1、加速度教育 教师讲义31 数列的概念【知识网络】【考点透视】一、考纲指要1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.二、命题落点1能合理地由数列前几项写出通项公式；如例 1，例 3；2掌握 项和 与通项 的重要关系： 如例 2，练习 5.nnSna1,.nnSa【典例精析】例 1 （2005 湖南）已知数列 满足 ，则 =（ ）na)(13,0*11 Nann 20aA0 B C D3解析：由 a1=0, 得 a2=).(1Nnan ,0,3,4a由此可知: 数列a n是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a2= .答案：B数列数列的概念定义求通项数列的表示分类等差数列等比数列特殊数列
2、求和特殊数列定义通项公式前 n 项和公式性质应用加速度教育 教师讲义例 2:（2005上海）用 个不同的实数 可得到 个不同nna,21 !的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵。对第 行 ，记!iii, iniiii aab)1(.321， 例如：用 1，2 ，3 可得数阵如图，由于此数阵中每一,3,1i 列各数之和都是12，所以， ，那么，在用462 bb1， 2，3，4 ，5 形成的数阵中， =_.12021b解析：在用 1，2，3 ，4，5 形成的数阵中，每一列各数之和都是 360，1083654366021 bb答案： .8例 3.(2005湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，
3、为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，nN *，且 x10.不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与 xn2 成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b，C（1）求 xn+1 与 xn 的关系式；（2）猜测：当且仅当 x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）设 a2，b1 ，为保证对任意 x1（0,2） ，都有 xn0，nN *，则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论.解析：（1）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量
4、为 axn，被捕捞量为 bxn，死亡量为.(*),1( .(,1 22 Nncxbaxcn即 因 此（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn 恒等于 x1， nN*，从而由（*）式得0,0)( 1cbacbacnn 即所 以恒 等 于因为 x10，所以 aB 猜测：当且仅当 ab，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.（3 ）若 b 的值使得 xn0，n N*由 xn+1=xn(3bx n), nN*, 知 00.又因为 xk+1=xk(2x k)=(x k 1)2+110， nN*，则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.【常见误区】1第 项 与项数 之间的对应关系搞错；na2不能正确地应用前
5、和公式来求通项公式 .1 2 31 2312 312 31 23123加速度教育 教师讲义8 1 63 5 74 9 2【基础演练】1已知数列 满足 ，则当 时， （ ）na0011,nnaa 1nnaA B C D22222 将 n2 个正数 1，2，3，n 2 填入 nn 方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做 n 阶幻方，记 f(n)为 n 阶幻 方对角线的和，如右图就是一个 3 阶幻方，可知 f(3)=15，则 f(4)=（ ）A32 B33 C34 D353一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍）：第 1 行 1第 2 行
6、2 3第 3 行 4 5 6 7 则第 9 行中的第 4 个数是 （ ）A132 B255 C259 D2604如果 且 ,则()fab()fb(12f)205(6)5(634)(ffff（ ）A2006 B2005 C2004 D10035(2004江苏) 设数列a n的前 n 项和为 Sn，S n= (对于所有 n1) ，且 ，则2)13a4a的数值是_.1a6已知数列 ， 且数列 的前 n 项和 ，那么 n 的n1anNa9nS值为 7设不等式组 所表示的平面区域为 Dn，记 Dn 内的整点个数 （整nxy30 *).(Nna点即横坐标和纵坐标均为整数的点） （1）求数列 的通项公式；n
7、a（2）记数列 的前 n 项和为 Sn，且 .若对于一切的正整数 n，总有 ，求实数 m123nSTTn的取值范围加速度教育 教师讲义8 （ 2002上海）已知函数 f（x ）ab x 的图象过点 A（4， ）和 B（5，1）（1 ）求函数 f（x）的解析式；（2 ）记 anlog 2f（n） ，n 是正整数，S n 是数列a n的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn0 ；（3 ）对于（2 ）中的 an 与 Sn，整数 96 是否为数列a nSn中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.9 （ 2002上海春）某公司全年的纯利润为 b 元，其中一部分作为奖金发给 n 位职工.
8、奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由 1 至 n 排序，第1 位职工得奖金 元，然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工，按此方法将奖金逐一发给ab每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.（1）设 ak（1kn）为第 k 位职工所得奖金额，试求 a2、a 3，并用 k、n 和 b 表示 ak；（不必证明）（2）证明 aka k1 （k1，2，n1 ） ，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3 ）发展基金与 n 和 b 有关，记为 Pn（b） 对常数 b，当 n 变化时，求 Pn（b） lim32 等差数列的通项与前 n 项的和【考点透视】一、考纲指要1
9、理解等差数列的概念;2掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题.二、命题落点1考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例 1，例 2；2考查等差数列的前 项和公式及其性质 .如例 3.【典例精析】例 1：（2005 湖南）已知数列 为等差数列，且)1(log*2Nna.9,31a（1）求数列 的通项公式；na（2）证明 .11232 na解析：（1）设等差数列 的公差为 D 由)(logn即 d=1.,8l)(l9,3222da得所以 即,1)log2n.1na（2 ）因为 ，所以nnna211加速度教育 教师讲义 nnaaa 2121113232 .
10、21nn例 2： (2005江苏）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a11 ，a 26，a 311，且其中 A,B 为常数.1(58)(5),12,3nnSSAB，（1 ）求 A 与 B 的值；（2 ）证明数列a n为等差数列；（3 ）证明不等式 对任何正整数 m、n 都成立.mna解析：（1）由已知，得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18. 由(5n-8)S n+1-(5n+2)Sn=An+B 知.48,22731BAS即解得 A=-20， B=-8。（2 ） 由（1 ）得， （5n-8）S n+1-(5n+2)Sn=-20n-8, 所以 (5n-3)
11、Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, -,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.-,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因为 an+1=Sn+1-Sn所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因为 (5n+2) ,0所以 an+3-2an+2+an+1=0,即 an+3-an+2=an+2-an+1, .1又 a3-a2=a2-a1=5,所以数列 为等差数列n（3
12、）由（）可知，a n=1+5(n-1)=5n-4. 要证了 ,15nmna只要证 5amn1+aman+2 ，因为 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5（ 5mn-4）1+25 mn-20(m+n)+16+2 ,n因为 =20m+20n-37,所以命题得证.)2915(85852 nnmn例 3：（2005 上海）假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长 8%另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加 50 万平方米那么，到哪
13、一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？加速度教育 教师讲义解析：（1）设中低价房面积形成数列 na，由题意可知 na是等差数列，其中 a1=250，d=50，则 ,25502)1(50Sn 令 ,4725n 即 .10,92 是 正 整 数而到 2013 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米.（2 ）设新建住房面积形成数列b n，由题意可知b n是等比数列，其中 b1=400， q=1.08，则 bn=400(1.08)
14、n1 由题意可知 nba85.，有 250+(n1)50400 (1.08)n1 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6，到 2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.【常见误区】1容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误；2不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.【基础演练】1 （ 2006陕西）“等式 sin(+)=sin2 成立“是“、 成等差数列“ 的 （ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件2 （ 2005山东） 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号 等na13d205nan
15、于 （ ）A667 B668 C669 D6703 (2004福建)设 Sn 是等差数列 的前 n 项和，若 （ ）a5935,Sa则A1 B1 C2 D 214 ( 2004重庆) 若 是等差数列，首项 ，则使前 nna10324034,.a项和 成立的最大自然数 n 是 （ ）0nSA4005 B4006 C4007 D40085 （ 2003上海）设 f（x）= .利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可21x求得 f（5）+ f（4）+f（0）+f（5 ）+f （6 ）的值为_.6 （ 2001上海）设数列a n的通项为 an2n7 （nN *） ，则|a 1|a 2|a 1
16、5| 7 (2004全国 1) 等差数列 的前 n 项和记为 Sn. 已知 .50,30（1）求通项 ；n（2）若 Sn=242，求 n. 加速度教育 教师讲义8 ( 2004全国 3 )设数列 是公差不为零的等差数列，S n 是数列 的前 n 项和，且na a，求数列 的通项公式.,921S24n9 （ 2001全国）已知等差数列前三项为 a，4，3 a，前 n 项和为 Sn，S k=2550.（1）求 a 及 k 的值；（2）求 .)1(lim21nnSS33 等比数列的通项与前 n 项的和【考点透视】一、考纲指要1理解等比数列的概念;2掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简
17、单的实际问题.二、命题落点1考查等比数列的概念、通项公式，即等比数列性质的灵活运用；如例 1，例 3；2考查等比数列的前 项和公式及其性质 .例 2.【典例精析】例 1：（2005 山东）21 已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且 （na15nnS125nS）nN（1 ）证明数列 是等比数列；1na（2 ）令 ，求函数 在点 处的导数 2()nfxxa ()fx1(1)f解析：（1）由已知 ，可得 两式相减得*15(nSN2,4nS，即 奎 屯王 新 敞新 疆 从而nnS21n1na当 时, ，所以 奎 屯王 新 敞新 疆 又 所以 ，从而 奎 屯王 新 敞新 疆 故总2156a52121a有
18、 ， 又 ，从而 ,即数列 是以1()nna*N15,01nan为首项，2 为公比的等比数列16（2 ）由（）知 因为321nna21()nfxx所以 ，12()nfxx从而 = 23(321)n加速度教育 教师讲义= - = 23n 12n 1()326n例 2:(2005天津) 若公比为 的等比数列 的首项 且满足 ca113(,4)2na（1 ）求 的值；c（2）求数列 的前 项和 nanS解析:(1)由题设，当 时， ， ，3212,nnacca 221nnnac由题设条件可得 ，因此 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆 解得 c1 或 奎 屯王 新 敞新 疆20na20(2)由()，需要分
19、两种情况讨论，当 c1 时，数列 是一个常数列，即 (nN*) 奎 屯王 新 敞新 疆naa这时，数列 的前 n 项和 奎 屯王 新 敞新 疆 当 时，数列 是一个公比为 2)(32Sn 2c的等比数列，即 (nN*) 奎 屯王 新 敞新 疆 这时，数列 的前 n 项和211)a12(3)nS式两边同乘 ，得nnn )2()(1)21(21 1式减去式，得，nnnnnS )21(1)()()()(1)( 12 所以 (nN*) 奎 屯王 新 敞新 疆3)(491nn例 3：(北京)设数列 .,41,2,411为 奇 数为 偶 数且的 首 项 naaann记 .,321,412nabn（1）求
20、a2，a 3；（2）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；nb（3）求 ).(lim21nn解析：（1）显然 1321,.48aa加速度教育 教师讲义（2 ）因为 ,所以43128aa5413.26a所以 1b133510(),().4bba猜想： 是公比为 的等比数列. 证明如下：n因为 所以 是首项为1222121,444nnnnnbaaabN nb,公比为 的等比数列.4（3 ）1112()2lim(.)lim2().4nnx xbbb a【常见误区】1不能完整理解等比数列 的前 n 项和公式： ，忽视 的情形.a1()nnaqS1q2要掌握以下几种情形的极限的求法.利用 利用 （
21、）要掌握分类lim0nli0nq讨论的背景转化方法.如 时转化为 .1q1q【基础演练】1 （ 2005江苏）在各项都为正数的等比数列 an中，首项 a13 ，前三项和为 21，则 a3a 4a 5 （ ）A33 B72 C84 D1892已知等差数列a n的公差 d0，且 a1,a3,a9 成等比数列，则 的值是（ ）1042931aA B C D不确定16363 （ 2004全国卷 3）等比数列 中， ，则 的前 4 项和为（ ）na29,53anA 81 B 120 C168 D 192 4 （ 2004浙江）已知等差数列 的公差为 2,若 成等比数列, 则 = （ ）n431 2aA
22、4 B 6 C 8 D 105 （ 2004全国 1）已知等比数列 则该数列的通项 = .,103aan中 n6 (2004北京 )在函数 中，若 a，b，c 成等比数列且 则 有最fxbx()2 f()04fx()加速度教育 教师讲义_值（填“大”或“小” ） ，且该值为_.7 （ 2005浙江）已知实数 成等差数列， 成等比数列，且 ，求 ,abc1,4abc15abc,abc8 (2004全国 2)已知等差数列 ， n.2952（1）求 的通项公式；na（2）令 ，求数列 的前 n 项和 Sn.bb9 （ 2005全国 3）在等差数列 中，公差 的等差中项.a412,0ad与是已知数列
23、成等比数列，求数列 的通项 ,21nkka nk.n34 数列的的前 n 项的和【考点透视】一、 考纲指要1 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题.2掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题.二、 命题落点1掌握一般数列求和的方法：化归为等差数列或等比数列、裂项相消法、错位相消法和倒项相加法.如例 2，例 3；2利用通项公式与前 项和公式解答数列的综合题、及极限的值.如例 1.n【典例精析】例 1：已知： .121*,0nnnuababNab（1 ）当 a = b 时，求数列 的前 n 项和 ；nS（2 ）求 .1limnu解析：（1）当 时
24、， ，它的前 项和 ab1nnua 234nS两边同时乘以 ，得a2341nn a ，得：2311nnnaSa加速度教育 教师讲义若 ，则：1a11nnnaSa得： 12122 2nnnn aSa 若 ，则1a33n（2 ）当 时，b11 1limlimnnaua当 时，设 （ ） ，则：aqa12nn qq此时 11nnu当 时，即 时， ；qab11limlinnnuqaa当 时，即 时， 1 111lililimnnnn aqbuq 例 2:（2005福建）已知 是公比为 q 的等比数列，且 成等差数列.na231,（1）求 q 的值；（2 ）设 是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，
25、其前 n 项和为 Sn，当 n2 时，比较 Sn 与 bn 的大小，nb并说明理由.解析：(1)由题意得： 2a2=a1+a2,即 2a2q2=a1+a1q,a 10,2q 2-q-1=0,q=1 或 q=(2)若 q=1,则 .2(1)32nnS当 n2 时, ,故 ；10nnbnSb若 q= ,则 ,12()192nS当 n2 时, 1(0),nnnb故对于 nN +,当 2n9 时,S nbn；当 n=10 时, Sn=bn；当 n11 时, Sn0，都有.51na本章单元测试一、选择题: （本题每小题 5 分，共 60 分 ）加速度教育 教师讲义1等差数列a n中， .记 ，则 S13
26、 等于4,81073 aa nnaS21（ ）A168 B156 C152 D782 是等比数列,其中 是方程 的两根, 且 ,n37,2350xk2378()41则 k 的值为 （ ）A B C D13113数列 满足 0 B -3 4设 ，则 的值为 （ ）43,)1(1261nn SS且A9 B8 C7 D65某工厂月生产总值平均增长率为 p,则年平均增长率为 （ ）A12 B C Dp12p12()p12()p6在数列 中,已知 , , ,则 等于 （ ）na125a21nnaN206QA5 B4 C 1 D 47给出一系列碳氢化合物的分子式: , , ,则该系列化合物的分子中含碳6H
27、0840元素的质量分数最大可无限接近于 （ ）A95% B96% C97% D98%8已知 1 是 与 的等比中项,又是 与 的等差中项,则 的值为 （ ）2ab1ab2abA1 或 B1 或- C1 或 D1 或339若方程 与 的四个实根适当排列后 ,恰好组成一个首项为 1250xm20xn的等比数列,则 m：n 的值为 （ ）A4 B2 C D121410等比数列 的首项为 ,其前 11 项的几何平均数为 ,若在这前 11 项中抽取一项后的集合平均数na5 5为 ,则抽出的是 （ ）52A第 6 项 B 第 7 项 C 第 9 项 D 第 11 项 11已知二次函数 y=a(a+1)x2
28、(2a+1)x+1，当 a=1，2，n，时，其抛物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2，,d n,则 (d1+d2+dn)的值是 （ ）limA1 B 2 C3 D412等比数列a n的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,若 ，则 Sn等于 （ ）2510lim加速度教育 教师讲义C2 D22A. 32 B.3二、填空题: （本题每小题 4 分，共 16 分 ）13设等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，S n+2 成等差数列，则 q 的值为na_.14在直角坐标系中，O 是坐标原点， P1(x1，y 1)、P 2(x2， y2)是第一象限的两个点，若 1
29、，x 1，x 2，4 依次成等差数列，而 1，y 1，y 2，8 依次成等比数列，则OP 1P2 的面积是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 15已知等差数列有一性质:若 是等差数列.则通项为 的数列 也是等差数列,类似na.nnabnb上述命题, 相应的等比数列有性质:若 是等比数列 ,则通项为 =_的数列n(0)也是等比数列nb16已知 a,b,a+b 成等差数列，a,b,ab 成等比数列，且 01 时, 得 所以 是首项 ,公比为),1(3)(1nnnn aS ,21nna2的等比数列.219. （1）设等比数列a n的公比为 q，则 a2=a1q, a5=a1q4.a
30、1q=6,依题意，得方程组a1q4=162.解此方程组，得 a1=2, q=3. 故数列a n的通项公式为 an=23n1 .（2 ） .3)(nnS222222111 1()3,.nnnnn nS 即3 5 递推数列1. D 2. D 3. C 4. B 5. 2600 6. 927. (1)由已知得 ，11nna加速度教育 教师讲义11 11,().nn napaa p由 得(2) 0,0.p3121.114234()1.nnapan8. （1）将条件 变形，得 . 于是，得 n-1 个不等式，叠加得 nna1 11na故 ,an .（2 ）注意到 ，于是由（ 1）得 ，0nanan 11
31、从而，有 .)1(1 kkkanknn9. （1）当 即 ,1,0,211 nanan 时 ,1na于是有 所有不等式两边相加可得 .,3,11232an由已知不等式知，当 n3 时有，.1nan .log21nan .l.2loglog21, 21 bbbnn （2）有极限，且 .0lima（3） ,51log,llog222 nnb令则有 故取 可使当 时，,04,10l 12 024NnN加速度教育 教师讲义都有 .51na本章测试题一、选择题:1.B 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A 7.(A) 8.B 9.D 10.A 11.A 12.B二、填空题:13. 2 14. 4010
32、 15. 1 16. (,8)三、解答题:17. (1)a n是等差数列， 2 ak+1=ak+ak+2,故方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 可变为(a kx+ak+2)(x+1)=0,当 k 取不同自然数时，原方程有一个公共根1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)原方程不同的根为 xk= ，kkd 1,2kkd，111()()22kkkaaxd常 数.k是 以 为 公 差 的 等 差 数 列18.(1)设等差数列 的公差为 d, 依题意得 解得 na12743ad132ad 的通项公式为 = nn21(2) 21a2()naS 222()()(4)(4)pqp
33、qpqpq= ，2() ， 20pqpqS21()pqpqSS19. (1)当 n3 时，x n= ;1nx211212322134 3(), (),().4xaaxaxa由此推测 an=( )n-1a(nN )21因为 a1=a0,且 (n2)，11111 2)(22 nnnn axxxx所以 an=( )n-1a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 加速度教育 教师讲义(3)当 n3 时，有 xn=(xnx n 1)+(xn1 x n2 )+(x2x 1)+x1=an1 +an2 +a1,由(2)知 an是公比为 的等比数列，所以 a 头htp:/w.xjkygcom126t
34、:/.j 2 3)(lim20设每年新增汽车数量不能超过 万辆, 设 为 2000 年起的第 n 年该城市拥有的汽车数，则 xna 130a 10.94(2)nan10.94().6.6nnx 1 10.943094.6. nxa (1) 当 30- 0 即 时， ， 是递增数列，符合题意811.naan（2）当 30- 0 即 时， ， 是递增数列，又.x1.11.30nan ， 是递增且无限靠近 ， 60 解得 lim6nxan0.6x.6x答：每年新增汽车数量不超过 3.6 万辆21. ， 当 q=1 时 ；212nnnbkqka2nnTqSk10nSa当 时, 且 ， ， 即q1()nS10()nqnTkS对于 恒成立， ， 即 ；2nnkN2()kq21kq当 时, ;当 时 ， 时 ， 10q120q12012q12k22.(1) 有 ，当 时,可得 .(.)xy()()1xyfxf()f当 时 ， 00()()()fyffy()()fyffx在 上为奇函数(1,(2) = ，12()1nnn nxxfxff()2()nnnffxf ，又 ， 为等比数列,其通项公式为()nf1()ff()f1(2nnfxf加速度教育 教师讲义(3)假设存在自然数 m,则 = 对于 恒21121. .()()nnfxfx1824nmnN成立 对于 恒成立， 且 即可62nmN6mN
