1、当前位置： 人教网 2010高中数学 B 版教师中心同步教学资源 必修 4教学设计向量数量积的物理背景与定义山东省东营市胜利第一中学 郝葆华一、教学目标（一）知识与技能目标1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义2、知道平面向量的数量积与向量在轴上的射影的关系3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系（二）过程与方法目标经历概念的形成过程，解题的思维过程，让学生亲身体验数形结合思想的指导作用。（三）情感、态度与价值观目标通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。二、教学重点和难点本节的重
2、点是向量的数量积的定义及性质，难点是对向量数量积的定义及性质的理解和应用。三、教学方法倡导“自主、合作、探究”的学习方式，采用自主探究、讲议结合、多媒体辅助教学。四、教学过程教学环节教学内容 师生互动 设计意图 引 导 自 学 ， 感 知 知 识1、一个力 作用于一个物体，力 的方向与前进方向有一个夹角 ，则力 使物体位移 所做的功 _2、已知两个非零向量 、 ，作 ，则_ 称作向量 和 的夹角，记作_，并规定它的范围是_3、 在轴上的正射影的坐标记作_，向量 的方向与轴 的_所成的角为 ，则 _4、（1） 叫做向量 和 的数量积（内积），记作 ，即_要求同学们在 8 分钟之内阅读教材、积极思
3、考，完成老师设置的问题。使同学们通过充分的自主参与，对教材知识有个初步了解，带着问题进入下一步的学习，以充分调动学生的学习兴趣。教学环节教学内容 师生活动 设计意图感知知识引导自学， （2） ，其中 是_，叫做_， 叫做_5、叙述平面向量数量积的性质师 生 互 动 ， 理 解 知 识1、两个向量的夹角 已知两个非零向量 、 ，作 ， ，则 称作向量 和向量 的夹角，记作：（1）注意求两向量的夹角，须先将两个向量平移至公共起点。（2）两个向量夹角的范围：0（3）当 时， 与 同向；当 时， 与 反向。（4）当 时， 与 垂直，记 .（5）规定：零向量与任一向量垂直.利用多媒体展示出不同位置关系的
4、几组向量，借助几何直观对概念进行强调说明。（1）向量同起点（2）范围（3）特殊情况（4）突出一规定借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义奠定基础。突出一规定在向量数量积定义中就可不用再强调非零向量 、 .教学环节教学内容 师生活动 设计意图 师 生 互 动 ， 理 解 知 识2、 向量在轴上的正射影 （1）概念：已知向量 和轴 ，作 ，过点分别作轴 的垂线，垂足分别为 ，则向量 叫做向量 在轴 上的正射影（简称射影）。（2）正射影的数量：即向量 在轴 上的正射影的数量，记作设向量 的方向与轴 的正向所成的角为 ，则强调：正射影是一个向量，该射影在轴上的坐标才是一个数量。
5、（3） 时， ；时， ；时， ；时， ；时， .师生共同回顾自学时所认识的向量在轴上的正射影的概念。在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。借助多媒体形象地展现正射影的数量，它可正、可负、可为零。在两个概念的基础上，学生自主探索发现夹角和正射影数量的关系。教师可来回巡视，进行指导。加强几何直观，有利于学生理解概念。区别正射影与正射影的数量两个概念。学生在已有知识的基础上,自主探索发现,发展认知,提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。教学环节教学内容 师生活动 设计意图 师 生 互 动 ， 理 解 知 识3、 向量数量积的定义 概念： 叫向量 和 的数量积（或内积）
6、，记作 ，即有探究 1：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？两个向量的数量积是一个实数，符号由的符号所决定；而数乘向量是一个向量。探究 2：两个向量的数量积与两个实数的乘法有什么区别?书写：实数乘积 或 ；在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 ，且 ，不能推出，因为其中 cos有可能为 0.已知实数 a、 b、 c(b0)，则 ab=bc a=c，但是在实数中，有( ab)c = a(bc)，但是4、向量数量积的性质（1）如果 是单位向量，则;（2） 且 ;（3） 或 ;（4） ; （5） .两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦
7、值有关。教师提出问题，学生以小组为单位进行探究。对于探究 2此处重点强调书写的区别，其它性质或运算律的区别学生若想不到可在后面例 1中展现。教师采用“由特殊到一般”的方法展现向量数量积的性质：让即得到性质（1）；让 即得到性质（2）；当时即为性质（3）；性质（4）实为公式变形；利用余弦函数有界性即可得性质（5）。学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对新概念的理解与掌握。提出问题引导学生去探究，培养学生的探索精神。通过对书写的强调，体现数学的严谨性。让学生体会“由特殊到一般，再由一般到特殊”的思维方法，发展学生的理性思维能力。教学环节教学内容 师生活动 设计意图 师 生 互 动，理 解 知
8、 识性质的应用：（2）可解决两向量的垂直问题；申：解决两向量共线的问题：且（3）可求向量的长度；（4）可求两向量的夹角，同时也建立了向量与三角的联系；（5）建立了向量与不等式之间的联系.学生自主观察性质特点，自主总结性质的应用价值，也可以以小组为单位进行探究。培养学生自主探究、合作交流的能力，变“学会”为“会学”。典 例 探 究 ， 掌 握 知 识例 1、判断正误：若 ，则对任一向量 ，有 .()若 ，则对任一非零向量 ，有 .( )若 ，则 、 至少有一个为零.( )若 ， ，则 .( )若 ，则 当且仅当 时成立. ( )对任意向量 、 、 ，有 .( )对任意向量 ，有 .( )对任意向
9、量 ，有 .()教师出示 8个判断题,学生进行分析、判断,教师提问个别同学进行回答,根据回答情况进行强调和纠正。通过题目帮助学生更准确的认识向量的数量积，并养成缜密推理的好习惯。教学环节教学内容 师生活动 设计意图 典 例 探 究 ， 掌 握 知 识例 2、已知 ， ，当 ， ， 与 的夹角是 30时，分别求 .例 3、在正三角形 中，边长为 3，求（1） （2）强调：第（2）问是个易错点，此两向量首尾相接，所以两向量的夹角不再为 ，而应为 .教师出示例题,由学生到黑板上板演，最后师生共同点评完成。教师出示例题，由学生进行口头分析，充分展示学生的思维过程。让学生在掌握向量数量积公式的基础上，进
10、一步认识两个向量垂直、共线的充要条件，因为它是用“向量法”解决解析几何、立体几何中有关两直线位置关系问题的重要工具。自 我 实 践 ， 应 用 知 识练基础：1、若 ，则 与 的夹角 的取值范围是_.2、已知 ,=4， ，则 = _.3、已知 =2， 在 方向上的正射影的数量为-4，则 _.4、已知 =3， ，且 ，则 在方向上的正射影的数量为_.学生独立完成，教师核对答案，并关注学生的数学表达。这些练习源于课本例、习题，充分体现以本为本。教学环节教学内容 师生活动 设计意图 自 我 实 践 ， 应 用 知 识练能力：1、在四边形 中， ，且，则四边形 是（ ）梯形 菱形 矩形 正方形2、在
11、中， ， ，且，则 的形状为_.练应用：1、已知平面上三点 、 、 满足 ， ，求的值.2、已知一个与水平夹角为 的力 ， 的大小为 50 ，拉着一个重 80 的木块在摩擦系数 为的水平面上运动了 20 ，求拉力 、摩擦力 做的功分别为多少？通过反馈练习，学生自我检验所学的效果，找出问题，进行弥补。教材以力做功为背景引入新知识，练习以计算力做功而结束，首尾相应，并体现数学的应用价值。归 纳 总 结一、知识： 1、两个向量的夹角2、向量在轴上的正射影及正射影的数量3、向量数量积的定义及性质二、能力：1、运用数量积的定义及性质解决问题2、探究问题的能力、合作交流的意识三、数学思想：1、数形结合思想2、由特殊到一般，再由一般到特殊学生反思本节内容，对知识进行总结，教师再强调补充。让学生学会学习，养成自我总结、自我反思的习惯。重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。 2010-04-28 人教网关闭打印推荐给朋友大 中 小【上一篇】【下一篇】
