1、 1 / 16高等数学基础第一节 函数极限的定义及分析方法一函数极限的定义定 义 1： 当 自 变 量 无限趋近于 （ ）时，如果函数 无限趋近于一个常x0x0)(xfy数 A，就说当 趋向 时，函数 的极限是 A，记作 。特别地，0)(fyAxlim0； 。Cx0lim0lix例 题 1： 判 断 下 列 函 数 的 极 限 ：（ 1） （ 2）（ 3）x0li 1lim2x12li0xx定义 2：当自变量 取正值且无限增大时，如果函数 的值无限趋近于一个常数 A，)(fy就说当 趋向于正无穷大时，函数 的极限是 A，记作： 。也可以记作，)(fyfxlim当 时， 。xAxf)(当自变量
2、取负值而 无限增大时，如果函数 的值无限趋近于一个常数 A，就说当)(fy趋向于负无穷大时，函数 的极限是 A，记作： 。也可以记作，当)(xfy xxli x时， 。xf)(当自变量 的绝对值无限增大时，如果函数 的值无限趋近于一个常数 A，就说当)(fy趋向于无穷大时，函数 的极限是 A，记作： 。也可以记作，当x)(xfyxlim时，Axf)(特例：对于函数 （ 是常数） ，当自变量 的绝对值无限增大时，函数 的Cf Cxf)(值保持不变，所以当 趋向于无穷大时，函数 的极限就是 ，即 。Cxf)(xli例题 2：判断下列函数的极限：（1） （2）xx)(lim xx10lim（3） （
3、4）2x x（5） （6）)li( x2.li（7） （8）41x 12x二无穷小与无穷大定义 1：如果函数 当 时的极限为零，那么称函数 为当 时()0(或 ) ()0(或 )的无穷小。当 时， 等都是无穷小。当 时， 等都是无穷小。0xxsin2， x)1(,ax2 / 16定义 2：如果当 时，对应的函数值的绝对值 无限增大，就称函数 为当0(或 ) |()| ()时的无穷大。0(或 )当 时， 等都是正无穷大；当 时， 是正无穷大等.x)1(,2ax 0xxcot,1定理 1：在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷小；反之，如果()1()为无穷小，且 ，则 为无穷大。()
4、 ()01()三极限运算法则定理 1：有限个无穷小的和也是无穷小。定理 2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。定理 3：对于函数极限有如下的运算法则：如果 ，那么BxgAxfoo )(lim,)(lioxfo )(li0BAxgox也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为 0） 。当 C 是常数，n 是正整数时：)(lim)(lixfCxfooxnxnxffoo )(lim)(li这些法则对于 的情况仍然适用.例题 3：分析下列函数的极限：例 1求 )(lim2x例 2求 131x例 3求
5、46li2x分析：当 时，分母的极限是 0，不能直接运用上面的极限运用法则，注意函数在定义域 内，可以将分子、分母约去公因式 后变成 ，由此即可求出yx2164x 4xx函数的极限。例 4 求 13lim2x分析：当 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则。如果分子、分母都除以 ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。例 5求 134li2xx3 / 16分析：同例 4 一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以 ，就可以运用法则计3x算了。例 6 ； )32(lim1x例 7 li2x例 8 ； )(4x例 9 13li21x例 10 lim
6、x例 11 965li23x例 12 1lix第二节 函数的导数一引论两个典型背景示例例一：运动物体的瞬时速度设质点沿 轴作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为 ，求在时x xt()刻 的瞬时速度。0t解：(1) 求时段 到 的平均速度：0tt)(0tv， xt()(00 (2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此，如果极限：)(0t tt00lim()(存在，这个极限值就是质点在时刻 的瞬时速度。例二：曲线的切线斜率：设曲线 由方程 确定. 。要求 在点Lyfxab()0xab(,)L),(0yxM的切线斜率。)(0fy其 中（1）求区间 到 的弦的斜率: x= ;),(
7、0xk0)(xf（2）弦斜率的极限是切线的斜率: = = ；)(0x0)(lim0xfxxfx)(li0（3）曲线 ： 在点 的切线：Lfy,yMy y=f(x) y0=f(x0) x0 x 4 / 16斜率等于 ，切线 的方程称为：)(0xkT)()(00xkxfy二导数的定义定义 1：假设函数 在点 某邻域有定义，如果极限)(xfy0=xfx )(lim0 xfx )(lim0存在，则称其值为函数 在点 的导数, 并说 在 可导。f00在点 的导数记作 或 或 或fx0)(0(xdf)(y0xd函数 在点 的导数，就是在点 函数关于自变量的变化率。运动质点在时刻 的瞬时速度0t是距离 对时
8、间 的导数。)(tt曲线 在点 切线斜率是函数 f 对 x 的导数。xfy0三课堂练习：例 1常数函数 的导数。fc()解：由导数定义(注意到 )得到x 0limli)(lim00 xxcff所以 .例 2 和 的导数：sinxco解：=xxsin)si(l)(si0 xx)2cos(i2lm0= xx cos)2cs(li2sli00 同样的方法可以得到 .n)(co(注意几何意义)三函数的求导法则: 定理 1：若函数 、 在点 都可导，则：fgx1对于任意常数 ，函数 在点 可导，并且 .cf )()(xfcf2函数 在点 可导，并且)(xf (ggxf 3函数 在点 可导，并且 .x )
9、() xff4 如果 ，则 在点 可导，并且 .0)(g)(gf )()(2gfxg示例 1： ，求 f(x)及 f(3)()=2352+37解：f(x)= f(3)=47 62-10+35 / 16示例 2：求 、 、 、 的导数xtancotxsec解： .seco1csiosin)()(in)si()( 2222 xxx同样可以得到： .cs1)(t2x.xetanoics1)(se.xcsiin2定理 2：复合函数的导数：如果 在点 x 可导，而 在点 可导，则复)(gu)(fy)(xgu合函数 在点 x 可导，则其导数为：)(gfy=f ()() 或 =uu示例 4： ，求 。=21
10、+2 解： =2（ 1-x2）（ 1+x2） 2cos2x1+x2四基本导数公式1 ( 为常数)0c 2 )0(,)(13 ；xe 4 x ln5 cos)(sin 6 si)(co7 x2ta8 2ct 9 et)(e 10 xxt)(11 21rcsinx12 21aros13 )(at 14 )ct(x15 ()= cost 16 () = t五课堂练习：例 1 设 ，计算 yxexsincosy)解：6 / 16.sincossin)(co)(i)( xexxyx例 2 设 ,计算 2)(ay)解：= 22xa)(2xa若 , 怎么办？20)(xay五高阶导数对变速直线运动而言，其速度
11、 v(t)是位置函数 s(t)对时间 t 的导数，即：= 或 v=s同时，加速度a又是速度v对时间t 的变化率，即速度v对时间t的导数：a=() 或 =(s)这种导数的导数 或 叫做s 对t 的二阶导数，记作：() (s)2s2 或 s()一般的，函数y=f(x)的导数y=f(x)仍然是x的函数，我们把y=f(x)的导数叫做y=f(x) 的二阶导数，记作y或 。2yx2相应的，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，n-1阶导数的导数叫做n阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。示例：例4 ，求=+ 解： ， 。=a =0例5 ，求s=sin s解： ，s =cost s
12、= -2sint例6 ，求=2x-x2 解：=122-2x2x-x2= 1-x2x-x2=(22)12(1x)(22)322x-x2=(22)12(1x) 2-2x2(22)12（ 2x-x2）7 / 16s=s(x)tt0=(-2+2)(1x)2（ 2x-x2） (22)12= 1（ 2x-x2） 32第三节 函数的微分一引论 设质点作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系) 为 ，求在 到)(ts0t( )时间内质点的位移。t0=lim0(0)(0+) = 上述情况下，称函数 在点 t0 可微，并称 为函数)(s在点 t0 处的微分。s导数是从函数对自变量变化的快慢来研究； 而
13、微分则是直接研究函数的增量。二函数微分的定义定义 1：设 在点 的增量可表示成：)(xfy0=yxAxfxf 00)(则称函数 在点 可微。线性函数 称为函数 在点 的微分。记作：dy。f0)(f0通常把自变量x 的增量 称为自变量的微分，记作dx。即：x= ，或者 =)(0dfdxA00xyddy=()三 基本初等函数微分公式1基本初等函数微分公式1. ( 为常数)0cd 2. )0(,)(1xdxd3. ;xe 4. ln5. os)(sind6. si)(co7. d2cta8. x2tdd9. xxee 10. xcts11. 21)(rsind12. 21)(arcox13. act
14、xd14. tdds8 / 162函数和、差、积、商的微分法则 )()(xdfcfd(ggxf)()f)()(2xfxfd四微分在近似计算中的应用1分析：如果 y=f（x ）在点 x0 处的导数 ，且 很小时，我们有：f(x)0 |x|y=(0)上式可改为： y=(0+)-(0)(0)或： (0+)(0)+(0)上式中，令 ，即： ，则上式可改写为：x=0+ =x-0(x)(0)+(0)（ x-0 ）取 ，则得：0=0 (x)(0)+(0)x2常用的近似公式（x 取极小值时）：(1)n1+x1+1(2) (x 用弧度作单位表达)sinx (3)tan (x 用弧度作单位表达 )x (4)cos
15、 (x 用弧度作单位表达)x (5)1+(6)ln(1+)示例：例 1计算 3030解： 3030=(6+360)0.5076例 2计算 1.05解： 1.051+12（ 0.05） =1.025第四节 不定积分一不定积分的概念和性质1原函数（一） 原函数概念定义 1:如果在某区间 上恒有 ，则称 是 在区间 上的一个原函数。I)(xfF )(xFfI例如：在区间 ， 是 的一个原函数；),0(xln19 / 16在区间 ， 是 的一个原函数；)0,()ln(x1在区间 ， ，是 的一个原函数； 也是 的一个2sixcosinx2cosxcosin原函数等等； （二） 原函数的性质都是 在区间
16、 上的原函数，则存在常数 ，使得 。或者说，)(,xGF)(fI FG)(同一函数的两个原函之间只差一个常数。重要结论： 若 在区间 上存在原函数 ，则 在区间 上的所有原函数都可以)(xF)(fI写成 的形式。c)(2 不定积分：（一）不定积分的定义：定义 2：在区间 I 上，函数 的带有任意常数项的原函数称为 （或 ）在区间)(xf )(xfdxf)(上的不定积分。记作：I dxf)(其中，记号 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式，x 称为积分变量。 )(xf由定义可知，如果 F(x) 是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，那么 F(x)+C 就是 f(x)的不定积分，即： d
17、f()RcF示例: 例 1求 x2解：由于 ，所以 是 的一个原函数，因此：(33)=2 33 2Cd2求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式。（二）基本积分表：以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表.(1) ckxd (2) )0(,1xcxdx(3) ( )|ln0(4) aln),0(xa(5) ),xcedx (6) cCosSid )(x(7) SiCos (8) Tgec2(9) Tg(10) txs10 / 16(11) cCsxdotecx(12) cxxdarosin12( )(13) cxx1ln122 (14) cxrt
18、2)x(15) xdl2)1x （16） cxdoslnta（17） csinlcot （18） Seecxtal（19） axrtgxad2( );0（20） cxadn212( );0（21） ( );crsin2（22） ax22l（23） axaxdax 2222l1（24） cxad22ln（三）不定积分的性质：性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即（1） 若 有原函数则：)(xf， .)()(xfdfdxfxfd)()(（2）若 ， 可导，且导函数 连续，则：IFF, cc性质二：(不定积分运算的线性性 ) 若 有原函数，则：)(xgf（1） dxfdxgf()(（2）若 ，
19、则0f)示例：例 2： 求不定积分 dx23解： =dx23 cx321969例 3：求不定积分 dxcosin解：利用三角恒等式得到11 / 16)cos(incosincosin22xxx.dsdi例 4： 求不定积分 Si21解： = =xSin21xinCos2)( dxSinCosSinxosg)(=ciCSi （x0,sgnx=1， x=0,sgnx= 0，x abbaxff)(2 （k 为常数）bbadxfdxkf)()(3 a4若 ，则对于任意常数 ，有：,Rgf,;bababa dxgxfdx)()()(性质二：区间的可加性若 , ，则 , ，则：fccRf,bf;caba
20、dxfxdx)()()(性质三：积分的不等式性质设 ,若 ，则：baRf0)(xf. 0)(badxf推论 1：设 , , 若 , 则fRg)(bag14 / 16babadxgxf)()(推论 2：设 但不恒为零,则, 则0,xfbaCf. ( )0)(baf推论 3：设 ,则 ,并且Rf |f.babadxfdxf|)(|)(五牛顿莱布尼茨公式定理 1：( 牛顿莱布尼茨公式) 设 ， 是 在 上的一个原函数，则,bCf)(xGf,ba有：.)()(dxfba这就是 Newton-Leibniz 公式，又称微积分基本公式。该公式又可写为： )()(aFbxdba示例：例 3：计算定积分 10
21、2x解：因为 在区间 是被积函数 一个原函数，根据牛顿莱布尼茨公式得2,21x到：.102dx 120102 最好与不定积分求原函数结合起来：=102x102102x例 5： 计算 205sincod解： 205cosxx.610s61cos6120 七定积分在物理上的应用1变力作功问题 质量为 的物体, 在外力 的作用 (外力的方向与 轴的夹角为 )下，沿 轴在从m)(xFxx15 / 16位移到 ，求外力所作的功 。)0,(aA)0,(bBW.dxFdWcosbadxFcos例 11在质量为 的质点引力作用下，质量为 质点从 a 点运动Mm到 b 点所作的功？解： ,)(x2rmG2ddW
22、bardx2 )1(1baGMrba例 13动能定理的推导：,dxvmtxvdtmaF=baba2 amvbbxa20221例 14动量定理的推导： dvFtdtvF2121ttttmdvF1221 mtt 2物体间引力问题例 14求线密度为 的杆( 杆长为 ) 对单位质量质点的引力。xl,322coshdrdx322inxmFyllx hdhd032032= llx202=ly xhdhxdF0320321 202hlhxlx第六节 偏导一偏导数的定义及其计算法1偏导数的定义：定义 1：设函数 在点（x 0，y 0）的某一领域内有定义，当 y 固定在 y0，而 x 在 x0 处=(,)有增量
23、 时，相应地函数有增量：xyhF(x)0 x x+dx xdx lF(x) x 16 / 16(0， +x， 0)-f(x0， y0)如果limx0(0， +x， 0)-f(x0， y0)x存在，则称此极限为函数 在点（x 0，y 0）处对 x 的偏导数，记作：=(,)，或0yzfx(0， 0)类似的，可以定义函数 在点（x 0，y 0）处对 y 的偏导数为：=(,)limy0(0， +x， 0)-f(x0， y0)x记作：，或0yxzfy(0， 0)2偏导数的计算示例：例 1求 在（1，2） （1，0）处对 x 及 y 的偏导数。23=zyx解：把 y 看作常量，得： z=2x+3y；把 x 看作常量，得： zy=3x+2y；把（1，2） （1，0）代入，得：z|x=1y=2=8zy|x=1y=2=7例 2求 的偏导数yx2sin=z解： z=2xsin2yzy=2x22例 3 已知理想气体的状态方程 PV=RT(R 为常数)，求证： 1pTV证：;,;,2RpTVRpVT1, VRpT
