1、中学教育研发网（ ） 博学而笃志 切问而近思北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 共 3 页 第 1 页邮箱：2.2.1 数列的递推公式 学案知识梳理1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.（1）数列的一般形式可以写成 a1，a 2，a 3，a n，简记为a n，其中 an是数列的第 n 项.（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.2.通项公式如果数列a n的第 n 项 an与项数 n 之间的函数关系可以用
2、一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为 an=f（ n）.并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.3.数列的前 n 项和数列a n的前 n 项之和，叫做数列的前 n 项和，常用 Sn表示 .Sn与通项 an的基本关系是：an= 1n).2(,Sn=a1+a2+an.4.数列的分类（1）按项分类有穷数列:项数有限；无穷数列 :项数无限.（2）按 an的增减性分类递增数列：对于任何 nN *，均有 an+1a n；递减数列：对于任何 nN *，均有 an+1a n；摆动数列：例如:1，1， 1，1，；常数数列：例如：6，6，6，6，；有界数列：存在正
3、数 M 使|a n|M，nN *；无界数列：对于任何正数 M，总有项 an使得|a n|M.5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.点击双基1.数 列 an中 ， a1=1， 对 于 所 有 的 n 2， n N都 有 a1a2a3an=n2， 则 a3+a5等 于A. B. C. D. 1695651解析一：令 n=2、3、4、5，分别求出 a3= ，a 5= ，a 3+a5= .4916解析二：当 n2 时，a 1a2a3an=n2.当 n3 时，a 1a2a3an1 =（n1） 2.两式相除 an=（ ） 2，中学教育研发网（ ） 博学而笃
4、志 切问而近思北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 共 3 页 第 2 页邮箱：a 3= ，a 5= .a 3+a5= .4916216答案：A2.已知数列a n中，a 1=1，a 2=3，a n=an1 + （n3），则 a5等于2A. B. C.4 D.51253解析：令 n=3，4，5，求 a5即可.答案：A3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn（万件）近似地满足关系式 Sn= （21nn 25）（n=1，2，12），按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份90是A.5、6 月 B.6、 7 月 C.7、8 月 D.8、9 月解
5、法 一 ： 由 Sn解 出 an= （ n2+15n 9） ， 再 解 不 等 式 （ n2+15n 9） 1.5， 得 6n9.3030解法二：将选项中的月份代入计算验证.答案：C4.已知 an= ，且数列 an共有 100 项，则此数列中最大项为第_项，最小项为第201_项.解析：a n= =1+ ，又 44 45， 0，故第 45 项最201201n201201大，第 44 项最小.答案：45 44典例剖析【例 1】 在数列a n中，a 1=1，a n+1= ，求 an.剖析：将递推关系式变形，观察其规律.解：原式可化为 =n，1na =1， =2， =3，21a324a31 =n1.n
6、1相加得 =1+2+（n1），na1中学教育研发网（ ） 博学而笃志 切问而近思北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 共 3 页 第 3 页邮箱：a n= .2评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.【例 2】 有一数列a n，a 1a，由递推公式 an1 ，写出这个数列的前 4 项，并根据前 4n2项观察规律，写出该数列的一个通项公式.剖析：可 根 据 递 推 公 式 写 出 数 列 的 前 4 项 ， 然 后 分 析 每 一 项 与
7、 该 项 的 序 号 之 间 的 关 系 ， 归 纳 概 括 出an与 n 之 间 的 一 般 规 律 ， 从 而 作 出 猜 想 ， 写 出 满 足 前 4 项 的 该 数 列 的 一 个 通 项 公 式 .解：a 1a，a n1 ，a 2 ，n1a3 ，21a43a4 .31a4871观察规律：a n 形式，其中 x 与 n 的关系可由 n1，2，3，4 得出 x2 n1 .而 y 比 x 小 1，yxa n .an)12(评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.思考讨论请同学总结解探索性问题的一般思路.【例 3】 已知数列a n的通项公式 an=cn+ ，且 a2= ， a4= ，求 a10.d3剖析：要求 a10，只需求出 c、d 即可.解：由题意知 解得,234,c.2,41a n= n+ .a 10= 10+ = .4121017评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想.
