1、 1 / 34离散数学复习题一、 单项选择题1. 下列句子是原子命题的是 （ A ）A. 大熊猫产在我国； B. 2+x=5; C. 小王和小李是学生； D. 别讲话了！2. 设 p：天下雨， q：我去新华书店，命题“除非天不下雨，我去新华书店”的符号化形式为 （ D ）Apq qp q p pq3. 以下命题不是重言式的有 （ A ）A. P P B. P P C. (PQ) ( Q P) D. PPQ4. 以下语句中不是命题的为 （ B ）A明天我要上门去谢你。 谢谢你给了我机会。如果不说，我就不谢你。 除非你做了，我才谢你5与 ( x) M(x) 等价的是 （ D ）A( x) M(x)
2、 ( x) M(x) ( x) M(x) ( x) M(x)6. 设 P(x)为“ x是大学生” ， Q(x)为“ x满 30岁” 。命题“所有大学生都不满 30岁”写成谓词公式为 （ C ）A. x(P(x)Q(x) B. x(P(x)Q(x) C. x(P(x)Q(x) D. x(P(x)Q(x)2 / 347.公式 ( x) (P(x)( y)R(x, y)中， x 的辖域为 （ B ）AP(x) (P( x)( y)R(x, y) P(x )和 R(x, y) P(x )( y)8设 S=a, b, c,则 S 的幂集的元素的个数有 （ C ）A3 6 . 8 99以下等式中不正确的是
3、： ( A )AA (BC)=(AB )(AC) A( BC)=(AB)( AC) （AB)C=(AC)(AC ) (AB)C =A(BC)10设 A=1, 2, 3, 4, A 上的等价关系 R=, , , I A, 则对应于 R 的 A的划分是 ( D )A1,2, 3, 4 1, 2,3, 4 1,2, 3, 4 1,2, 3, 411设函数 f：1，21，则 f 是 ( B )A入射 B满射 C双射 D非入射非满射 12设 Z 是负正整数集合，+ ，*，是普通数的加法、减法和平方运算，则能构成代数系统是 ( B )A 13若 他聪明， 他用功，则“他虽聪明但不用功” ，可符号化为 （
4、B ）A. B. C. D. 14. 若一个代数系统(A ，*)满足运算封闭性及结合律，且有幺元，则它是 ( A )3 / 34A独异点 B群 C格 D布尔代数15设 G 为无限群，则 ( C )A G 是交换群 G 是循环群G 中每个元素都有逆元 G 中每个元素的阶都是无限的 16在有 3 个结点的图中，度数是奇数的结点的个数为 ( D )A1 3 . 1 或 3 0 或 217在 5 阶图 G 中，若从结点 v1 到 v4 存在路，则从 v1 到 v4 的路中必存在路，其长度小于等于 ( D )A1 2 . 3 4 18连通平面图 G 的面的次数之和为 10，则其边数为 ( A )A5 1
5、0 . 15 2019. 在自然数集合上，下列哪种运算不是可交换的 （ D ）A. B. C. D. 20. 设简单图的最大结点度数为 ，图的结点数为 ,则 与 的关系为 ( B )A. B. C. D. 与 没关系21下列各项中错误的是 （ A ）A B C D22设 ，下列各式成立的是 （ C ）4 / 34A B C D23连通平面图 中，所有面的次数之和是 （ C ）GA边数 B边数的一半 C边数的两倍 D边数的一倍24无向图 具有一条欧拉回路，那么图 的所有结点的度数都是 （ B ）A奇数 B偶数C素数 D125. 下列集合哪个是最小联结词集 （ D ）A. B. C. D. 26.
6、 设简单图的最大结点度数为 ，图的结点数为 ,则 与 的关系为 （ B ）A. B. C. D. 与 没关系27. 设集合 A=1,2,3，B=2,3,4,5，C=2,4,8,16,D=1,2,3,4,设“|”是集合上的“整除”关系，则下列偏序集中能构成格的是 （ C ）A. ; B. ;C. ; D. ;28设 上的二元关系 ,则关系 具有的性质是哪一个 （ B ）A. 自反性 B. 对称性5 / 34C. 传递性 D. 反对称性29判断下列各式中不是合式公式的是哪一个 （ C ）A. B. C. D. 30. 代数系统 (S, )中以下断言正确的是 （ C ）A. 单位元与零元总是不相等；
7、 B. 可能有二个左单位元和一个右单位元；C. 单位元总有逆元； D. 若 S S，则( S, )是( S, )的子代数31. 指出下列语句中哪个是原子命题 （ A ）A. 苏州是中国的首都。B. 王强不但聪明而且用功。C. 明天下午我乘 Z86次或 K256次列车去北京。D. 如果天不下雨，我就骑车上班。32. 设 ，则下列哪个集合是从 的函数 （ C ）A. B. C. D33. 在谓词演算中，下列各式正确的是 （ A ）A. 6 / 34B. C. D. 34. 设（ A,+, ）是整环，则以下断言错误的是 （ D ）A. （ A,+）是阿贝尔群 B.（ A,）是可交换独异点 C. 运算
8、 对可分配 D.（ A,）有零因子35. 以下格是分配格的是 （ C ）A. 钻石格 B. 五角格 C. 小于 5 个元素的格 D. 含与钻石格同构的子格的格36. 指出下列语句中哪个是复合命题 ( C )A. 5是奇数 。 B. 苏州是中国的首都。C. 如果天不下雨，我就骑车上班。 D. 火星上有生物。37前提 的结论是 （ A ,PQR）A. B. PC. D. Q38谓词公式 中变 是 （ C ()()()xPyRx）A.自由变元 B.约束变元C.既是自由变元又是约束变元 D.既不是自由变元又不是约束变元39. 公式( x)( y)(P(x,y) Q(x,y) ( x)P(x,y)中(
9、x)的辖域是 （ B ）A. P(x,y) B. P(x,y)Q(x,y) 7 / 34C. Q(x,y) D. (P(x,y) Q(x,y)( x)P(x,y)40. 以下符号串不是合式公式的是 （ B ）A. P P Q B. (P Q) ( Q P) C. P P S D. P( P Q) Q41公式 中 的辖域为 （ C ）A. B. C. D. 42若 今天下雪了； 路滑；则“虽然今天下雪了，但是路不滑” ，可符号化为 （ D ）A. B. C. D. 43. 设 上的二元关系 ,则 等于是(B ）A. B. C. D. 44. 指出下列语句中哪个是命题 （ D ）A. 这本书真好看
10、啊！ B. 上课请不要迟到！C. 你吃午饭了吗？ D. 李白是唐朝的诗人。45. 设 A=1,2,3,4,5,6,7,8,式子为真是 （ C ）A. 1 A; B. 1,2,3 A; C. 4,5 A; D. A.8 / 3446. 设 A=a,b,c 上的关系如下, 有传递性的为 （ D ）A. A1=, B. A2=, C. A3=, D. A4= 47. 集合 A上的等价关系 R, 其等价类的集合称为 （ C ）A. A与 R的并集, 记作 A R B. A与 R的交集, 记作 A R C. A 关于 R 的商集, 记作 A/R D. A 与 R 的差集, 记作 A-R.48设 是连通平
11、面图， 中有 6 个顶点 8 条边，则 的面的数目是 （ C GG）A2 个面 B3 个面 C4 个面 D5 个面49. 设 A = 1,2,3,4 , A上关系 R1 = (1,2),(2,3),(3,4),(4,1), R2 = (1,2),(2,3), (3,2), 则 中是映射的为 （ B ）A. R1,R2; B. R1; C. R2; D. 没有50. 设 N 是自然数集， a,bN 使(N,*)不是半群的运算是 （ D ）A. a*b=max(a,b) B. a*b=min(a,b) C. a*b=a+b+2 D. a*b=a+2b51. 由 n个点 0条边组成的图称为 （ A
12、）A. 零图 B. 平凡图 C. 完全图 D. 多重图52. 给定下列序列, 哪一个不能构成无向简单图的结点度数序列 （ D ）A. (1,1,2,2,4) B. (1,1,2,2,2,) C . (2,1,3,3,3) D. (1,3,4,4,5)53设 是 个结点， 条边和 个面的连通平面图，则 等于 （ A Gnmm）A B C D2r2rn2rn2rn9 / 3454无向图 具有一条欧拉回路，那么它们所有结点度数是 （ GA ）A偶数 B奇数 C素数 D155. 设 的真值为 0， 的真值为 1，则下列命题公式中真值为 1的是 （ D ）A. B. C. D. 56. 下列各式中永真式
13、是 （ A ）A. B. C. D. 57设 ， 雪是黑的， ， 太阳从东方升起，下列命题为真的是 （ A ）A. B. C. D. 58下面集合关于整除关系构成格的是哪一个 （ C ）A.2，3，6，12 B.3，6，9，12C.1，3，5，6，15，30 D.6，12，24，3659 个结点的无向完全图的边数为 （ D n）A B C D)1(2/)1(n)1(n2/)1(n60设 是任意三个集合，下列结论正确的是 （ A ）A若 且 ，则 B若 且 ，则C若 且 ，则 D若 且 ，则10 / 3461在一个有 4 个元素的集合上，可以有不同关系的个数为 （ D ）A B C D42442
14、2462设 为整数集，下面那个序偶不构成偏序集 （ A Z）A （是群，H 是 G 的非空子集， H 是 G 的子群当且仅当 a *b-1 H 。44. 若是一个偏序集 ，且 A 中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则 A 是格。45. 8 个结点的无向完全图的边数为 28 。46. 为两个命题，当且仅当 P、Q 同时为真 ， 为真。47. 设 则 = 2,3,4,5 。,543,2BA48. 存在 欧拉 回路的图，称为欧拉图。49. 在根树中，入度为零的结点称为 根 。三、 名词解释1. 集合的对称差：设 A 和 B 为任意两个集合，A 和 B 的对称差是由或者属于 A，或者属16 / 3
15、4于 B，但不能既属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合。2. 复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。3. 是集合 A 上的全序关系：设 是集合 A 上的二元关系，如果对于 A 中任意两个元素a,b A，必有 a b 或 b a，则称 是 A 上的全序关系。4. 强连通图：在简单有向图 G 中，任何一对结点的两者之间相互可达，则称 G 为强连通图。5. 重言式：给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永真.6. 阿贝尔群：如果群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群。 7. 自反闭包：设 R 是一个二元关系，如果存在一个关系 满足： 是自反的；R；对于任何自反
16、关系 如果有 就有 。则称 为 R 自反闭包。8. 命题公式 A和 B是等价的：设 P1,P2,Pn 为所有出现在 A和 B中的原子变元, 若给 P1,P2,Pn 的任一组指派, A 和 B 的真值都相等, 称 A 和 B 是等价的.9. 子群：设 是一个群，S 是 G 的非空子群，如果 也构成群，则称 是,G,S,S的一个子群。,10. 半群：是代数系统，*是集合 S 上的二元运算，若运算*是封闭的，并且*是可结合的，则称是半群。11. 无向图简单图 G 的邻接矩阵：设无向图 G 有 n 个结点 v1,v2,vn, 无多重边，定义nn 阶矩阵 M=(mij)是 G 的邻接矩阵，其中 .vji
17、 0, 1不 邻 接与若 邻 接 ，与若ijm12. 约束变元的换名：对公式中的约束变元，遵照一定规则更改名称符号，称为约束变元的换名。13. 单侧连通：在简单有向图中,任何一对结点间,至少有一个结点到另一个结点是可达的,则称这个图是单侧连通的。14. 欧拉回路：给定有向图 G，通过图中每边一次且一次的一条回路称作欧拉回路。15. 二元关系：设 A、B 是任意集合，AB 的子集 R称为从 A到 B的二元关系，当 A=B时，称 R为 A上的关系。17 / 3416. 相容关系：给定集合 A上的关系 R，若 R是自反的、对称的，则称 R为 A上的相容关系。17. 汉密尔顿图：给定图 G，若存在一条
18、回路，经过图中的每个结点恰好一次，这条回路称为汉密尔顿回路。具有汉密尔顿回路的图称作汉密尔顿图。18. 集合 A 上的拟序关系：设 R是集合 A上的一个关系，若 R 满足反自反性和传递性.19. 对称关系：设 R 为 X 上的关系，对于每一个 ，每当 时，就有 ，则,xyXxyRx称 R 为 X 上的对称关系。20. 等价关系：一个二元关系若满足自反性，对称性和传递性称为等价关系。21. 对称闭包：设 R 是一个二元关系，如果存在一个关系 满足： 是对称的；R；对于任何对称关系 如果有 就有 。则称 为 R 的对称闭包。22. 图：图是三元组 ，其中 是一个非空的结点集合， 是边(),GVE(
19、)V()EG集合， 是从边集合 E 到结点无序偶（有序偶）集合上的函数。G23. 树：连通且无回路的无向图称为树。24. 格：给定偏序集合，若 A 的任意子集均存在最小上界和最大下界，称为格。25. 命题公式的对偶式：命题公式 A 中含联结词 ，将 互换，T 与 F 互换所得公,与式 A*称为 A 的对偶式。四、 解答题1. 已知 y(R(y) B(y)，其中 R(3)= B(4)=T，R(4)= B(3)=F，且论域是3, 4，求该式的真值。解： y(R(y) B(y) (R(3) B(3) (R(4) B(4) (T F) (F T) T 18 / 342. 下列句子中哪些是命题？1 她能
20、歌善舞。2 如果我有时间，我就来看你。3 你喜欢看电影吗？4 小王今年 20岁或 21岁。5 别讲话了！6 小王和小李是同学。解：是命题分别为 1、2、4 。3. 试求公式：P (P Q ) 的析取范式和合取范式。解：P (P Q ) P ( P Q) 合取范式 (P P) (P Q) 析取范式 4. 设 A 是 18 的除 1 以外的正因数组成的集合， “|”为整除关系，画出（A，|）的哈斯图；若存在的话，分别求出其最大元、最小元，极大元，极小元，上确界，下确界，上界和下界。解：（2 分）最大元、极大元，上确界和上界为 18；极小元为 2，3 ；没有最小元，下确界和下界。19 / 345.
21、求表达式：(a+bc)d-e(f-g)的树形表示。解：6. 在一阶逻辑中，将下面命题符号化，并且要求只能使用全称量词：（1 ） 没有人长着绿色头发。（2 ） 有的上海市民没有去过东方明珠塔。解：（1 ） 设 M（ x）：x 是人，B（x）：x 长着绿色头发 则命题（1）可表示为： ()()Bx（2 ） 设 M（ x）：x 是上海市民，B（x）：x 去过东方明珠塔； 则命题（2）可表示为： ()()x7. 给定有向图 G=如下：20 / 34试求：（1）各顶点的出、入度；(2) 写出 G 的邻接矩阵 ； （3）利用矩阵计算求出从顶点 1到 4长度分别为 1，2 和 3的路各有几条。解：（1） 结
22、点 1 2 3 4 结点的出度 2 2 2 1 结点的入度 0 3 1 3 （2）邻接矩阵：0,1A（3）因为：所以从顶点 1 到 4 长度分别为 1，2 和 3 的路分别有 1、1、2 条。8. 设 的关系为： ，求 以及。解：设 则 ， 4,20,1BA0,2AB故 ， 0,R2 301021, ,AA1RM21 / 34有 10,2,02,R9. 设 G=（a）为 6 阶循环群。试找出 G 的所有子群。解： a0=e， （1 分） （a） ， a0=e , a3， a0=e , a2, a4 10. 求 的主析取范式和主合取范式。()ABC解： 2,45670,1311. 在一阶逻辑中，
23、将下面命题符号化，并且要求只能使用全称量词：（1 ） 没有人长着绿色头发。（2 ） 有的上海市民没有去过东方明珠塔。解：（1）设 M（x）：x 是人， B（x）：x 长着绿色头发则命题（1）可表示为： ()()（2 ）设 M（x）：x 是上海市民， B（x）：x 去过东方明珠塔； 则命题（2）可表示为： ()()12. 设 是 上的整除关系。 （1 ） 求出关系 ；（2 ） 画出 的哈斯图；（3 ） 求出子集 的极大元、最大元、上界、上确界。 解：（1 ） R=,22 / 34,（2 ）画出哈斯图得 2 分。（3 ） 3，4，12的极大元为 12，最大元为 12、上界为 12，24，上确界为
24、12。13. 求 的主析取范式和主合取范式。解法一：（P Q）（P Q） （PQ）(P Q) ( P Q) ( P Q)(P Q) ( P Q) ( P Q)(P Q) （主析取范式）( P Q)P) ( P Q)Q) ( PP ) ( QP) ( PQ ) ( QQ) T ( QP) ( PQ ) T（1 分(P Q) ( PQ ) （主合取范式）解法二：P Q PQ P Q（PQ）（P Q）T T T T TT F T F FF T T F FF F F T T主析取范式：( P Q)(P Q) 主合取范式：(P Q) ( PQ )14. 二元运算 在实数集 上是否满足交换律和结合律？23
25、 / 34解：（1）因为 ababab22所以满足交换律（2 ）因为()(2)()()abcabcabc所以满足结合律15. 设 为任意命题公式。,ABC（1 ）已知 ，问 吗？AB（2 ）已知 ，问 吗？解：（1 ）设有某种指派，使公式 的真值为 ，但 的真值为 ， 的真值为 ，则CTATBF和 的真值为 ，故 成立，但 不一定成立。ACBTB（2 ）设有某种指派，使公式 的真值为 ，但 的真值为 ， 的真值为 ，则F和 的真值为 ，故 成立，但 不一定成立。16. 画出符合下列条件的图（1 ） 画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。（2 ） 画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回
26、路的图。（3 ） 画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。解：（1 ） （2） （3）24 / 3417. 设集合 X=1,2,3,4, A1=1,2,2,3,4, A2=1,2,3, A3=1,2,3,4.(1). 判别 A1, A2, A3 分别是否是 X 的一个覆盖？是否是 X 的一个划分？(2). 写出 X 的划分所确定的等价关系。答：(1). A1 是 X 的一个覆盖，但不是 X 的一个划分；A2 不是 X 的一个覆盖； A3 是 X 的一个划分。(2). 划分 A3 确定的 X 上的等价关系 R，R=,. 18. 设 是 上的等价关系，在什么条件下，自然映射 是双射？R
27、RAg/:解：因为 是等价关系 的等价类构成的集合，即是 关于 的商集，要使自然映射A/R是双射，则商集 的元素个数必须和 中元素个数一样多，因此， 必g:A/ R须是 上的恒等关系。19. 设 X=a,b,c 上关系 R=, , 求 R 的自反闭包 r(R) , 对称闭包 s(R) , 和传递闭包 t(R) 。解：r(R)=,;s(R)=,;t(R)=,. 20. 设 R 是集合 X=1,2,3,5,6,12,上的整除关系， （1 ）. 列出 R 的所有元素；(2). 画出(X,R)的哈斯图；(3). 若 X 有最大、最小元，极大、极小元，请写出。25 / 34解：(1). R=, , ,
28、, (2). (X,R)的哈斯图为：(3). X 无最大元；有最小元 1；极大元 5,12；极小元 1. 21. 设 ，其上关系为 ，写出关系6,5432,10X )()(|,是 质 数xyxR中的各元素，并求出 dom , ran 及 。R解： ；6,5,35,4,36,2, dom ； 5,32ran 6,4R,532FLD12 3 561226 / 3422. 在实数域 R 上定义运算*, a*b=a+b+2ab，则 是代数系统。(1). 运算*满足结合律吗？(2). 有单位元 e，求 e。(3). 中每个元素有逆元吗？任一元素 a 的逆元是什么？解：(1). a,b,c R，由a*(b
29、*c)=a*(b+c+2bc)=a+b+c+2bc+2a(b+c+2bc)=a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc,(a*b)*c=( a+b+2ab)*c= a+b+c +2ab+2(a+b+2ab)c= a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc,得 运算*满足结合律。 因为*满足交换律，所以右单位元就是单位元，元素的右逆元就是该元素的逆元。(2). e 是单位元， a R 有 a*e=a， 即 a+e+2ae=a，得 e(1+2a)=0, 于是由 a 的任意性得 e=0. (3). 设 b 是 a 的逆元，有 a*b=0, 即 a+b+2ab=0, 得 b= -a/(1+2a),
30、 所以不是 R 中每个元素有逆元。当 a=-1/2 时，a 无逆元；否则 a-1= -a/(1+2a). 23. 设无向图 G , 其中 V=1,2,3,4,5 ,E=(1,2),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)(1). 画出 G 所对应的图; (2). 求各结点的度；(3). G 是否具有欧拉回路 ? 是否具有欧拉通路? 为什么? 若有请写出解：(1). 图 G为：1 2345(2). 结点 1 2 3 4 527 / 34结点的度 2 4 3 3 4 (3). 因为结点 3的度是奇数，所以图 G无欧拉回路；因为仅有两个结点 3、4 的度是奇
31、数，所以图 G有欧拉通路；欧拉通路为（3,2,1,5,2,4,5,3,4） 24. 设 ，定义 上的二元关系 ，称称 为小于关系，7,531AAbaRb,: R也可记为 ，试求出 ，dom ，ran ， 。RFLD解： 7,5,35,7,15,3,1 Rdom ， （1 分）ran ， （1 分） 。, ,R7,531FLDR25. 求 的主析取范式和主合取范式。 ()()QP解： 2,45670,13R26. 将公式 化为只含联结词 、的等价公式。()()PQR解：()()()()()RPRPQP 27. 设 和 是任意两个非空集合， 成立吗？ABAB解：一般情况下，只要 就不成立。A,如取
32、 ，则2,0,128 / 34。1,2,0,20,AB所以 28. 求出从 到 的所有函数，并指出哪些是双射函数，哪些是满射函数？2,1A,yxB解：； ),2(1:1xBAf；,:2yf；),2(1:3xBAf,:4yf双射： 43,f满射： 43,f29. 设 的意义如下：,PQR李华乘坐火车 李华在看书 李华在思考问题:R试用日常语言复述下列复合命题。（1 ） （2 ）()P()PQR解：（1 ） 李华乘坐火车并且在看书，但没有思考问题。（2 ） 李华既没乘火车，也没在看书，李华在思考问题。29 / 3430. 求公式 (P Q) (P Q) 的主析取范式和主合取范式。解：设 A= (P
33、 Q)(P Q) , 由真值表P Q Q P Q (P Q) P Q A0 0 1 1 0 1 00 1 0 0 1 1 11 0 1 1 0 0 01 1 0 1 0 1 0 得使 A 为 1 的小项是 PQ, 所以 A 的主析取范式为P Q, ； 使 A 为 0 的大项是 PQ , PQ , PQ, 所以 A 的主合取范式为：(PQ) (PQ) (PQ )。 五、 证明题1 证明：(P R) (Q R) (P Q) R。证明： (P R) (Q R) ( P R) ( Q R) ( P Q) R ( P Q) R (P Q) R 2 证明：证明：而30 / 34所以 3 证明：n 个顶点的
34、树 T，其顶点度数之和为 2n-2。证明：设 n 个顶点的度数分别为：d 1,d2,dn，由于 d1+d2+dn=2m，其中 m 为边数,而m=n-1（T 为树） ，从而 d1+d2+dn=2(n-1）=2n-2。4 设函数 ；若 是满射的，则 是满射的。CBgAf:,: fgg证明：令 cg是满射， f使Aaafgf)()(令 ，则Bfb)(cb是满射的Cg:5 设是群的子群，是的子群。证明：是的子群。证明：因为是的子群，所以的幺元 e H，且为的幺元；又因为是的子群，所以 的幺元 e K，且为的幺元。此外，对任意 a, b K，由于是的子群，故 a*b K，a -1 K。综上所述，由定理是的子群。6 证明：证明： A（BC） A（BC） A（BC）C（AB） C（AB） C（AB）（CA） B （AC）B A（CB） A（BC）
