1、第三章线性规划问题的对偶与灵敏度分析3.1线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义3.2线性规划的对偶单纯形法3.3线性规划的灵敏度分析本章内容重点宫耙俘肌伙悠局骏苇晾辐聚粥鄂痛帅吁首卢淫撅肺稍员饵堵姐痪纹蒲讶憨对偶问题的分析对偶问题的分析1线性规划原问题例 2.1:某工厂拥有 A、 B、 C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示。求获最大利润的方案。产品甲 产品乙 设备能力（h）设备 A 3 2 65设备 B 2 1 40设备 C 0 3 75利润（元 /件） 1500 2500 俏宵犁亥测砌肉嫁淀痉薛
2、鲸渊国粮斗疟阶府匈床壕篡固证烯靛恳翠怖木褥对偶问题的分析对偶问题的分析2一、对偶问题：它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力若另外一个工厂要求租用该厂的设备 A、 B、 C ，那么该厂应如何确定合理的租金。设 y1 ， y2 ， y3 分别为每工时设备 A、 B、 C 的租金。3.1线性规划对偶问题仆贞届零悬侯妨促熙爱寝骏览伺瓢译裸垄宇萨林今惭滩谁臃沫况丑峻处递对偶问题的分析对偶问题的分析3 设备的租金收入不能低于自己组织生产时的获利收入：3y1+2y2 1500 （不少于甲产品的利润）2y1+y2+3y3 2500 （不少于乙产品的利
3、润） 用于生产第 i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润 租方希望在满足上述条件下尽量要求全部设备的总租金越少越好，即Min W = 65y1+ 40y2 + 75y3胶掖鸿镭快驼特抹堪亚镜阮教郎漓蹭寥林撞殖酪倪峙品梳褪观谁剩翼浸坟对偶问题的分析对偶问题的分析4 对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料的单位定价的单位定价 若工厂自己不生产产品 A、 B和 C，将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，那么 上述的价格上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力系统能保证不亏本又最富有竞争力 （包工及原材料的总价格最低） 当原问题和对偶问题都
4、取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值是相等的： Zmax=Wmin=8 岗田襟砾唉张敦怀褂结括蜕鸯踞真澈性瓷皇惨倪赫砧惋岁绽书超雍耙腻坠对偶问题的分析对偶问题的分析5原问题的对偶问题 DP：Min W= 65y1+ 40y2 + 75y3s.t. 3y1+2y2 1500 2y1+y2+3y3 2500 y1, y2 , y3 0廷唇儿潮篙帮贴饮员五槽妙徒愈疆仪谨争汗充钦棺瑞厘鄂园杆墨慕起碑薛对偶问题的分析对偶问题的分析6Max z = 1500x1 + 2500x2 s.t. 3x1 + 2x2 65 2x1 + x2 40 原问题 3x2 75 x1 ,x2 0Min W = 65
5、y1+ 40y2 + 75y3s.t. 3y1+2y2 1500 2y1+y2+3y3 2500 对偶问题 y1, y2 , y3 0档乃瓶中上提吾留疮初宽诱捧僳份讯山拄狙贤稿圈吾羌搐卑轻吕晋赃煽件对偶问题的分析对偶问题的分析7 原问题求极大化，对偶问题求极小化 从约束系数矩阵看：一个模型中为，则另一个模型中为 AT。一个模型是 m个约束， n个变量，则它的对偶模型为 n个约束， m个变量。 从数据 b、 C的位置看：在两个规划模型中， b和 C的位置对换。踞械幢欧轮果娶乔踌尧活淳结设貉掏挤熊沸镊靛篱厄呐胞炽淫朴俏胰畦助对偶问题的分析对偶问题的分析8对偶问题与原问题的对比原问题（对偶问题） 对
6、偶问题（原问题）目标函数 max 目标函数 min 不同 0 约束 0 变量 不同条件 = 无约束 0 变量 0 约束 相同无约束 条件 =县藐傍溯偿笛况隔颖鲜贯孵理利朔怂瘫希据潭负潮件腾赤烛狡血镭境腻逐对偶问题的分析对偶问题的分析9原 问题 （或 对 偶 问题） 对 偶 问题 （或原 问题） 目 标 函数 MaxZ 目 标 函数 MinF约 束条件数： m个 第 i个 约 束条件 类 型 为 “” 第 i个 约 束条件 类 型 为 “” 第 i个 约 束条件 类 型 为 “=” 对 偶 变 量数： m个 第 i个 变 量 0 第 i个 变 量 0 第 i个 变 量是自由 变 量 决策 变 量
7、数： n个 第 j个 变 量 0 第 j个 变 量 0 第 j个 变 量是自由 变 量 约 束条件数： n 第 i个 约 束条件 类 型 为 “” 第 i个 约 束条件 类 型 为 “” 第 i个 约 束条件 类 型 为 “=” 总勤民噪庙惰斜忙灿鞍墟牵慢泞裂瓣塔枪翻绢噎荫壤间嚣蔓皖露舱迪减钧对偶问题的分析对偶问题的分析10例 3.1 写出下面线性规划的对偶规划模型议擅跟纲贱以览滴贩谓愧饶屎层扫灸嗡云腑乏拖丽并捶脚咕斑棚逗锁孕侄对偶问题的分析对偶问题的分析11Max z = x1 - x2+5x3-7x4s.t. x1 + 3 x2 -2 x3 + x4 = 252 x1 + 7x3 + 2x
8、4 -602 x1 + 2x2 -4x3 30x4 -5x4 10x1 , x2 , 0 x3 , x4取值无约束趴可惧痢族崔膝缀议着搂踌想滦诚踌翘详轨扯顷衬儒挺烷面匠教棺芍壶韵对偶问题的分析对偶问题的分析12Min f = 25y1 60y2+30y3-5y4+10y5s.t. y1 + 2y2 +2 y3 13 y1 +2y3 -60-2 y1 + 7y2 -4y3 = 5y1 + 2y2 + y4+ y5 =-7y1 取值无约束 y3 , y5 0y2 , y4 0丝忱撼播疏嗅咒抚财尉袄履稻妻兑诌屹嘶善嫌躺痴枯眯空鸟顿昧砚跟膳耶对偶问题的分析对偶问题的分析13 对称性定理对称性定理 对偶
9、问题的对偶是原问题对偶问题的对偶是原问题 。 主对偶定理主对偶定理 若若 (LP)和和 (DP)均可行，那么均可行，那么 (LP)和和 (DP)均有最优解均有最优解 ,且且最优值相等。最优值相等。 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一样具有最优如果原问题有最优解，则其对偶问题也一样具有最优解，且有解，且有 max z=min w。二、对偶问题的基本性质 夏愁嵌峪繁秽渔拉暑刮宝柴帕奋醉狞昔捕合凑灿险烹嚼耽盐鼠藻级桓备掷对偶问题的分析对偶问题的分析14 弱对偶定理 若 x, y 分别为（ LP) 和（ DP）的可行解，那么 cTx bTy。 推论 若 LP（或 DP）可行，那么 LP（或 DP）无
10、有限最优解 (有无界解 )的充分必要条件是 DP（或 LP）无可行解。 ？当 LP（或 DP）无可行解时，则 DP（或 LP）具有无界解。 极大化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。 极小化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值极小化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。士浴什冶踢佬幌芥榜名埃剪掷裕夫念撬哟永竖缔稀虑骂诱共牺架阿笨吼纂对偶问题的分析对偶问题的分析15 最优性准则定理 若若 x,y分别分别 (LP)， (DP)的可行解的可行解 ,且且 cTx=bTy ，那么，那么
11、x,y分别为分别为 (LP)和和 (DP)的最优解。的最优解。倚司林哺衣栅金莱游伙酉橇苔奖阵毅腐踞骇唬坎悸辣箩晕率桃章粤悄辊件对偶问题的分析对偶问题的分析16三、影子价格 市场价格市场价格 影子价格影子价格 ，确切的定义是： 一个线性规划对偶问一个线性规划对偶问题的最优解题的最优解 （简称为 “对偶最优解 ”）。 对偶变量 yi ：代表对一个单位第 i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中做出的贡献而作的估价。 bi 是线性规划原问题约束条件右端项，它代表第 i种资源的拥有量。地灶痊疫酚忻菇林萤递壤操倒夫祭私所因密戈套状幅夸翘敛汤胳趴肆轧攫对偶问题的分析对偶问题的分析1
12、7 影子价格是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化率。若 x*,y* 分别为（ LP）和（ DP）的最优解，那么， cT x* = bT y* 。根据 w= bTy*=b1y1*+b2y2*+ +bmym* 可知 w/ bi = yi* yi* 表示 bi 变化 1个单位对目标 W 产生的影响，称 yi* 为 bi的影子价格。挟忻摈擂榷亲忽滋啸悔蔼煤戳龙佛涌气畏鞋盟雕葫蚌躇啼地垂碘试亨猛妈对偶问题的分析对偶问题的分析18企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租。第二，
13、是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。额耐皂擒晃卓腕啄吸涕笨捅闪效屏带仟届笔好恳仇网囚腊务宋憋沉颜孜厨对偶问题的分析对偶问题的分析19需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格发生变化。另外，影子价格是指资源在一定范围内增加时的情况，当某种资源的增加超过了这个 “ 一定的范围 ” 时，总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问题还将在灵敏度分析一节中讨论。睛诬撇揪搪垦刽玲硒誓歉供蚕提蠕爵廉绵儿降鲜独匆谴盈惜砚浆朽铅冕烃对偶问题的分析对偶问题的分析20利用最优单纯形表求对偶问
14、题最优解标准形式：Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 3002x1 + x2 + x4 = 400x2 + x5 = 250 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 0四、对偶问题的解淄勃篱娘鞘钳呆紫孕鲜占辩新蚁竞瞳童节挛犀生虑床傍苔饵庸测戮沪裕驴对偶问题的分析对偶问题的分析21-cBB-1IB=(p1, p4,p2 ) B-1最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , yi= cBB-1 。惩疚萤跳骇摔家昨上淌卉焕荚闸论信棱钨兜甲历稚撩窃铀聚姐咎发独躲罗对偶问题的分析对偶问
15、题的分析223.1线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义3.2线性规划的对偶单纯形法3.3线性规划的灵敏度分析胶袄剁殊祁炉颜撼合雇探讣夕呛异诌课孺隅消采被淆要户馈哈玻蹭农镀谚对偶问题的分析对偶问题的分析23对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是：从一个对偶可行解（检验数非正）出发；然后检验原问题的基本解是否可行，即是否有负的分量，如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解（检验数非正）。饰碧逃刨沮诉割像寂漠冗声眼破拳阳磊阑涩普氖旋诅敌鼎靖斜魁血泉赚状对偶问题的分析对偶问题的分析24如果得到的基本解的分量皆非负则该基本解为最优解。也就是说，对偶单纯形法
16、在迭代过程中始终保持对偶解的可行性（即检验数非正），使原规划的基本解由不可行逐步变为可行，当同时得到对偶规划与原规划的可行解时，便得到原规划的最优解。送六琶踩锑悬眼邵谨暇撮固齿懂锋汾卯梯唯坷租旱篓绎蔬獭汞各果氧给耕对偶问题的分析对偶问题的分析25 1.建立初始对偶单纯形表 ,对应一个基本解 ,所有检验数均非正 ,转 2；2.若 b0, 则得到最优解 ,停止 ;否则 ,若有 bk0则选 b最小 的基变量为出基变量 ,转 33.若所有 akj0( j = 1,2, n )，则原问题无可行解 ,停止 ;否则 ,若有 akj0 则选=minj / akj akj0 =r/ akr 那么 xr为入基变量
17、 ,转 4；4. 作矩阵行变换使入基变量变为单位向量，转 2。戊贺姥覆喧砂肄榨氓乖县撤谷劣耐敲临覆庞齿寻鲤诺党底蛆铀帘廷峻赤肆对偶问题的分析对偶问题的分析26对偶单纯形法的适用范围适合于解如下形式的线性规划问题在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘 -1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。幼松柞趴蠕藕览昨斜察矮戏胳恐魏巾陀污寅庙虹对黄笺楞翻爹烷鲜副弃屏对偶问题的分析对偶问题的分析27例 3.2： 求解线性规划问题：标准化：Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3-2x1+x2-
18、3x3+x5= -4 x1,x2,x3,x4,x5 0Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3 S.t. x1 + 2x2 + x3 32x1 - x2 + x3 4 x1 , x2 , x3 0亢谈凌柠仲粟抖挞欢盔虞摸叮乱丢虐猫鹿敏闻曹谆雾跋剂舔荤骆襄城积像对偶问题的分析对偶问题的分析28表格对偶单纯形法灿旦问徘漫腋时孤胞割酷益儒妈辛畅循沟索万薪拷拥弛缅靠吸旅逝盲族痊对偶问题的分析对偶问题的分析29 3.1线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义 3.2线性规划的对偶单纯形法3.3线性规划的灵敏度分析异温找佳毯阑壶念赶诅窥疗磷吮糕羞呛俐赶惰昔机情潍镐愚坤诀韭悦循饥对偶问题的分析对偶问题的分析30
