1、2018高考数学模拟试题（2）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：球体的体积公式：V ，其中 为球体的半径34R 一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14小 题 ， 每 小 题 5分
2、 ， 计 70分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位 置 上 ）1已知集合 ， ，,02/RxxM ,02/RxxN则 N2已知复数z满足 i，其中i 为虚数单位，则复数z的虚部为 z3 2i3某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示成绩分组为50，60)，60，70)，90 ，100，则在本次竞赛中，得分不低于 80分的人数为 4在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 0.0300.0250.015频 率组 距0 50 60 70 80 90 100 成
3、绩(第3题)5运行如图所示的流程图，则输出的结果 是 S6已知等差数列a n的前n项和为S n若S 1530，a 71，则 S10的值为 _7已知 是 上的奇函数，且 时， ，则不等式 的()yfxR0x()fx2()(0fxf解集为 8在直角坐标系xOy中，双曲线 x2 1的左准线为l，则以l 为准线的抛物线的标准方程y23是 9四面体 中， 平面 ， 平面 ，且 ，则四面ABCDBCDABC1cmCD体 的外接球的表面积为 .2cm10. 已知 ，且 ， ，则 .0yxtanxy1sin3xyxy11在平面直角坐标系xOy中，若直线 ： 与圆 ： 相切，l20C22()()5ab且圆心 在
4、直线 的上方，则 的最大值为 Clab12正五边形ABCDE的边长为 ，则 的值为 23AE13设 ，e是自然对数的底数，函数 有零点，且所有零点0a2,0()xaef的和不大于6，则a的取值范围为 14若对任意实数x和任意0 ， ，恒有(x+2sin cos)2+(x+asin+acos)2 ，2 18则实数a的取值范围是 开 始 S 2， i 1 i 2018 Si i+1 结 束 输 出 S Y N （ 第 5题 ） 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分14分)如图，在直角坐标系xOy中，角
5、的顶点是原点，始边与 x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且 . (,)62将角 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于点B，记A( x1，y 1)，B(x 2，y 2).3（1）若 ，求 ；13x2（2）分别过A，B作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D，记AOC的面积为S 1，BOD的面积为S 2，若 ，12S求角 的值.16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B1C1中，AC BC ，BC=BB 1，D为AB的中点.（1）求证：BC 1平面A 1CD；（2）求证：BC 1平面AB 1C.17(本小题满分14分)某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 ，其中 为探测器在静
6、水nEcvTv中行进时的速度， 为行进时的时间（单位：小时）， 为常数， 为能量次级数如果T水的速度为4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km（1）求 关于 的函数关系式；v（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定 的大小，使该探测器消耗的能量最少v18 (本小题满分16分)如图，椭圆 的右焦点为F，右准线为l ，过点F且与x轴不重合的直线交椭圆2:143xyC于A，B两点，P 是AB的中点，过点B 作BM l于M ，连AM 交x轴于点N，连PN .（1 ）若 ，求直线AB的倾斜角；165（2 ）当直线AB变化时，求PN长的最小值
7、.19(本小题满分16分)设函数 ，其图象与 轴交于 ， 两点，且x 1x 2(e()xfaRx1(0)Ax， 2()B，（1）求 的取值范围；（2）证明： （ 为函数 的导函数）；120fx()fx()fx（3）设点C在函数 的图象上，且 ABC为等腰直角三角形，记 ， ()yf 21xt求 的值(1)at20(本小题满分16分)已知数列 na满足 *11,|,.nnapN（1）若 是递增数列，且 2,3成等差数列，求 p的值；（2）若 p，且 21n是递增数列， na是递减数列，求数列 na的通项公式数学（附加题）21【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分
8、请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，圆O的直径AB8，C为圆周上一点，BC4，过C 作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD ，D为垂足，AD与圆 O交于点E，求线段AE 的长B选修42：矩阵与变换已知矩阵M 的一个特征值为3，求M的另一个特征值及对应的一个特征向量1 22 xOAEBClD(第21 题A)注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共2页，均为非选择题（第 2123题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.
9、5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。C选修44：坐标系与参数方程已知点P是曲线C： （ 为参数， ）上一点，O为原点若直sin3co2yx2线OP的倾斜角为 ，求点P的直角坐标D选修45：不等式选讲已知实数x，y，z满足x + y + z = 2，求 的最小值223zyx【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某小组共10人
10、，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3， 4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A的发生的概率；（2）设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望23（本小题满分10分）在集合 1，2，3，4， 中，任取 （ ， ， N*）元素构成集合A2nmnmA若 的所有元素之和为偶数，则称 为 的偶子集，其个数记为 ；若 的所有m A()f元素之和为奇数，则称 为 的奇子集，其个数记为 令 m ()g()Fmg（1）当 时，求 ， ，的值；2n(1)F2（2）求 (
11、)2018高考数学模拟试题（2）数学I答案一 、 填 空 题 答 案1. 0 2. 3 3. 120 4. 5. 216. 5 7. （0，1） 8. y 22x 9. 10. 311. 28解：因为直线 ： 与圆 ： 相切， 所以l20xyC22()()5xayb|2|5ab又因为圆心 在直线 的上方，所以 ， 所以 ，Cl 0a,所以 的最大值为 ab25812. 6解：利用 在 上的投影得， =6ACE21AEC13 6,40,解： a时， ，所以 在 单调递减，且 ，所以0x01e)(xf )(xf)0,0)(af )(xf在 有一个小于0的零点(,时， 在 单调递增，因为 ，所以 在
12、 有一个小于1的零点x)(xf),1)(f)(xf),因此满足条件 0a（1 ） 时， 在 单调递减， ，所以 在 上没有零10a)(xf)0,0)(af )(xf0,点又因为 ，故 在 上也没有零点 .因此不满足题意42(xf（2 ） 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，1a)(xfa1ln,01ln,a，所以 在 上没有零点又因为 ，故0lnlaf )(f0042a)(xf在 上也没有零点.因此不满足题意)0(,（3 ） 时， ， 在 上没有零点，零点只有2，满足4a04)(2xxef, )(f0,条件（4 ） 时， 在 上没有零点，在 上有两个不相等的零点，且和为a，a)(xf0,)0
13、(,故满足题意的范围是 64a综上所述，a的取值范围为 ,4,14. a 或a 672解：因为 对任意 、 都成立，22()bab所以，(x+2sincos) 2+(x+asin+acos)2 (2sincos-asin-acos)2， 12(2sincos-asin-acos)2 ，14即对任意0， ，都有 或 ，2 13sinco2 13sinco2a因为,13sinco512sinco2sinco当0， 时， ，2 1sinco2所以 ， 同理a .7 6因此，实数a的取值范围是a 或a 672二、解答题答案15.解：（1）由三角函数定义， ， ，1cosx2cs()3x因为 ， ，所以
14、 .(,)62cs32in1o.216o()osi2x（2）依题意， ， ，1sinyi()3y所以 ，1cosn24Sx,)32sin(41-)3i()(2 y依题意， ，化简得 ，sin2sico0因为 ，则 ，所以 ，即.632416.证明：（1）在直三棱柱ABC- A1B1C1中，CC 1平面A 1B1C1，四边形ACC 1A1为矩形，设AC 1A 1C=G，则G为AC 1中点，D为AB中点，连 DG，则DG BC 1.因为DG 平面A 1CD，BC 1 平面A 1CD，所以BC 1平面A 1CD.（2）由（1）四边形BCC 1B1为矩形，又BC =BB1，则四边形BCC 1B1为正方
15、形，所以 BC1B 1C，由（1）CC 1平面ABC ，所以CC 1AC，又ACBC，则AC平面BCC 1B1，AC BC 1，因此，BC 1平面AB 1C.17.解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为 ，20T又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即 ，4v所以 ，即 ， ；20T4v204Tv（2）() 当能量次级数为2时，由（1）知 ， ，204vEc2()04vc162()804cv（当且仅当 即 km/h时，取等号）（9分）32=164v8() 当能量次级数为3时，由（1）知 ， ，3204vEc所以 得 ，2(6)04Ecvv当 时， ；当 时， ，6
16、v0所以当 时， min216c=答：() 该探测器消耗的最少能量为 ；320c() km/h时，该探测器消耗的能量最少 6v18. 解 （1 ）显然 ，当AB x轴时，易得 ，)0,1(2,3,2Feba21635bABa不合题意.所以可设AB的方程为 ，与椭圆方程联立得ykx，22(43)8410kxk设A（x 1，y 1）, B（x 2，y 2）, 则 ，2128,43kx，222212 34)1(14)348)(1)( kkkxkAB因此 ，解得 ，所以直线AB的倾斜角等于 或 .2()6435k60o12（2 ）因为椭圆的右准线的方程为 ，由（1），当AB不垂直于x轴时，点4，所以直
17、线AM的方程为21(4,),()MkxAkx 1211()()4kxyx，令y=0，得 1254N= .2211220545343kkxx125()x当ABx轴时，易得 ，所以无论AB如何变化，点N的坐标均为 . x 5(,0)2因此，当ABx 轴时，PN取最小值，PN min= .531219.解（1） ()exfa若 ，则 ，则函数 是单调增函数，这与题设矛盾0a 0f()fx所以 ，令 ，则 ()fxlna当 时， ， 是单调减函数；lnxa0f()fx当 时， ， 是单调增函数.l()fxf于是当 时， 取得极小值 lnaf因为函数 的图象与 轴交于两点 ， (x1x 2)，()e()
18、xfaRx1(0)Ax， 2B，所以 ，即 .ln2l)0fa2e此时，存在 ；1l(f，存在 ，33ln(ln)lnafaa， 320a又由 在 及 上的单调性及曲线在R上不间断，可知 为所求()fxl， l)， 2ea取值范围. （2）因为 两式相减得 12e0xa， 21exa记 ，则 ，21(0)xs1212112ee(e)xxx sf s 设 ，则 ，所以 是单调减函数，()esg()()0sg)g则有 ，而 ，所以 ()0s120xs12xf又 是单调增函数，且exfa1212所以 120（3）依题意有 ，则 eixia(1)e0ixia12i（ ， ）于是 ，在等腰三角形ABC
19、中，显然C = 90，1212()x所以 ，即 ，20x， 0()yfx由直角三角形斜边的中线性质，可知 ，210y所以 ，即 ，210xy12 2112e()x xa所以 ，11212()()0a即 21()()xaxx因为 ，则 ，10221110xx又 ，所以 ， 21xt22()()attt即 ，所以 at(1).t20. 解：（1）因为 na是递增数列，所以 ，nnpa1又 ， ，a,1232pp因为 1,3成等差数列，所以 ，p22312 3,4,4解得 ，当 ， ，与 na是递增数列矛盾，所以 .00na 1（2）因为 21na是递增数列，所以 ，12于是 12n由于 ，所以 1
20、2n 12na由得 ，所以012na1212nn因为 2n是递减数列，所以同理可得 ，021na. nnna21221由得 ，nn11所以 1232 naaa，1231n 123421n所以数列 na的通项公式为 134nna数学答案21【选做题】答案A选修41：几何证明选讲解：连结OC，BE因为AB是圆O的直径，所以 BEAE因为AB8，BC 4，所以OBOCBC4，即OBC为正三角形所以BOC60 又直线l切O与于点C，所以 OCl 因为ADl，所以ADl所以BADBOC60在RtBAE中，因为EBA90BAD 30，所以AE AB4 12B选修42：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f(
21、) (1)(x)4 | 1 2 2 x|因为 13是方程 f()0的一个根，所以(31)(3 x)40，解得x1 由(1)( 1)40，得1或3，所以 21 设 21对应的一个特征向量为 ，xy则 从而yx 2x 2y 0， 2x 2y 0， )取x1，得y1，所以矩阵M的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为 1 1C选修44：坐标系与参数方程OAEBClD(第21 题A)解：由题意得,曲线C的普通方程为(1) 2143xy直线OP的方程为 (2) 0sin23yx联立(1)(2)得（舍）或521xy251xy所以点P的坐标为5(,)D选修45：不等式选讲解：由柯西不等式可知,2222211
22、(23)()1(3)3xyzxyz所以 ,222(413x当且仅当 时取等号.,4,6zyx【必做题】答案22.解：（1）由已知有 ,P(A)C314321021所以事件A发生的概率为 . 13（2）随机变量X的所有可能的取值为 0，1，2 ； P(X0)C3232C4210215；P(X1)C3131C4102715. P(X2)C3141025所以随机变量X的分布列为X 0 1 2P 415715415.E()23.解：（1）当 时，集合为 2n1,234当 时，偶子集有 ， ，奇子集有 ， ， ， ，m13()2f(1)g；()0F当 时，偶子集有 ， ，奇子集有 ， ， ， ，,4,3,4， ， ； 2)f()4g(2)F（2）当 为奇数时，偶子集的个数 ，02 1CCmmmnnnnf奇子集的个数 ，130()mn所以 ， fg()fg当 为偶数时，偶子集的个数 ，m0240mmmnnnn奇子集的个数 ，131()CC所以 ()Ffg012310Cmmmnnnnnn一方面， 012012(1)(C)(1)Cn nnnnnxxxxx ，所以 中 的系数为)nm； 012310Cmmmnnnn另一方面， 中 的系数为 ，2(1)()nnxx2(1)nx2()Cmn故 F2m综上， 2(1)C, 0,mnF为 偶 数 ， 为 奇 数
