1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知 的定义域，求 的定义域fx()fx()例 1. 设函数 的定义域为（0 ，1） ，则函数 的定义域为 _。ufx(ln)解析：函数 的定义域为（0，1 ）即 ，所以 的作用范围为（0，1）f u0， f又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 1l解得 ，故函数 的定义域为（1，e）xe()， fx(ln)例 2. 若函数 ，则函数 的定义域
2、为_。ff()解析：先求 f 的作用范围，由 ，知x()1x即 f 的作用范围为 ，又 f 对 f(x)作用xR|所以 ，即 中 x 应满足ff()()且 1f()fx1()即 ，解得x1x2且故函数 的定义域为f()Rx|1且（2 ） 、已知 的定义域，求 的定义域gxf()例 3. 已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为_。f()32x2， fx()解析： 的定义域为 ，即 ，由此得x1， 1， 3215x，所以 f 的作用范围为 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以5， ，即函数 的定义域为x()，例 4. 已知 ，则函数 的定义域为_。fx()lg2248fx()解析：先求 f
3、的作用范围，由 ，知fxx()lg224820解得 ，f 的作用范围为 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x24()， ，即 的定义域为()， x()4，（3 ） 、已知 的定义域，求 的定义域fgfhx()思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ， 的作用范围为()gxE()fE，又 f 对 作用，作用范围不变，所以 ，解得 ，F 为 的定义hx()hx()域。例 5. 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为_。fx()21， fx(log)2解析： 的定义域为 ，即 ，由此得fx()， x1， 12x，的作用范围为 f12，又 f 对 作用，所以 ，解得log2xlog21x， x2
4、4，即 的定义域为f(l)24，三、复合函数单调性问题（ 1）引理证明已知函数 .若 在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又)(xgfy)(xguba,(函数 在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 在区间 ）上)(uf )(xgfyba,(是增函数.证明：在区间 ）内任取两个数 ，使ba, 21,xb21因为 在区间 ）上是减函数，所以 ,记 , )(xg,( )(xg)(1xu即2u),21,21dcu且因为函数 在区间(c,d)上是减函数，所以 ,即fy 21ff，)()(21xf故函数 在区间 ）上是增函数.gfba,(（2 ） 复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个
5、函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： )(ufy增 减 xg增 减 增 减 )(fy增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3 ）、复合函数 的单调性判断步骤：)(xgfy 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数： 与 。)(ufy)(xg 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一)(xgfy个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数 为减函数。)(xgfy（4 ）例题演练例 1、 求函数 的单调区间，并用单调定义给予证明 奎 屯王 新 敞新 疆)32(log1xy解：定义域 102 x或单调减区间是 设 则 ),3(221),3(,xx且log121y )3log21y=)(2x)(2x)(x 31201012 又底数 )(x)3(2x 即 012y1y 在 上是减函数 奎 屯王 新 敞新 疆),3(同理可证： 在 上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆y)1,(
