1、对数函数例题解析【 例 1】 ()y=log(2)1(a01)3f(x)y=flog(3x)12a 1求 函 数 的 定 义 域 求 函 数 ， 且 的 定 义 域 已 知 函 数 的 定 义 域 是 ， ， 求 函 数 的 定 义3x)域解 (1)由 或 log()123032102031xxx23121 或 x 所 求 定 义 域 为 |3解 (2)1log a(xa)0，log a(xa)1当 a1 时，0xaa ，函数的定义域为(a ，0)当 0a 1 时，xaa ，函数的定义域为(0，)解 (3)fy=flog(3x)1 的 定 义 域 为 ， ， 函 数 有 意 义 ，必 须 满
2、足 ， 即 ， ， 故 函 数 的 定 义 域 为 ， log(3x)1logl13x12f()211338 8【 例 】 y=0x已 知 函 数 ， 试 求 它 的 反 函 数 ， 以 及 反 函 数 的 定 义域和值域 解 y=10y=10(1y)01x xxx已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， ， 由 得 ， ， 即 为 函 数 的 值 域 R由 得 ， 即 反 函 数 =lgf()lgx1反函数的定义域为(0，1) ，值域为 yR【例 3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg( x)，(2)y=log 2|x1| (3)y=|lo(x)|(4ylo(1)122 ，
3、解 (1)y=lg(x) 的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称，如图 283 所示，单调减区间是(，0) 解 (2)先作出函数 y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移 1 个单位就得 ylog 2|x1|的图像如图 284 所示单调递减区间是( ，1)单调递增区间是( 1 ，) 解 (3)y=logx=log(x1)12 2把 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 得 到 的图像，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对 称 轴 翻 折 到 轴 上 方 ， 就 得 到 的 图 像 如 图 y=|log(1)| 852所示单调减区间是( 1，2
4、单调增区间是2，)解 (4)函数 y=log2(x)的图像与函数 y=log2x 的图像关于 y 轴对称，故可先作 y=log2(x) 的图像，再把 ylog 2(x)的图像向右平移 1 个单位得到 y=log2(1x) 的图像如图 28 6 所示单调递减区间是( ，1)【例 4】 图 287 分别是四个对数函数，y=log axy=log bxy=log cxy=log dx 的图像，那么 a、b、c、d 的大小关系是 Adcba Ba bcdCbadc Dbcad解 选 C，根据同类函数图像的比较，任取一个 x1 的值，易得 ba1 dc故选 C【例 5】 已知 loga3log b3，试
5、确定 a 和 b 的大小关系解法一 令 y1=logax，y 2=logbx，log axlog b3，即取 x3 时，y 1y 2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当 loga3log b30 时，由图像 288，取 x=3，可得 ba 1(2)当 0log a3log b3 时，由图像 289，得 0ab1(3)当 loga30 log b3 时，由图像 2810，得 a1 b 0 解法二 由换底公式，化成同底的对数当 时 ， 得 ， ，log3l00logbla0ab 33133loglab函数 y=log3x 为增函数， ba1当 时 ， 得 ， ，ll llaba 3333
6、lla函数 y=log3x 为增函数， 0ab当 时 ， 得 ，logl 0 loga0lba 331133loglb即 a1 b0【 例 6】 a1logllogalb2abba若 ， 则 、 、 、 的 大 小顺序是：_解 b01l0loga0loga1laba1logl2 aba2aba ， ， ， ， ， ， 由 得 ， 故 得 ： b说明 本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于 1，小于 1 分组，即借助 0、1 作桥梁这个技巧，使问题得以解决【例 7】 设 0x1，a1 ，且 a1，试比较|log a(1a)|与|log a(1x)|的大小解法一 求差比大小|loga(1x
7、)|log a(1x)|=|lg()|l()g|l(|)|l()|11ax=|lg()lg() 01x1x)l1x2 |a|log a(1x)|log a(1x)|解法二 求商比较大小|log()|log()|aaxx11=|log(1+x)(1x)|= log 1+x(1x)(1x 1，而 01x1) 原 式 =log=loglog(1x)=(+)(1+x)+)2|log a(1x)|log a(1x)|【 例 8】 f()l()(a0)a已 知 函 数 ， 且 ， 判 断 其2奇偶性解法一 已知函数的定义域为 R，则xRf(x)=log(1+)a2a 2=loglogaa1122xxfx(
8、)(f(x)是奇函数解法二 已知函数的定义域为 R由 f()=log(1+)log(1+x)=log1+xa22a2 x=loga1=0f(x)=f(x)，即 f(x)为奇函数【 例 9】 ()f()=log(01)2已 知 函 数 ， 那 么 它 在 ， 上 是 增 函 数x1还是减函数？并证明(2)讨论函数 y=loga(ax1)的单调性其中 a0，且 a1(1)证明 方法一 f(x)在(0，1)上是增函数设任取两个值 x1，x 2(0，1)，且 x1x 2 f()=loglog=loglxlogx=0222x21212112l()(0x 1x 21 ，x 1x 1x2x 2x 1x2)f
9、(x 1)f(x 2)故 f(x)在(0，1)上是增函数方 法 二 u=x1令 1 在 ， 上 是 增 函 数 ， 又 ， 在 ，(0)u0y=logu(02 上 是 增 函 数 ， 在 ， 上 是 增 函 数 )fxlog(1)2(2)解 由对数函数性质，知 ax10，即 ax1 ，于是，当 0a1 时，函数的定义域为(，0) ，当 a1 时，定义域为(0，) 当 0a 1 时，ua x1 在(，0)上是减函数，而 y=logau 也是减函数，y=log a(ax1) 在( ，0) 上是增函数当 a1 时，ua x1 在(0，)上是增函数，而 y=logau 也是增函数，ylog a(ax1
10、) 在(0，)上是增函数综上所述，函数 y=loga(ax1)在其定义域上是增函数【例 10】 (1)设 0a1 ，实数 x、y 满足 logax3log xalog xy=3，如 果 有 最 大 值 ， 求 这 时 与 的 值 y24(2)f(x)=log3l2121讨 论 函 数 的 单 调 性 及 值 域 解 (1)l =logylxa aa2由 已 知 ， 得 ， llaaxy3logx=l)aa2 34 ， 关 于 为 减 函 数 即 有 最 大 值 时 ，01logyylogya a24有 最 小 值 l24a 当 时 ， ，logx=3log=34aa ， ， 得 ， 1x83432解 R (2)t=logx0tt=logx(0)12 12设 ， 则 ， ， 且 是 ， 上 的减函数 f(t)3t() 是 ， 上 的 增 函 数 ， 是 ， 上 的323减 函 数 时 ，=x2 函 数 在 ， 上 是 增 函 数 ， 在 ，f(x)logl(02112 2)上是减函数又 ， 值 域 是 ， f(=t)(34142
