1、1第六章 刚体的平面运动 习题解答6-1 椭圆规尺 AB 由曲柄 OC 带动，曲柄以角速度绕 O 轴匀速转动，如图所示。如，并取 C 为基点，求椭圆规尺 ABrABC的平面运动方程。解：AB 杆作平面运动，设 时， ，则 。0tt0选 AB 杆上的 点位基点，建立平移坐标系 ，在yx图示坐标系中， 杆在固定坐标系 的位置由坐O标 确定，所以 杆的平面运动方程为：),(CyxAB，tr0cos，in.t6-2 杆 AB 的 A 端沿水平线以等速 v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为 R，如图所示。如杆与水平线的夹角为 ，试以角 表示杆的角速度。解： 解法一：杆 AB 作平面运动。选
2、取 为基点，A由速度基点法，CAv作图示几何关系，图中 ，解得，siniAB 杆的角速度为 （逆时针）co2RvCA. 解法二：在直角三角形ACO 中，xsin上式对时间求导，得R2co其中， ，解得 AB 杆的角速度为sin,xv，c（负号表示角速度转向与 角增大的方向相反，即逆时针）6-3 半径为 r 的齿轮由曲柄 OA 带动，沿半径为 R 的固定齿轮转动，如图所示。如曲柄 OA 以等角加速度 绕 O 轴转动，当运动开始时，角速度 ，转角 。求动齿0O轮以中心 A 为基点的平面运动方程。题 6-1 图题 6-2 图题 6-3 图2解：动齿轮作平面运动。建立与曲柄 OA 固结的转动坐标系 ，
3、和在动齿轮的 A 点建立O平移坐标系 ，如图所示，从图中可见，因动齿轮和固定齿轮间没有滑动，所以存在关yxA系 rR小轮半径 相对平移坐标系 ，也即固定坐标系得转角为MyxA, 而 ， )1(rA21t可得小轮平面运动方程为， .)2cos()(tRx )sin()(2trRyA6-4 图示机构中，已知 m，10.Om， m， m；10.BD10.E3Frad/s。在图示位置时，曲柄 OA 与水平4OA线 OB 垂直；且 B、D 和 F 在同一铅直线上，又。求 EF 的角速度和点 F 的速度。解：如图所示，对各构件进行速度分析.1） 杆作平面运动. 因 ，所以 杆BAv/为瞬时平移，得.smO
4、vAB4.02） 杆作平面运动. 由 找得 杆的速CBC,度瞬心为 D 点，所以， 杆上的速度分布好像与三角板 一起绕 作定轴转动一样，得E，方向如图示./s40BvDv3） 杆作平面运动. 由 找得 EF杆的速度瞬心为 EFC，故有FE,， （顺时针） ；rad/s3.1FEC， （方向向上） 。m4620Fv6-5 图示四连杆机构中，连杆由一块三角板 ABD构成。已知曲柄的角速度rad/s， mm， mm，21AO15021Omm。当 mm 铅直时，AB 平行于 ，50DA21且 、A 、D 在同一直线上，角 。求三角板3ABD 的角速度和点 D 的速度。解： 杆和 杆作定轴转动，三角板
5、做平面12BABD运动， 由 找得三角板 的速度瞬心为Av,点，如图所示. 故ABDC，m/s.01Ov三角板 ABD 的角速度：题 6-4 图题 6-5 图3， （逆时针）.rad/s07.1ACvBDAD 点的速度：./254.6-6 图示双曲柄连杆机构中，滑块 B 和 E 用杆 BE 连接，主动曲柄 OA 和从动曲柄 OD都绕 O 轴转动。OA 以匀角速度 rad/s 转动。已知 mm， mm，1010OA120Dmm， mm， mm260AB12E32D。求当曲柄 OA 垂直于滑块的导轨方向时，曲柄OD 和连杆 DE 的角速度。解：如图机构中，主动曲柄 OA 作定轴转动，m/s2.1v
6、A杆作平面运动，在图示瞬时，由 知，BBAv,杆作瞬时平移，有./A作平移， . 有 找得 杆速度瞬EBEvED,心为 D 点.在图示位置上可得，OO2由此可知 ， 杆角速度为30，rad/s7.51CEvDD 点的速度为，m/08.236曲柄 OD 的角速度为， （逆时针）.rad/s.17OvD6-7 使砂轮高速转动的装置如图所示。杆 绕21O轴转动，转速为 r/min， 处用铰链连接一半1904n2径为 的动齿轮 2，杆 转动时，轮 2 在半径为 的固2r21 3r定内齿轮 3 上滚动，并使半径 的轮 1 绕 轴转/r动。轮 1 上装有砂轮，随同轮 1 高速转动。求砂轮的转速。解：如图所
7、示: 设轮 1 和杆 的角速度分别为 和 ，21O14杆 作定轴转动，故21O4)(rv轮 1 和轮 2 啮合点 M 的速度 ，注意2OMv，可得轮 1 的角速度3r， （顺时针）421r题 6-6 图题 6-7 图4轮 1 的转速为， （顺时针）.minr/10824n6-8 图示瓦特行星传动机构中，平衡杆 绕 轴转动，并借连杆 AB 带动曲柄 OB；AO1而曲柄 OB 活动地装在 O 轴上；在 O 轴上装有齿轮 1，齿轮 2 的轴安装在连杆 AB 的另一端。已知： mm， ， ；又平衡杆的角速度3021r7501m50Brad/s。求当 和 时，曲柄 OB6O69和齿轮 1 的角速度。解：
8、由图所示可知：点 C 是 AB 杆和轮 II 的速度瞬心，故， （逆时针）.1142OABv，375杆 OB 的角速度为， （逆时针）.rad/s.21rvBO两齿轮啮合点 M 的速度为 , 则轮 1 的角速度为ABC， （逆时针）.r/s61I6-9 如图所示，轮 O 在水平面上匀速滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块 B，此滑块在摇杆 的槽内滑动，并带动摇杆绕 轴转动。已知轮的半径 m，在图示位置时，A1 1 50.R是轮的切线，轮心的速度 m/s，摇杆与水平面的夹角为 。求摇杆的角速度和O20.v 6角加速度。解：轮 O 作匀速纯滚动， ，且 ，点 B 作合成运动。rvO0O选销钉 B
9、为动点，摇杆为动系。1） 速度分析： OvCv3a题 6-8 图题 6-9 图 题 6-9 速度和加速度分析图5根据速度合成定理 作速度平行四边形，如图 (a)所示，求得reav, .Ov230cosr Ov230sinae摇杆的角速度为 ， （逆时针）.rd/.1B2) 加速度分析：）选轮心 O 为基点，则销子 B 的加速度如图（b）所示，有（d）ntnOBBaa再选定销钉 B 为动点，摇杆为动系，如图（c） ，有 (e)crte由式（d）,(e)得 = + + + nBnetearca大小： ？ 2OR12O1OBr12vO方向： 如图（b） ， （c）所示向 BO 轴上投影，ctenaB
10、O解出 ，于是摇杆的角加速度为ea， （逆时针）.21terad/s046.1A6-10 在图示机构中，已知：滑块 A 的速度mm/s， mm。求当 ，20AvBCB时杆 CD 的速度。3解：选套筒上的销钉 C 为动点， AB 杆为动系，动系作平面运动.1）速度分析. 由 找得 AB 杆的速度瞬心 ，故 ABBAv, AB杆的角速度为 ，而 C 点的牵连速度为rad/s1，m20eABv由速度合成定理 ，解得reavm/s15.0/s3cosra CD2）加速度分析. AB 杆作平面运动，以 A 为基点，有= + + BAtBnBa大小： ？ 0 2方向: 向水平轴投影，列出，3cossinn
11、t BABAa解得 ，20tAB于是求得 AB 杆的角加速度为， （顺时针）.rad/stBA 题 6-10 图题 6-10 速度分析图题 6-10 加速度分析图6再对套筒上的销钉 C 作加速度分析，仍以此销钉 C 为动点， AB 杆为动系，加速度合成定理为，crea其中 ，这里 是 杆上与 重合的点，所以AA nctCe B= + + + + actAcnarca大小: ？ 0 ？ BC2 rvAB方向: 向 轴投影，列出 ，ctea3cosa解出 .m/s67.03122ACAC即 ， （向下）.m/s67.0aCD6-11 直径为 d 的圆轮沿直线轨道滚动而不滑动，长为 l 的杆 AB
12、在 A 端与轮缘铰接，在B 端与沿倾角为 的滑道而运动的滑块铰接。已知轮心 O 点以速度 匀速运动。当 0v时，杆 AB 处于水平。求此时滑块 B 的速度和加速度。3解：1）速度分析.圆轮作纯滚动，与地面接触点 位速度瞬心， 0C圆轮的角速度为dvO2从而有 .OAv3cosAB 杆作平面运动， 找得 AB 杆的速度瞬心BA,，于是 AB 杆的角速度为BC，vAB滑块 B 的速度为，方向如图OABvCv3示.2） 加速度分析. 圆轮作匀角速纯滚动，轮心 O 的加速度为零，以此为基点，容易求得轮缘上 A 点的加速度为 ，指向轮心. dvaOA2AB 杆作平面运动，以 A 为基点，计算 B 点的加
13、速度，有，ntBBa其中 ，向 轴投影，列出2nAx，30cos6csAAa 题 6-11 图题 6-11 AB 杆的加速度分析图7解得：，方向如图示.213OBvlda6-12图示配汽机构中，曲柄 OA 长为 r，绕 O 轴以等角速度 转动， ， 。求机构在图示位置时，0rA6C3滑块 C 的速度和加速度。解：1）速度分析.曲柄 OA 作定轴转动， .0rvAAB 杆作平面运动，由 找得 AB 杆的速度瞬心 ，由此B, ABC得 AB 杆的角速度.30rABB 点速度为.0rCvABC 杆作平面运动，由 找得 BC 杆的速度瞬心CBv,，由此得 BC 杆的角速度B.60BC滑块 C 的速度为
14、，向下.023rv注意到，如果题目只要求 B 和 C 点的速度，而不需要求杆的角速度，则用速度投影法求解更方便简捷。2）加速度分析.对 AB 杆，选 A 为基点，则 B 点加速度为= + + anAtAanBA大小： ？ ？ 2Or2方向： 方向都已知，如图所示.向 AB 轴投影，得nn30sisiBAABaa解得 .21Or对 BC 杆，选 B 为基点，C 点加速度为= + + BtCBnBa大小： ？ ？ 231Or2C方向： 方向都已知，如图所示题 6-12 图题 6-12 速度分析图题 6-12 加速度分析图8向 BC 轴投影，得 ，方向向上 .2n1330cosOCBBCraa6-1
15、3 图示轻型杆式推钢机中，曲柄 OA 借连杆 AB 带动摇杆 绕 轴摆动，杆 EC 以铰链与滑块 C 相连，滑块 C 可BO1沿杆 滑动。摇杆摆动时带动杆 EC 推动钢材。已知， ， ，在图示位置时，rAr33/21bB， rad/s， m， m. 求滑块 C/4bC5.0OA.0r1的绝对速度和绝对加速度，滑块 C 相对于摇杆 的速度和加BO速度。解： 1）速度分析该机构速度分析如图（a）.AB 杆作平面运动，以 A 为基点， ，有OArvBBv解出 ，m/s15.03cosA，7tanBv于是，杆 的角速度为O1， （逆时针） ；rd/s2.0杆 的角速度为A， （顺时针）.ra/167.
16、BvA选取滑块上的销钉 C 为动点，摇杆 为动系，则BO1.m/s34.01eO由速度合成定理，reav解出滑块 C 相对于摇杆 的速度：1, /s2.03tnerv滑块 C 的绝对速度：， （向左）.m/4.coeavE（2）加速度分析.该机构加速度分析如图（b） ，对 AB 杆，以 A 为基点，有+ = + + tBnAatBn大小： ？ ？ 21O2Or2BA方向： 方向都已知 ，如图（2）所示向水平轴投影，列出，nnt 30sicoBABBaa题 6-13 图(a)题 6-13 速度分析图(b)题 6-13 加速度分析图9解出 ，于是，杆 的角加速度为2m/s07.231nBABaa
17、BO1， （逆时针）.21t rd/4.O仍取滑块上的销钉 C 为动点，摇杆 为动系，则由O1= + + +atenearca大小： ？ ？ 121r1v方向： 方向都已知，如图（b）所示向 轴和 轴投影1， ，ctea30cosa rnea30sia解出滑块 C 的绝对加速度和相对于摇杆的加速度为，2ctea m/158.aner s90si6-14 图示行星齿轮传动机构中，曲柄 OA 以角速度 绕 O 轴转动，使与齿轮 A 固结在一起的杆 BD 运0动，并借铰链 B 带动 BE 杆运动。如定齿轮的半径为2r，动齿轮半径为 r，且 ，图示瞬时，OA 在r5铅直位置，BD 在水平位置，杆 BE
18、 与水平线间成 角。求杆 BE 上的点 C 的速度和加速度。解：1）速度分析.动齿轮 A 在定齿轮 O 上作纯滚动，所以，动齿轮A 上与定齿轮 O 接触的这点 就是动齿轮的 A 的速AB度瞬心，于是有， ， （逆时针）.03rv03rvAB.6CB选 BE 杆上的 B 点为动点，套筒 C 为动系，如图（a） 。由速度合成定理，reavv得，0r 865.90cosr.ae 2in式中 . 从而杆 BE 的角速度为145t， （顺时针）.0e.BCv当选 BE 杆上的 为动点时，牵连速度为零，又因为杆相对于套筒是作平移，从而杆 BE 上的 点的速度C为.0r865.vC 题 6-14 图 题 6
19、-14 速度分析图题 6-14 加速度分析图103） 加速度分析，如图（b） ，小齿轮作平面运动，选 A 为基点，则 B 点加速度为, tnBAABaa式中因 得 .另一方面，选杆上的 B 点为动点，套筒为动系，则有0t，cre由此两式得 + = + + + ，AanBAteanerac大小： ？ ？ 203r25rC2re2v方向： 如图（b）所示向 CB 轴投影，nern45coscsaaBAA解出 .20r73.1a再选杆上 为动点，套筒为动系，有 C= + + aeCrcC大小: ？ 0 r2ve方向: 见图（ 2）C 处得杆上 点加速度为 . 20cr14.6a6-15 曲柄 OA
20、以恒定的角速度 绕轴 O 转动，rd/s并借助连杆 AB 驱动半径为 r 的轮子在半径为 R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。设 ，求图示瞬时点m2ABOB 和点 C 的速度和加速度。解：1） 速度分析. 如图（a） ，点 P 为轮子速度瞬心，AB 杆作瞬时平移，有 , .轮 B 的角速/sRvAB 0A度为, rd/42rB.m/s82.PCvB2）加速度分析. AB 杆作平面运动，取 A 为基点，对 B 作加速度分析，如图（a） ，有+ = + + tBnatnAa大小: ？ ？ rv22R02RB方向: 如图（a ）所示分别向 AB 轴和 BP 轴投影，得, 0ntBA0tnBA故 B 点加速
21、度为 ， . AB 杆的角加速度为m/s82rva/s8ntBa 题 6-15 图 题 6-15（a ）图112tm/s8ABa.轮 B 的角加速度为.2t/0轮作纯滚动，取 B 为基点，作 C 点的加速度分析，如图（b）所示，即= + + aBnBatCB大小： ？ nr20方向： 如图（b）所示故点 C 加速度 .22m/s31.CBCa6-16 图示机构中，曲柄 OA 以等角速度 作定轴转动，0并带动连杆 ABD 及 DF 运动，E 处为一有固定支承德套筒，它可绕 E 点摆动。已知机构尺寸为 ，rOA，且在图示位置时， ，试求rBDA2D5此瞬时杆 DF 的角速度及角加速度。解：1）速度
22、分析.AD 杆作平面运动，由 找得 AD 杆的速度瞬心BAv,，于是有ADC， ，0rv40CAD，2rA其中 .D4DF 杆作平面运动，由 找得 DF 杆的速度瞬心EDv,，于是有FC， （顺时针方向）.053vFD其中 . rF2若以 D 为动点，套筒 E 为动系，则由速度合成定理求得. 0r524rv2）加速度分析.AD 杆作平面运动，以 A 为基点，B 点加速度为= + + BatanBA大小： ？ ？ 20rD2Dr方向： 如图（b）所示题 6-16 图题 6-16 (a) 图题 6-15（b）图12向铅锤轴列投影式：0sincot BABAaa解得, 20t165r， （逆时针）.
23、t3BAD仍以 A 为基点，D 点加速度分析如图（b）所示，有 ，ntDAaa式中有 3 个未知量，故再选 D 为动点，套筒 E 为动系，有crnetaD由上两式相等得+ + = + + + AtDAnDAatenarca大小： ？ ？ 20r22DFErvDF方向： 如图（b）所示上式向水平轴投影，ctent cossiaaaDADA解出 , DF 杆的角加速度为20te563r， （逆时针）.2020te315.EDF6-17 图中滑块 A、B、C 以连杆 AB、AC 相铰接。滑块 B、C 在水平槽中相对运动的速度恒为 。m/s.6求当 时滑块 B 的速度和加速度。50mx解：1）速度分析
24、.滑块 A、 B、 C 都作直线运动，设 方向如CBAv,图所示，由题意可知存在关系， （a）sv. (b)0CBa又，杆 AB 和 AC 都作平面运动，由速度投影法得， （c）incoA. (d) sBv解得 ，或 ，代入（a）式，导出ttBCBCvot， (e)sBcot当 时， ， ，于50mx38.67105ar13.50sin13arci题 6-16（b）图题 6-17 图13是. .m/s029.1cotsvBm/s571.0BCv,rad/57.8CArad/758.4A将（e）式对时间求导，注意到 ， ，导BAC出saB2sin代入数据，得 .负号表示 的实际方向2m/37.5
25、B Ba与图示方向相反。6-18 在周转传动装置中，半径为 R 的主动齿轮以角速度 和角加速度 作反时针转00向转动，如图所示。而长为 3R 的曲柄 OA 以同样的角速度和角加速度绕 O 轴作顺时针转向转动。点 M位于半径为 R 的从动齿轮上，在垂直于曲柄的直径的末端。求点 M 的速度和加速度。解：1）设 OA 为动系，以轮 O 为对象，则 ，0a，轮 O 的相对角速度 满足0er，rea即，r0解得 ， （逆时针）.从而轮 A 的相对角速度r2O， （逆时针）.rA和相对角加速度为， （逆时针）.0rr轮 A 的绝对角速度为和绝对角加速度为， （逆时针）.rea， （逆时针）.02）轮 A 作平面运动，以 A 为基点.）速度分析：，03Rv0vM根据速度合成法A以 M 为动点，仍以 OA 为动系，则.021RvM）加速度分析：由加速度合成法的 M 点的加速度 tntn MAAAaaa大小： ？ OR223方向： ？ 如图（b）所示题 6-17 速度分析图题 6-18 图题 6-18（a）图题 6-17（b）图14023RatMAnx0ty于是 M 点加速度的大小为 .2040222 11aanAtMnAt
