1、第八章 习题答案81 多元函数基本概念1解： 。),(yxf )25(91yx2解： ).sin()(,sin(si xxfgg 3解：（1） 。 （2） 。 （3）1。 （4） 。 （利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。 ）0ae0（5） ，且 从而 yxyx22.0)1(limyxy .0lim2yxy（6） ，且 ，所以原式 。22)1(02xx )1(li2x4解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。5解： 的定义域为 。),(yxf 0yx当 ， 时 的表达式为初等函数，故连续。)(a01),(f当 时，b0yx 211 )1ln(lim,li yxyxyxfyx 20)1ln(i
2、mtt，即 在 时也连续。故 的间断线为 。),(20f),(f0,fyx 当 时 的表达式为初等函数，故连续。a2yx,yx当 时， ，显然 取不同值时得不同)(b0 2200 1)(lim),(li kxkfxkxy 极限，即 不存在，故 在 点不连续。),(lim0fyx,yf, 当 时 连续。 当 时，因 ，故)(a2),(xf)(b02yxyxf),(，从而 ，即 处处连续。,li0yxfy ,0li0fyyx),(f82 偏导数与全微分1.解：（1） 。)2cos(4),2cos()2sin(2 22 yxyezxeyxexz （2） 。2)ln(,2cos)ln( 2si2sin
3、 yxyyzxyxyxz xx （3） 。 （4） .242,yxzyxz yeyzxexzxy21,21(5) 当 时，)(a0 ,cos1sin 222yzx 。222co1sin yyxyz时， 。)(b020),(),( yxff2证： 代入即得。,ln,ln11 xyxzyxz 3.证： 同理 ，而由前次习题 4（2）知,0),()0,(lim),0( xfffxx 0),(yf在 不连续。,y4.证： ),(),(),(),( 000000 yxfyxfyfyf，xxyxf y),),( 2010 其中 1， 1，由题设当 足够小时，2 22()y， ， 故Myxfx ),(00
4、Mxfy,(20 ,0)(lim0yxyx即 在点 连续。,),(),(lim000 ffyx ),(yf)(,5解：（1） ； （2） ；dyxyxdz43432 )1()22dyxyxz（3） ； （4）zyyln221。)3( 2332 dzxzdxeduxy 6解：（1）取 则,01.,.0),1(,(l(), 04 yxyyf301.ln(。05.2ln)01.(24.2l)94 （2）取 则,02.,1.,(,arcsin,(0 yxyxyxf )02.9arcsin(。32.6).41).(231arcsin83 多元函数微分法1解：（1） ；)lnsico)(lncos()ln
5、1(lsin(co2121 tttttttdu （2） ；)()()( 2221 tttftttft 2.解：（1） ；)(, 22232 xyfxyfzxyfxyfz （2） ；)(),(),)(),( 2121 ffffx （3） ；)(1)(),()( 221 yxfxyfzyxfxyfz （4） 。23131,2FyzFx3.证：（1） ,1,),( 12221 fyxzufxyzxuyfxfku kkk 。zyx kfffzf kkkk 1212),(（2） ,同理可得2523 )(3,)( 22 zyxxuxu 2yu，故 。2525 )(,)( 22 zyzyxz 022zxu4
6、.解：恒等式 两端微分 ，0,(xxf ),(),(21 yxdfyzdf即 ，故 。0),(),(),(21 yxdzfyxdzyxzf )(1212dyfxzfxdz5解：（1） ),(1),(1),(),(),( 22 yxfyxfyxuxfyfxfyu 。,ffxy（2） ， 。)()( xyfffz )()(22xyfxyfz（3） ， 。21)(fxf 2121 )()()( fffyz （4） 时，0.,)0,lim,0 ffxx xyyfxx ),0,lim,0故： 同理,)(1li20 yyx ,1),()(li),(0ffyxy时 。故： 。0,)(xfyfy),( )0,
7、(),(li),(0xfff yyxyx6解： (1)dtfd21在 中视 而得一恒等式，微分得：0),(xyF),(yxt()21，即 ， (3txyd 013233221 dtFxydxFyxdFyd（2）由（1） ， （2）消去 整理得： 。t )1(21323xfdx7证：由隐函数求导法则： ， （1）0)122zFzyxx， （2）0)1(21 yyxFzF因 （1） ， （2）式均消去 ，且同乘以 并相加得：,02121Fxy。zyxzyzxyx)()()( 8 解： xvwfvufwvff yyz )10ln(),(,10, 3213，故)10(33fzvuw )1,0(),(3
8、)1,0( , zyxfyxf。444 ln295(ln284 空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线1 解：点 对应参数 ，所以切线方程：)2,1(2t，法平面方程： 。zyx 042zyx2 解：将 看成参数。在点 切线方程： ，法平面x),(0zyx 0011zym方程： 。)(21)()( 000 zymx3 解：由 得 。在点,532zy zyxzyx61049,6145 处： 。于是切线方程： 。法平面)1,(M,69M 1方程： 。4zyx4 解： 及 。)27,93()271,9(5 解：由上题可知有两点 和 的切线平行于平面 。)271,93( 42zyx在点 切线方程：
9、 。在点 切线方程：)1,(1zyx )71,93(。32793zyx6 解：切平面方程为 ，法线方程为： 。012zyx 211zyx7 解：令 。由条件 ，解得,),(2yxnzF2，41x，代入 中， ，于是在点 切平面方程为： 2y0),(zyx165z)165,24(。85x8 解：令 ,而平面 的法向量为 ，,),(xynzxyF 093zyx1,3由条件 得 ，代入 ， 。于是在点1313),(F法线方程为 。),(z9 解：令 ，设在点 的法线与三坐标轴成等14,22yxzyF ),(00zyxM角。在点 的法线方向数为： ，因法线与三坐标轴正0M2,20000 zFxMzyM
10、x 向成等角，故有 ，又 ，由两方程解得两组解为20zy142020及 ，即为所求。)34,1()34,1(10 解：令 ， 。azyxzyF, zFyxFzyx 21,21在曲面上任一点 的切平面方程为：),(00M)()(000，切平面在三坐标轴上的截距分别为 ，其和为)(210z 0,azyx。ayxa0085 方向导数与梯度1 解： 。 （1） 。sinco22xylz 54)1,(lz（2） ， 。令 ，得is|)1,(l cosin2ld 0lzd，故 于是最大值tg ,5si,co,45ea)max(l。152或求梯度 ，从而 。jxiygradz2 512)max(grdzl2
11、 解：向径 ， 。3,1Mru143 解：（1） ；（2） ；（3） ， ；（4） 。,1,4 解： ，曲线 在 处的切线斜率为byzaxzPP2, 2byaxPPyaxb2，故法线斜率为 。内法线方向 ， ，于是ab 2cossin2b。)(1)(2)(2 222 bababazP 5 解： 。jigrdfkjigrdf 36,(,630,6解： 。au rfzfjyfirxf )()( 86 多元函数的极值1 解：驻点 ，函数有极大值 。)2,(8)2,(f2解：驻点 ，函数有极小值 。11e3解：令 ，得驻点 ，由于极大值一定存在，且驻点唯)(),(yxyxF)2,(一，故函数有极大值：
12、 。42,z4解：设三个正数为： 。令zyxzfazyx1),(, ),(zyxF，得驻点 ，由问题的性质及驻点唯一知)(1zyxzyx)3,(时，它们的倒数之和最小。3a5。解：设直角三角形的二直角边分别为 和 ，则周长 ，但满足条件：xyyxlp2x， ， 。令 。可得ly0xlyl )(),( 22lyxlyxF，但只能取 ，从而得唯一驻点llx 21,2,1,2l1，由实际问题最大周界存在，且驻点唯一，故 即为等腰直角),(l ,2x,y三角形时有最大周界。6解：设椭球和长方体在第卦限的交点为 ，则 。),(zyzV8令 ，得驻点 ，由于最大体积的长1(8),( 22czbyaxyzx
13、F)3,(cba方体一定存在，且驻点唯一，故当 时长方体体积最大，此时,3,z。abcxyzV9387解：设所求点为 ，则它到三已知直线的距离分别为 ，令),(yx 562,yx。得驻点为 ，此时 取极小值，且驻点唯一，从而22651yxu ）（ 516,8u为最小值，点 即为所求。）（ ,88.解：交线上的点 到原点的距离为 ，令),(zyx 22),(zyxzyd2),(dzyxF。得驻点 及)1()(2zyxzyx )32,1,23(，故最长距离 ，最短距离)3,1,3( ),(2zyxd59。59),1zyxd9.解：令 故曲面,21,21,0,( zFyxFzyxF zyx 上任一点 处的切平面方程为：0),(cbaP 0)()()( cba该平面在三坐标轴上的截距分别为 ，于是截距之积为zyx000,，其中 。作 ,得驻点abcf1cb )1()( cbabcaG，由问题的性质及驻点唯一知 时，曲面 的切平面)91,( 91S，使其截距之积最大。3zyx
