1、圆压轴题八大模型题（一）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型 1 弧中点的运用在O 中，点 C 是 的中点，CE AB 于点 E.AD（1）在图 1 中，你会发现这些结论吗？APCPFP；CHAD；AC 2APADCFCBAEA B.（2）在图 2 中，你能找出所有与ABC 相似的三角形吗？【分析】(1)由等弧
2、所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：CAD BACE;PCFPFC,所以APCPFP.(1)由垂径定理和弧中点的性质得， ,DC AC AH再由弧叠加得： ,所以 CHAD.CH AD(1)由共边角相似易证：ACEABC,ACP ADC ,ACF BCA,进而得AC2AEAB;AC 2APAD ;AC2CFCB;(2)垂径定理的推论得：C0AD,易证：RtABCRtACERtCBERt ACFRt BDF RtACGRt CGF .此外还有 RtAPERtAOGRtABD Rt CPG .运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图 1 或图 2 上观
3、察、比较、思考和总结。【典例】（2018湖南永州）如图，线段 AB 为O 的直径，点 C，E 在O 上， ，CDAB，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD 相交于点 F（1）求证：CFBF；（2）若 cosABE ，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM4，O 的半径为 6求证：直线 CM 是O 的切线OHPFE DC BAA BC DEFPGO（图 1）（图 2）【分析】 （1）延长 CD 与圆相交，由垂径定理得到 ，再由 得到 ，等弧所对的角相等，等角对等边。 （2）由垂径定理的推论得 OCBE，再由锐角三角函数得到边 BH、OH 的长度，由对应边成比例得 BECM ，由MC
4、OBHO90证得结论。证明：（1）延长 CD 交O 于 G，如图，CDAB ， ， ， ，CBE GCB ，CF BF；（2）连接 OC 交 BE 于 H，如图， ，OCBE，在 Rt OBH 中， cosOBH ，BH 6 ，OH ， ， ， ，而HOBCOM，OHBOCM，OCM OHB90，OC CM，直线 CM 是O 的切线【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。【变式运用】1.（2018四川
5、宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点， DEAB 于点E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若 ，则 （ ）（图 1-1）（图 4）（图 1-2）2.（ 2010泸州）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别平分BAD 和ADC 。(1)求证：AE DE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接DF 交 AE 于 G，已知 CD5，AE 8，求 值。FGA（1） 证明：在图 ABCD 中，ABCD，BADADC180AE 与 DE 平分BAD 和ADCEAD BAD ，EDA ADC
6、，212AED180 （EAD EDA）180（ BAD ADC ）180 （BADADC ）121809090AEDE（2）解：在图 ABCD 中，AD BCEADAEB，且BAEDAEBAEAEB，ABBE，同理：DCEC 5又ABDC，ABBE DCEC5，BCAD10在 Rt AED 中，由勾股定理可得：DE 221086ADEBAEEAD，AFDAED90AFGAED， 463FG3. （ 2012泸州）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，C 是 的中点，弦ADCE AB 于点 H，连结 AD，分别交 CE、BC 于点 P、Q，连结 BD。(1)求证：P 是线段 AQ 的中
7、点；(2)若O 的半径为 5，AQ ，求弦 CE 的长。（1）证明：AB 是O 的直径，弦 CEAB ， 又 C 是 的中点， ，AC AE AD AC CD ACPCAPPAPC，AE CDAB 是直径 ACB 90PCQ90ACP，CQP90 CAP，PCQCQPPCPQPAPQ ，即 P 是 AQ 的中点；（2）解： ，CAQABC AC CD又ACQBCA，CAQCBA（图 1-4）（图 1-3）AB CDEFG图9 153204ACQB又AB10， AC6，BC 8根据直角三角形的面积公式，得：ACBCAB CH，6810CHCH 又CHHE，5CE2CH 44（2014泸州）如图，
8、四边形 ABCD 内接于O，AB 是 O 的直径，AC 和 BD 相交于点 E，且 DC2CE CA（1）求证：BCCD；（2）分别延长 AB，DC 交于点 P，过点 A 作AFCD 交 CD 的延长线于点 F，若PBOB ，CD ，求 DF 的长（1）证明：DC 2CECA， ，CDECAD，DCAECDBDAC，四边形 ABCD 内接于O，BCCD；（2）解：方法一：如图，连接 OC，BCCD，DACCAB，又AO CO，CABACO，DACACO，ADOC， ，PCODAPBOB ，CD2 ，PC43PC2又PCPD PBPA4 （4 2 ）OB3OBOB4，即 AB2OB8，PA3OB
9、12，在 RtACB 中，AC ，22()14ABCAB 是直径， ADBACB 90 FDABDC90， CBA CAB90BDCCAB，FDACBA ，又AFDACB 90，AFDACB（图 1-5）图 a 2147AFDCB在 RtAFP 中，设 FDx，则 AF ，x在 Rt APF 中有， ，22(7)(6)1求得 DF 32方法二；连接 OC，过点 O 作 OG 垂直于 CD，易证PCOPDA，可得 ，PCDAPGO PFA，可得 ，GF可得， ，由方法一中 PC4 代入 ，PC222PCDF即可得出 DF 325（2015泸州）如图， ABC 内接于O，ABAC，BD 为O 的弦
10、，且 ABCD，过点 A作O 的切线 AE 与 DC 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F（1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形；（2）若 AE6 ，CD5，求 OF 的长【解答】（1）证明：AE 与 O 相切于点 A，EACABC，AB ACABCACB，EAC ACB ，AEBC， ABCD，四边形 ABCE 是平行四边形；（2）解：如图，连接 AO，交 BC 于点 H，双向延长 OF 分别交 AB，CD 与点 N，M ，AE 是O 的切线，由切割线定理得，AE 2EC DE，AE6，CD5，6 2CE（CE5），解得：CE4，（已舍去负数），由圆的对称性，知四边形 ABDC
11、 是等腰梯形，且 ABACBD CE4，又根据对称性和垂径定理，得 AO 垂直平分 BC，MN 垂直平分 AB，DC，设 OFx，OHy，FH z ，AB4，BC 6，CD5，BF BCFH3z，12（图 1-6）图 bDFCF BCFH3z，12易得OFH DFM BFN， ， ，DFOMHBO即 ， ，532zxy32zxy得： ， 得： ，69534z解 得 ，x 2y 2z 2， ，2354xyz1322916xx ， OF 7217216.如图， AB 是 O 的直径， C、 P 是弧 AB 上的两点， AB13， AC5.(1)如图，若 P 是弧 AB 的中点，求 PA 的长；(2
12、)如图，若 P 是弧 BC 的中点，求 PA 的长.解：（1）如答图，连接 PB， AB 是 O 的直径且 P 是 的中点，AB PAB PBA45， APB90又在等腰三角形 ABC 中有 AB13， （2）如答图，连接 BC，与 OP 相交于 M 点，作 PH AB 于点 H， P 点为 的中点， OP BC， OMB90，BC又 AB 为直径， ACB90. ACB OMB. OP AC. CAB POB.又 ACB OHP90， ACB0 HP.图 c（图 1-7）图 d图 图 又 AB13, AC5, OP ，ABOP ACOH 132 ，解得 OH 52 AH OA OH9.在 R
13、t OPH 中，有 。在 Rt AHP 中 有 . PA 7.如图， ABC 内接于 O，且 AB 为 O 的直径 ACB 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 O的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AE CD 于点 E，过点 B 作 BF CD 于点 F（1）求证： DP AB；（2）若 AC6， BC8，求线段 PD 的长解：（1）证明：如图，连接 OD， AB 为 O 的直径， ACB90. ACB 的平分线交 O 于点 D， ACD BCD45. DAB ABD45。 DAB 为等腰直角三角形。 DO AB. PD 为 O 的切线， OD PD. DP AB.（2）在 Rt ACB 中， ， DAB 为等腰直角三角形， . AE CD， ACE 为等腰直角三角形。 .在 Rt AED 中， . AB PD， PDA DAB45. PAD PCD。（图 1-8）图 e图 f又 DPA CPD， PDA PCD. . PA PD， PC PD.又 PC PA AC， PD6 PD，解得 PD .
