x6，或x0当x0时既不符合点P 在x 轴的正半轴上，也不存在 DOP当ODOP 时， 52x 2解得x5当x5时等腰三角形DOP 是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上当POPD 时，x 2(x 3) 2+42这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（ x轴和OD 的垂直
5、平分线）有且只有一个交点代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验针对性练习1. 如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A ，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程x 214x+48=0的两个实数根（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 P点的坐标2.如图1，在 中，AB=AC=4， ， 和 关于AB所在的直线对称，点M 为边AC上的ABC 67.5ABCABD C一个动点（重合），点M关于 AB所在直线的对称点为N， 的面积为
6、S.N（1）求 的度数；D（2）设CM=x，求S与x 的函数表达式，并求x 为何值时S的值最大？（3）S的值最大时，过点C作 交AB 的延长线于点E，连接EN（如图2）.P为线段EN 上一点，Q 为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请求出所有满足条件的NP的长.（提示：“以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形”实际是思考 “以M ，N ，P为顶点的三角形是等腰三角形”）（2）一定两动型（解决方法：利用线段相等建方程利用“三线合一”作图利用图形相似或特殊三角形边的关系建方程）例3：如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC 向点C移动，
7、同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P 、 Q两点中其中一点到达终点时则停止运动在P 、 Q两点移动的过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值【解析】在P 、 Q两点移动的过程中， PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是 PCQ的大小，夹PCQ的两条边CQt，CP102t.因此PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个C就可以了，在 C的边上取点P或Q画圆图1 图2 图3如图1，当CPCQ时，t102t，解得 (秒).10t如图2，当QPQC时，过点 Q作QMAC 于M，则CM .52PCt在RtQMC 中， ，解得 (秒).45cosCt9t如图3
8、，当PQPC时，过点P作PNBC 于N ，则CN.在RtPNC中， ，解得 (秒).142cos50tCP8021t针对性练习：1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=5，AD=6，BC=12 ，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从点C出发沿 CB以每秒2个单位的速度向B点运动，两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动，当P、Q、C 三点构成等腰三角形时，P 点离开D点多少时间？QPDCBA2.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）.以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P 从
9、点A出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P，Q 的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P 作PEAB交AC于点E.（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）在动点P，Q运动的过程中，当 t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？.三. 课后训练题目：1.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC= ，点E是折线段A DC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A43关于BE的对称点在点E运动的过程中，使 PCB为等腰三角形的点 E的位置共有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个2. 如图
10、，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A 、 B两点， cby2A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于 C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结PO、PC ， 并把POC沿CO翻折，得到四边形POP C， /那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由/3.如图，在梯形 ABCD中， ADBC ， AD=3， DC=5， AB=4 ， B=45动点 M从 B点出发沿线段 BC以每秒2个单位长度2的速度向终点 C运动；动点 N同时从 C点出发沿线段 CD以每秒1个单位长度
11、的速度向终点 D运动设运动的时间为 t秒（1）求 BC的长（2）当 MNAB 时，求 t的值MNBDCAAB CDPE（3）试探究： t为何值时， MNC为等腰三角形4.如图，已知直线y=x +3与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90 后得到 COD（1）点C的坐标是 （0，3） 线段AD的长等于 4 ；（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x 2+bx+c经过点C ，M ，求抛物线的解析式；（3）如果点E在y 轴上，且位于点C 的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由5.如图甲，在ABC中，ACB=90 ，AC=4cm ，BC=3cm如果点P由点B 出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连接PQ，设运动时间为t （s）（0t4），解答下列问题：（1）设APQ的面积为S，当t 为何值时，S 取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形 PQPC，当四边形PQPC 为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形？
