1、圆压轴题八大模型题（七）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型 7 直径在腰上如图，已知在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC于点 E.(1)求证：BDDC；(2)求证：DE 为O 的切线；(3) 求证：CEEF.(4) 若 AF7， BC6，求 DE.【分析】
2、(1)连结 AD,由腰三角形三线合一证之；（2）连结 OD,点 D 为 BC 中点，由中位线定理得 ODAC, ODEAED90得证；（3）如图 a，连结 DF，有 DFCBC,DFDC,又 DEFC,得 CEEF.（4）由CBDFC 得 DFCABC， ，DFA又 BDCD3，设 CFm，则 CAm 7， ,解得 m12, m29（舍去） ，76CE m1，2RtDEC 中， DE 23【典例】（2018湖北孝感）如图，ABC 中，AB AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G.DEFO CBA图 7-1
3、FAOEDCB图 a（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知 BD2 ，CF2，求 AE 和 BG 的长.5【分析】（1）由 AD 是等腰ABC 的三线合一，点 D 是 BC 中点，点 O 是 AB 中点，OD 是ABC的中位线，ODAC，得 ODGAFG90证得；（2）由 BDCD2 ，CF 25得 DF4，连结 BE，由中位线定理得 BE8，CE4，由DFCABD 得AB10，AE6，由 BE GF 得 BG .103解：（1）连接 OD，AD，AB 为O 的直径，ADB90，即 ADBC，ABAC， BDCD ，又OAOB ，ODAC，DGAC，ODFG，直线 FG 与O 相切；（2）
4、连接 BEBD 2 ，CDBD 2 ，55CF2，DF 4，BE2DF8，cosCcosABC，() ， AB10 AE 6CFBDA25AB2108BEAC，DFAC，BEGF，AEB AFG ，EG106GBG 103【点拨】构造等腰三角形的三线合一，同时也构造了直径所对的圆周角是直角，借三线合一、中位线的知识证明切线，联系锐角三角函数，勾股定理，并运用圆内接四边形的外角等于内对角，三线合一找边等角等是关键。DEFOGCBA DEFOGCBA图 7-1 （备用图）图 a图2EDO CFBA【变式运用】1 （2016四川乐山）如图 13，在 中， ,以 边为直径作 交ABCACO边于点 ,过
5、点 作 于点 ， 、 的延长线交于点 .BCDEEDF（1）求证： 是 的切线；FO（2）若 ,且 ,求 的半径与线段 的长. 32E3sin5（1）证明：如图 2 所示，连结 ，OD ， .ABCA ， .OC ， .B ， .DEEF 是 的切线.F（2）在 和 中，RtOtA ， . 3sin5C35DF设 ，则 .Dxx ， .6AB8 ， .32E32 ，解得 ，85xx4 的半径长为 ， .O1AE62. (2016贵州毕节 )如图，在 ABC 中，D 为 AC 上一点，且 CDCB，以 BC 为直径作O，交 BD 于点 E，连接 CE，过 D 作 DFAB 于点 F，BCD2AB
6、D（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若A60，DF ，求O 的直径 BC的长图 7-2图 b图 7-3证明：(1)CBCD CBD CDB ，又CEB90 CBDBCECDEDCEBCEDCE 且BCD2ABD ABDBCE CBDABDCBDBCE90CBAB 垂足为 B 又CB 为直径 AB 是O 的切线 . (2)A60，DF 3在 RtAFD 中得出 AF1 在 Rt BFD 中得出 DF3ADFACB ， AA ADFACB 即 CBDF41解得：CB4 来源33. （2018四川攀枝花）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 分别与BC、AC 交于点 D、E，过点
7、 D 作 DFAC 于点 F（1）若O 的半径为 3， CDF15，求阴影部分的面积；（2）求证：DF 是O 的切线；（3）求证：EDFDA C（1）解：连接 OE，过 O 作 OMAC 于 M，则AMO90DFAC，DFC90FDC15，C75ABAC，ABCC75，BAC30，OM OA ，AM OM OAOE ，OMAC，AE2AM3 ，BACAEO30，AOE1803030120，图 c图 7-4阴影部分的面积 SS 扇形 AOES AOE 3 ；（2）证明：连接 OD，ABAC，OBOD， ABCC，ABCODB，ODB C，ACOD DFAC，DFODOD 过 O，DF 是O 的切线；（3）证明：连接 BE，AB 为O 的直径， AEB 90，BEAC DFAC，BEDF ，FDCEBCEBCDAC，FDCDACA、B、D、E 四点共圆，DEFABCABC C ，DECCDFAC ，EDF FDC，EDFDAC 图 d图 e
