1、1离散数学复习题1、填空题。1. 集合 A= ,1，B=1,2，则 =_（ ， ） ， （ ，1） ， （1，()AB）_.*A 与 B 的笛卡尔积 A B=_（ ，1） ， （ ，2） ， （1,1） ， （1,2）_.2. 设集合 A=1,2,3，B=a,b,c,d，则 A B 共有 _12_个元素。A 到 B 的关系(包括空关系) 共有_212_个，其中又有_43_个是 A B 的函数,有_4_ 个是 A B 的内射, 有_4_ 个是 A B 的双射。若#A=m,#B=n,A*B 有 mn 个元素，A 到 B 的关系共有 2mn 个，A 到 B 的函数有 nm 个，有 P（从上到下是 m
2、，n）个 A 到 B 的内射，有 n！个 A 到 B 的双射。 （课本 75 页）3. 设 A= a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8.则由 B15 表示的 A 的子集是_a5,a6,a7,a8_.A 的一个子集 a 2, a4, a5, 可表示为_B88_P8 B15=B00001111=a5,a6,a7,a8,a2,a4,a5=B01011000=B884. 若1,2,4,7 A=1,2,4,7,8,10,11 且 1,2,4,7 A=1,7,则 A=_1,7,8,10,11_5. 集合 A 上的两个关系 1=(1,2),(1,3),(2,1)(2,2),(4,1)
3、,2=(1,3),(3,1)，则 1 2=_(1,3)_. 1 2.=(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1)1 2=_(1,1),(2,3),(4,3)_. 2 1=_(3,2)_. 1c=_.*P436. 集合 A=1,2,3 上的关系 =(1,1),(1,2),(1,3),(3,3) 具有的性质是 _传递性_.P52 自反性：apb 对称性：任何 apb 必有 bpa反对称：每个 apb 和 bpa 必有 a=b传递性：每当 apb 和 bpc 必有 apc7. 集合 A=1,2,3,4 上具有自反性的关系有_15_个，具有对称性的关系有_44_个.N 个元
4、素集合上有 2(n*(n+1)/2)个关系是对称的、有 2n*3(n(n+1)/2)个关系是反对称的、有 3(n(n-1)/2)个关系是非对称的、有 2n(n-1)个关系是反自反、有 2(n(n-1)/2)个关系是既不自反也不反自反、有 2(n2)-2*2(n(n-1)个关系是自反和对称的8. 集合 A=a,b,c,d，则 A 共有_15_中不同的分划。A 上共有_11_个不同的 等价关系。若其中的一个分划 A=a,b,c,d，2则与之对应的等价关系是_（a,a ）,(b,b),(b,c),(c,b),(c,c),(d,d)_.*P19 B)a (A); C)a (A); D)a (A);2.
5、 集合 A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, A 上的关系 =(x,y)|x+y=10，x,y A,则关系 具有的性质是( D ).A)自反的; B)对称的; C)传递的,对称的; D)反自反的,对称的;3. 设集合 X=-1,1,2,3与 Y=1,2,3,4,5,9, (x)=x2,是 X Y 的一个函数,则下列正确的是( A ).A) 是入射但不是满射; B) 是满射但不是入射;C) 是双射; D) 既不是入射也不是满射;4. 设 I 为整数集合. A=x | x2必定是有限格;4B)在格中, a,b L,必有 a (a b)=a;C)格是有补格当且仅当有元素存在补元;D)在有补
6、分配格中, a,b L, 必有 = ;ba8. 一个含 n 个结点,连通且有圈的简单图,至少有( A )条边.A) n; B) n+1; C) n+2; D) 2n-1;3、判断题。1. 设 A= , B= ( (A), 则: B 且 B. ( F )2. 若 A-B B,则 B A. ( F )3. 集合 A=a,b,c上的关系 =(a,b),(a,c)是不可传递的. ( T )4. 平面上直线间的平行关系是等价关系. （T）5. 若 A 到 B 关系 和 g 都具有自反性,则 g 必也具有自反性 . ( T)6. 若 g 是满射,则 必是满射.（内射看前，满射看后） ( )7. 若 , g
7、 都是入射,则 g 也是入射. ( )8. 在有限分配格中,一个元素若有补元,则补元一定是唯一的. ( )9. K4 有 10 个生成子图.（） ( )10. 三个(4,2) 无向简单图中,至少有两个同构. ( )11. 凡陈述句都是命题. ( )12. 命题公式(P (P Q) Q 是矛盾式. ( )13. 命题“如果 1+2=3，那么雪是黑的“是真命题.。 （）14. 判定偏序集是否为格.（教材 P150 页图 7-3、P174 页图 7-12）4、解答题。1. 设集合 A=1,2,4,5,B=1,2,3,5,16,25, A 到 B 的关系 =(x,y)|x A,y B 且 y=x2,1
8、)写出 的所有元素 ;2) =(x,y)|(1,1),(4,16),(5,25)3)求出关系 的定义域及值域; 定义域为1,4,5,值域为1，16，253)写出关系 的关系矩阵 M ;1 2 3 5 16 251 1 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 1 05 0 0 0 0 0 14)判断关系 是否为 A B 的一个函数,为什么?不是！A 中的 2 并没有像2. 设集合 A=1,2,3,4, 是 A 上的一个关系, 的关系矩阵如下:5M =求: 的自反闭包 r( ),对称闭包 s( ),传递闭包 t( ).自反闭包 r(p)=(1,1),(2,2),(3,3),
9、(4,4),(1,4),(2,3),(3,1),(4,3)对称闭包 s(p)=(1,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,1),(1,3),(4,3),(3,4),(4,4)3.设集合 A=1,2,3,6,12,24,36,72,A 上的整除关系 =(a,b)|a,b A 且 a|b.1 画出偏序集的哈斯图 ;2 对于 A 的子集 B=6,24,36,求集合x|x A,且 x 能整除 B 中的每一个整 数,并求集合x|x A,且 x 能被 B 中的每一个整数整除 .3 判定偏序集是否为格 ?说明理由.4. 偏序集的哈斯图如下:1)求 B1=b,c,e的最小元
10、e,最大元 a.2)求 B2=b,c,d,e的上界 a,最小上界 a,下界 e,最大下界.e3)求 A 的最小元无,最大元.a4)偏序集 是否为格?为什么?不是没有最小下界5. 格, A=1,2,3,4,5,6,求:1 2,3与1,2,4的最小上界 , 1，2，3，42,4与4,5,6 的最大下界.（4）2 求 (A)的最大元（1，2，3，4，5，6）,最小元.空集3 求1,2,5,6 的补元.3，46. 格的哈斯图如下:1)求出 A 中所有元素的补元.2)判定格 是否为有补格?为什么?3)判定格 是否为分配格?为什么?7. 有向图 G=如下:1) 求 G 的邻接矩阵;62) 求 deg(V1
11、);3) 从结点 V2 到 V4 长度为 3 的路有几条?4) 图中长度为 3 的回路有几条?5) 求 d(V1 , V4).（1）AV1 V2 V3 V4V1 1 1 1 0V2 0 1 1 0V3 1 0 0 1V4 0 1 0 1(2)出度为 3，入度为 2（3）A3 为 2(4)8. 求下面有权图的一棵最小生成树.9. 求公式(P (Q R) (R (Q P)的主析取范式和主合取范式.10. 掌握欧拉图、哈密顿图的判定.(教材 P227 页第 16、17、18 题)5、证明题。1. 证明： P (Q R) Q (P R)要证明：P (Q R) Q (P R)只需要证明 P (Q R)
12、Q (P R)为重言式即可P Q R QR P(QR)PR Q(PR)P (Q R) Q (P R)0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 171 0 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1结论得证 2. 证明： （Q (P P) (R (P P) R Q要证明（Q (P P) (R (P P) R Q 成立，只需要证明（Q (PP) (R (P P) （R Q）为重言式P Q RPPPQ (PPR (PP（Q (P P)(R (P P)RQ(
13、P P) (R (P P) （ RQ）0 0 0 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1 0 1 0 0 0 10 1 0 1 0 0 1 1 1 10 1 1 1 0 0 0 1 1 11 0 0 0 0 1 1 1 1 11 0 1 0 0 1 0 0 0 11 1 0 0 0 0 1 1 1 11 1 1 0 0 0 0 1 1 13 用推理规则证明:1) (P Q) R, S U, R S, U W, W P Q.2) 证明:Q S 是前提, P Q R, Q (R S), P 的有叙结论.（1）1 W 前提2 U W 前提3 U 1，24 S U前提5 S 3，46 R S 前提7
14、 R 5，68 (P Q) R前提9 (P Q)7，810 P Q的摩根定理结论得证（2）1 P 前提2 Q 前提3 P Q R前提4 R 1，2，35 Q (R S)前提6 S 2，4，58结论得证3. 试给出以下推理证明:一个科室选定出差的人.如果李去,则王必须去.张和王不能同时去.结果是:如果张去,则李不能去.4. 设是一个格,a,b,c,d L, 若 a b 且 c d.求证:a c b d.5. 设是一个格,a,b,c,d L. 证明： （a b） (c d) ( a c) (b d).6. 设 N 是自然数集,定义 N 上的二元关系 =(x,y)|x N,y N,x+y 是偶数1 证明 是一个等价关系;2 求关系 的等价类.
