1、第 1 页 共 27 页圆锥曲线中的定点问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、 （07 山东）已知椭圆 C： 若直线 与椭圆 C 相
2、交于1342yxmkxyl：A，B 两点（A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。l解：设 ，由 得12(,)(,)xy2341ykx，2(34)840km，2261(3)3k240km2121284(),mxx2212121123(4)()()()kykkxx以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 且 ，,0D1ADBk， ，121yx2112()4yxx，2223(4)(3)604mkmk整理得： ，解得： ，且满足27112,7km2340k第 2 页 共 27 页当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；2mk:(2)lykx(
3、2,0)当 时， ，直线过定点77,7综上可知，直线 过定点，定点坐标为l(,0).方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P做相互垂直的直线交圆锥曲线于 AB，则 AB 必过定点 。 （参考)(,)(2020bayx百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质” ）模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件（如 定值， 定值） ，直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手BPAkBPAk电筒，固名曰手电筒模型） 。 （参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第 13 节）此模型解题步骤：Step1：设 AB 直线 ，联立曲
4、线方程得根与系数关系， 求出参数范围；mkxy Step2：由 AP 与 BP 关系（如 ） ，得一次函数 ；1BPA )()(kfmfk或 者Step3：将 代入 ，得 。)()(kffk或 者 mxy定定 yxy)(迁移训练练习 1：过抛物线 M: 上一点 P（1,2）作倾斜角互补的直线 PA 与 PB，交 Mpxy2于 A、B 两点，求证：直线 AB 过定点。 （注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习 2：过抛物线 M: 的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA、OB，求证：交2抛物线的对称轴上一定点。 （经典例题，多种解法）练习 3：过 上的点作动弦 AB、AC 且 ，证明 BC 恒过定点
5、。12yx 3ACBk（本题参考答案： ）)5,(练习:4：设 A、B 是轨迹 ： 上异于原点 的两个不同点，直线C2(0)ypxPO和 的倾斜角分别为 和 ，当 变化且 时，证明直线 恒过定点，O,4AB并求出该定点的坐标。 （参考答案 ）2【答案】设 ，由题意得 ，又直线 OA,OB 的倾斜角1,AxyB12,0x第 3 页 共 27 页满足 ，故 ，所以直线 的斜率存在，否则，OA,OB 直线,40,4AB的倾斜角之和为 奎 屯王 新 敞新 疆 从而设 AB 方程为 ，显然 ，ykxb221,yxp将 与 联立消去 ，得ykxb2(0)ypxP20b由韦达定理知 1212,pykk由 ，
6、得 1 = =4tant()4tan1t12()4py将式代入上式整理化简可得： ，所以 ，2pbk2bk此时，直线 的方程可表示为 即AByx()20xpy所以直线 恒过定点 .2,p练习 5：（2013 年高考陕西卷（理） ）已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦MN 的长为 8. ()求动圆圆心的轨迹 C 的方程; ()已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x轴是 PQ的角平分线, 证明直线 l过定点. 【答案】解:() A(4,0),设圆心 C 222,),( ECMANMEEMNyx ， 由 几 何 图 像
7、知线 段 的 中 点 为 xy84222（() 点 B(-1,0), 212212121 8,0),(),( xyyxQyP ，由 题 知设. 00)()(88 21222121 yy直线 PQ 方程为: )8(1)( 21212 yxyxxy ,0)(8()( 121112 xyy所以,直线 PQ 过定点(1,0)练习 6：已知点 是平面上一动点，且满足,0,BCP|PCB（1）求点 的轨迹 对应的方程；P第 4 页 共 27 页（2）已知点 在曲线 上，过点 作曲线 的两条弦 和 ，且(,2)AmCACADE，判断：直线 是否过定点？试证明你的结论 .ADEDE【解】 （1）设 （5 分）
8、.4,1)(|),( 22xyxyxBPyxP 化 简 得得代 入).2,1(,14)2,()2的 坐 标 为点得代 入将 AmxymA,04,42tmyxtDE得代 入的 方 程 为设 直 线 ）（，则设 *16, 21121 ttx 4)()()()( 21122 yyxy54421212121 y )()(6)( 2122 yy mtmttmt 845605)4(41 2化 简 得 )1(3(3892222 t）即 （即 *,15 ） 式 检 验 均 满 足代 入 （或 tt 1)(yxyxDE或的 方 程 为直 线） 不 满 足 题 意，定 点 （过 定 点直 线 .,练习 7：已知点
9、 A（1，0） ，B（1，1）和抛物线. ，O 为坐标原点，过xC4:2点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M、P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q，如图.（I）证明: 为定值;O（II）若POM 的面积为 ，求向量 与 的夹角；25OP（）证明直线 PQ 恒过一个定点.解：（I）设点 、M 、A 三点共PyyM),(),4(212第 22 题第 5 页 共 27 页线， ,414,22yykDMA即 ,212121yy即.5421OPM(II)设POM=，则 .cos|OP由此可得 tan=1. 5in|,25SROM又 .4,4),0( 的 夹 角 为与故 向 量 M()设点 、
10、 B、Q 三点共线，yQ,32 ,QMBk3132213313,44(),40.1yyy 即 即 即 分, 32322yy即即 .(*)04)(43232y,43232kPQ)4(232yxy的 方 程 是直 线即 .,4)( 3232 xxyy 即由（*）式， 代入上式，得)(32y ).1(4)(32xy由此可知直线 PQ 过定点 E（ 1，4）. 第 6 页 共 27 页模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆 上一点 处的切线方程为22ryx),(0yxP”，类比也有结论：“ 椭圆 处的切20ryx ),(10yxPba上 一 点线方程为 ”，过椭圆 C： 的右准线 l 上任意一点
11、 M 引椭圆 C 的120ba42y两条切线，切点为 A、B.（1）求证：直线 AB 恒过一定点；（2）当点 M 在的纵坐标为 1 时，求ABM 的面积。【解】 （1）设 M 14),(),(),(,34 121 yxAyxBARt 的 方 程 为则点 M 在 MA 上 同理可得 1yx32tyx由知 AB 的方程为 )1(,3txt即易知右焦点 F（ ）满足式，故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F（ ）0, 0,（2）把 AB 的方程 167,4)1(2 yyyx化 简 得代 入 又 M 到 AB 的距离762831|AB 32|4|dABM 的面积 13|dABS方法点评：切点弦的性质虽然
12、可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库参考：“尼尔森数学第一季_3 下” ，优酷视频拓展：相交弦的蝴蝶特征蝴蝶定理，资料第 7 页 共 27 页练习 1：（2013 年广东省数学（理）卷）已知抛物线 C的顶点为原点,其焦点0,Fc到直线 l: 20xy的距离为 32.设 P为直线 l上的点,过点 P作抛物线 C的两条切线 ,PAB,其中 ,为切点.() 求抛物线 的方程;() 当点 0,xy为直线 l上的定点时,求直线 AB的方程;() 当点 在直
13、线 l上移动时,求 F的最小值.【答案】() 依题意,设抛物线 C的方程为 24xcy,由 023结合 0c,解得 1c.所以抛物线 的方程为 2xy. () 抛物线 C的方程为 4,即 21x,求导得 12yx 设 1,Axy, 2B(其中 12,4y),则切线 ,P的斜率分别为 1x, 2, 所以切线 ： 11y,即211xyy,即 120xy 同理可得切线 B的方程为 220x 因为切线 ,PA均过点 0,y,所以 110xy, 202xy 所以 12xy为方程 0的两组解 . 所以直线 B的方程为 02xy. () 由抛物线定义可知 1AF, 21By, 所以 122AFy 联立方程
14、0024x,消去 x整理得 2200yxy 由一元二次方程根与系数的关系可得 210, 210 所以 122AFByyxy 第 8 页 共 27 页又点 0,Pxy在直线 l上,所以 02xy, 所以22200001915所以当 0y时, AFB取得最小值,且最小值为 .练习 2：（2013 年辽宁数学（理） ）如图,抛物线 221:4,:0Cxyxpy,点 0,Mxy在抛物线 2C上,过 M作 1的切线,切点为 AB(M为原点 O时, AB重合于 O) 1,切线 .A的斜率为 2-.(I)求 p的值;(II)当 在 2上运动时,求线段 B中点 N的轨迹方. ,.重 合 于 时 中 点 为【答
15、案】第 9 页 共 27 页第 10 页 共 27 页模 型 三 ： 相 交 弦 过 定 点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3 下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。例题：如图，已知直线 L： )0(1:12bayxCmyx过 椭 圆 的右焦点F，且交椭圆 C 于 A、B 两点，点 A、B 在直线 :Ga上的射影依次为点 D、E。连接AE、BD，试探索当 m 变化时，直线 AE、BD 是否相交于一定点 N？若交于定点 N，请求出 N点的坐标，并给予证明；否则说明理由
16、。法一：解： )0,(),1(2akF 先探索，当 m=0 时，直线 Lox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与 BD 相交于 FK 中点 N ,且 )0,21(a。猜想：当 m 变化时，AE 与 BD相交于定点 )0,21(aN证明：设 ),(),(),(, 12221 yaDEyxBA， 当 m 变化时首先 AE 过定点 N第 11 页 共 27 页22222122121221212()(1)0.804()1,()0()ANENANExmyabmybababyKKaaymyyyab即 分又而 这 是 222()()0ambK AN=KEN A、N、E 三点共线 同理可得 B、N
17、、D 三点共线AE 与 BD 相交于定点 ),21(a法 2：本题也可以直接得出 AE 和 BD 方程，令 y=0，得与 x 轴交点 M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。方法总结：方法 1 采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。例题、已知椭圆 C： ，若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线24xy:(2)lxt上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过l椭圆的焦点？并证明你的结论。方法 1：点 A1、A 2 的坐标都知道，可以设直线 PA1、PA 2 的方程，直线 PA1
18、和椭圆交点是 A1(-2,0)和 M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标，同理可以求出点 N 的坐标。动点 P 在直线 上，相当于知道了点 P 的横坐标了，由直线 PA1、PA 2 的方程可:()lxt第 12 页 共 27 页以求出 P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的 M、N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t2，就可以了，否则就不存在。解：设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为1(,)Mxy2(,)Ny1A1k1A，由 消 y 整理得12yk124k22121(4)640xk是方程的两个根， 则 ， ，1x和216kx112812y
19、即点 M 的坐标为 ，212184(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2284(,)1k12(),()ppyktyt， 直线 MN 的方程为： ，21t121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212xy 4xt又 ， 椭圆的焦点为 ，即t40t(3,0)4t3t故当 时， MN 过椭圆的焦点。3t方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程的一个根，结合韦达定理，得到点 M 的横纵坐标：2212(4)640kxk， ；其实由 消 y 整理得121812y2()4ykx，得到 ，即 ，222(4)640kxk216k2814kx
20、很快。不过如果看到：将 中的 换下来， 前的系数221y214x12用 1x2 用2 换下来，就得点 N 的坐标 ，如果在解题时，能看到这一点，计228(,)14k第 13 页 共 27 页算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。本题的关键是看到点 P 的双重身份：点 P 即在直线 上也在直线 A2N 上，进而得到 ，由直线 MN 的方程1AM12kt得直线与 x 轴的交点，即横截距 ，将点 M、N 的坐标代入，121yyxx 212xy化简易得 ，由 解出 ，到此不要忘了考察 是否满足 。4t34t 43t2t方法 2：先 猜 想 过 定 点 ， 设 弦 MN 的 方 程 ， 得 出
21、方 程 ， 进 而 得 出 与 T 交 点NA21、Q、 S， 两 坐 标 相 减 =0.如 下 ：时 ， 猜 想 成 立 。显 然 ， 当韦 达 定 理 代 入整 理 ）（ ： 易 得、相 较 于若 分 别 于 得 直 线 方 程 ：）（）（设 求 出 范 围 ；）（ 联 立 椭 圆 方 程 ， 整 理 ：设 34 )(43)(4-)2(1)()(342)2()(, );2(:),2(:,;0134,:21221112121 t yttmxytytymtxxyytSttQl xlxylNMmyxlSTNAA 方 法 总 结 ： 法 2 计 算 量 相 对 较 小 ， 细 心 的 同 学 会
22、发 现 ， 这 其 实 是 上 文“切 点 弦 恒 过 定 点 ”的一 个 特 例 而 已 。 因 此 ， 法 2 采 用 这 类 题 的 通 法 求 解 ， 就 不 至 于 思 路 混 乱 了 。 相 较 法1， 未 知 数 更 少 ，思 路 更 明 确 。练 习 1： （ 10 江 苏 ） 在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 + =1 的左右顶点为xoyx29 y25A,B，右焦点为 F，设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M(x1,y1)，N(x 2,y2)，其中 m0,y10,y20)的焦点 F 和椭圆 1 的右焦点重合，直线 lx24 y23过点 F 交抛物线
23、于 A，B 两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直经线 l 交 y 轴于点 M，且 m ，M n ，对任意的直线 l，mn 是否MA AF B BF 为定值？若是，求出 mn 的值；否则，说明理由知识分析：涉及到多点共线问题，一般用定比分点或者向量法，用自动点表示出因动点 ，在将题设条件转化为方程，最后带入曲线方程求解即可；另一种方法就是直线与圆锥曲线的通法韦达定理求解，但是计算量相对较大解(1)椭圆的右焦点 F(1,0)，p2，即抛物线方程为 y24x.(2)法一 由已知，得直线 l 的斜率一定存在且不为零，所以设 l：yk(x 1)(k0)，l与 y 轴交于 M(0，k )设 A(x1
24、，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error! 则 k2x22( k22)x k20，所以 4(k22) 24k 416(k 21)0，x1x 2 ，x 1x21.2k2 4k2又因为 M m ，所以(x 1，y 1k )m(1 x 1，y 1)所以 x1m(1x 1)，即 mA AF .同理可得 n ，所以x11 x1 x21 x2mn 1.x11 x1 x21 x2 x1 x2 2x1x21 x1 x2 x1x22k2 4k2 21 2k2 4k2 1故对任意的直线 l，mn 为定值1.法二 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，M (0，y 0)由 M m ，得 (x1，y 1
25、y 0)m(1 x 1，y 1)，A AF 所以Error! 由 M n ，得(x 2，y 2y 0)n(1x 2，y 2)，B BF 第 23 页 共 27 页所以Error!将 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线 C 的方程，整理得4m24my 0,4n24ny 0，所以 m，n 是方程 4x24xy 0 的根，故 mn1.20 20 20所以对任意直线 l，mn 为定值1.练习 1：( 全国）已知椭圆的中心为坐标原点 ，焦点在 轴上，斜率为 且过椭05Ox1圆右焦点 的直线交椭圆于 、 两点， 与 共线。FAB(3,1)a（）求椭圆的离心率；（）设 为椭圆上任意一点，且
26、，证明 为定MMAB ,R2值.解：设椭圆方程为 )0,(12cFbayx则直线 AB 的方程为 ，代入 ，化简得c12yx.02)( 222baxaba令 A（ ） ，B ） ，则1,yx2,(y .,22121 bacxx由 与 共线，得OBAxO),3(),又 ，0)()(32121y cxyc21.,xcx即 ，所以 ，22ba 36.322 abcba故离心率 .6ce（II）证明：（ 1）知 ，所以椭圆 可化为23ba12byax.322byx设 ，由已知得),(yxOM ),(),(),(21yx在椭圆上，.21,.3)(3221byx即 .)(2)3()3( 21212 byx
27、yxyx 第 24 页 共 27 页由（1）知 .21,3,21 cbacx218acbx12121233()yxcx4()=0 奎 屯王 新 敞新 疆229cc又 ，代入得2213,3byxbyx .12练习 2：已 知 ， 设 椭 圆 双 曲 线 的公共点分0a12:xyCa2:1xyCab别为 、 ， 、 分别是椭圆 和双曲线 上不同于 、 的两个动点，且满足：ABPQ1AB，其中 记直 线 、 、 、 的 斜 率 分 别 为()|QP， 若 ， 求 1234kk、 、 、 12+=534k【答案】易知公共点 A、B 坐标为 、 ，令(,0)a(,)B12(,)(,)xyQ则 、 、2(
28、,)AQxay2,Qxy1,APxa1,Pa得,P()(,)因为 P、Q 分别在椭圆、双曲线上2211 2122 12xyxyxababa由于 ， 12225.5ykxa即有 ，可化为 .1212xy将 带入.得 =5.21xa12xya第 25 页 共 27 页又因为 111342yxykxaa（方法不唯一）345练 习 3： 已知点 F为抛物线 2:4Cyx的焦点，点 P是准线 l上的动点，直线 PF交抛物线 C于 ,AB两点，若点 P的纵坐标为 (0)m，点D为准线 l与 x轴的交点（）求直线 的方程；（）求 DAB的面积 S范围；（）设 AFB， P，求证 为定值解：（）由题知点 ,的
29、坐标分别为 (1,)m，(1,0)，于是直线 的斜率为 2， 所以直线 PF的方程为 (1)2myx，即为 0xy（）设 ,AB两点的坐标分别为 12(,),xy，由24,(1)yxm得222(16)0mxxm，所以 122， 12x于是212416|ABxm点 D到直线 0xy的距离 2|4md，所以2 2214()| 12mSABd.因为 R且 0，于是 S，所以 DAB的面积 S范围是 (4,)（）由（）及 FB， P，得12(,)(1,)xyxy， 12(,)(1,)xmyxym，于是 2， 2（ 2）.所以DlPFABOyx第 26 页 共 27 页11122220()xx所以 为定
30、值 0练习 4：如图，A 为椭圆 上的一个动点，弦 AB、AC 分别过焦点21(0)xyabF1、 F2，当 AC 垂直于 x 轴时，恰好有 AF1：AF 23：1.() 求椭圆的离心率；() 设 .12,FBC当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时，求 的值；12当 A 点为该椭圆上的一个动点时，试判断是 否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.（本题用点差法拓展法解答非常简单，参考尼尔森数学第一季_点差法及其拓展）解（）设 ，则 .由题设及椭圆定义得2|Fm2|3A，消去 得 ，所以离心率 .2(3)()ca 2ac2e()解法一： 由(1)知， ，所以椭圆方程可化为 .21b 2xyc当
31、 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时， ，直线 的方程为 .21AF由 得 ，解得 ，22yxca340xc140,3xc 点 的坐标为 .B1(,)a又 ，所以 ， ，所以 ， .1(,0)Fc2|3Fc1|2AFc13126当 A 点为该椭圆上的一个动点时， 为定值 6.证明 设 ， ，则 .0(,)xy12(,)(,)BxyC220xya若 为椭圆的长轴端点，则 或 ，,ac1,c所以 .21()6ac若 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由 得，A12,AFBFCABCxyF1 F2第 27 页 共 27 页，所以 .0012,y12012()y又直线 的方程为 ，所以由 得1AF0xcy022xcy. ，22 2000()()yxcyxc0xyc .3y由韦达定理得 ，所以 . 同理 .20013cyx0132cyx023cyx .00120012()()6yycy综上证得，当 A 点为该椭圆上的一个动点时， 为定值 6.12解法二：设 ， ，则0(,)xy12(,)(,)BxyC1(AFcFc ， ；110011,xy又 ， ，将 、 代入 得：220xyc2yc1x即 ；22011()()c220101()yc 得： ；03xc同理：由 得 ， ， .22AFB013xc1c13c126
