1、1第十章质点系动力学能量方法 习题解答10-1 半径为 r 的匀质圆轮质量均为 m，图（a）和（b）所示为轮绕固定轴 O 作定轴转动，角速度为 ；图（c ）为轮作纯滚动，轮心速度为 。v试写出它们的动能。解：（a）匀质圆轮作定轴转动，对 O 点的转动惯量为 ，2231mrrJ动能为 。4JTO（b）匀质圆轮作定轴转动，对 O 点的转动惯量为 ，221mrJO动能为 。221mrJO（c）匀质圆轮作作纯滚动， ，v动能为 22243vTC10-2 匀质杆 OA 长 l，质量为 m，绕 O 点转动的角速度为；匀质圆盘半径为 r，质量也为 m。求下列三种情况下系统的动能：（1）圆盘固结于杆；（2）圆
2、盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 ；（3）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 。解：（1）圆盘固结于杆。对 O 点转动惯量为 2222 13413mrllmrlJO动能为 8T（2）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 ，则圆盘作平移，质心速度为 。lv动能为： T=T 杆 +T 盘 = 22222 3161mlvlmvJO（ 3）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 ，则圆盘的角速度为 。T=T 杆 +T 盘 = 222222 41rllC。3rl题 10-1 图题 10-2 图210-3 质量为 m1 的匀质杆，长为 l，一端放在水平面上，另一端与质量为 m2、半径为 r的匀质圆盘在圆
3、盘中心 O 点铰接。圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v。求系统在此位置的动能。解：杆作平移，动能为 ；21vT圆盘作纯滚动，动能为 ；22243vmJO总动能为 。1214vm10-4 一小方块在倾角为 的斜面上，高度为 h 处无初速地滑下，到达水平面后经过距离 l 而停住。设方块从斜面滑到水平面上时，在 B 处速度的大小不变。已知 ，求方lh,块与接触面间的摩擦因数。解：小方块在运动过程中，初速度 ，末速度 ；01v02v重力的功 ，mghW摩擦力的功分两部分：其一为在斜面上。法向反力为 ，斜面长为 ，摩擦力的功为cos1gFN sin1h；ssf fhfin1其二为在水平面上。法向反力为
4、 ，水平面上距离为 ，摩擦力的功为mN2 l；ssf flglfW2由动能定理得 ，解得 。01ffg sincolh10-5 一质量为 10 kg 物体在倾角为 30的斜面上无初速地滑下，滑过 1 m 后压在一弹题 10-3 图题 10-4 图题 10-5 图3簧上，使弹簧压缩 10 cm。设弹簧刚度为 50 N/cm，求重物与斜面间的摩擦因数。解：物体在运动过程中，初速度 ，末速度 ；01v02v重力的功 ；3sinmgW摩擦力的功为： ；cosff弹簧力的功： 2kWe由动能定理得 ，解得 ，将数据代入，0efg 30cos21inmgksf得 .310f10-6 一复摆绕 O 点转动如
5、图示。复摆的质量为 m，对其质心 C 的回转半径为 。设C，问当 x 为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并C求此最大角速度。解：复摆对 O 点的转动惯量为 ，动能为2xJCO，2221xmJTC仅重力做功， ，由动能定理得： ，解出gWmgxC221。22xC令 ，解得 ，从而有 。0dCCmax10-7 质量均为 m，半径均为 r 的匀质圆盘和圆环，放在倾角为 的斜面上，圆盘和圆环同时从静止开始在斜面上作纯滚动。试分析圆盘和圆环哪一个先到达地面？解：设圆盘质心的速度为 ，圆环质心的速度为 ，则圆盘的动能为 ，圆环的1v2v2143mvT动能为 ，重力的功为 ， 为圆
6、盘或圆环的质心沿斜面滑过的距离。2TsingW由动能定理： ，得圆盘： ；圆环： 。sin4321mgv i21mv题 10-6 图题 10-7 图4解得， ， 。3sin21gvsin2gv因 ，所以圆盘先到达地面。10-8 图示冲床冲压工件时冲头受的平均工作阻力 F = 52 kN，工作行程 s = 10 mm，飞轮的转动惯量 J = 40 kg m2 ，转速 n=415 r/min。假定冲压工件所需的全部能量都有飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。解：飞轮的动能： ，工作阻力的功： ，2301nTsW由动能定理， ，导出 ，W12 22130JF代入数据，得冲压结束后飞轮的转速为 .mi
7、n/r.42n10-9 重物 A 质量为 m1，系在绳索上跨过一不计质量的定滑轮 D 并绕在滑轮 B 上，滑轮 B 的半径为 R，与半径为 r 的滚子 C 固结，两者总质量为 m2，对 O 轴的回转半径为 。当重物 A 下降时，滚子 C 沿水平轨道滚动而不滑动，试求重物 A 的加速度。解： 取整个系统为研究对象，自由度为 1。设重物速度为 ，则轮的角速度 Av，轮心速度为 。系统的动能为rvAOvrR。2221221 rRvmJmT APA题 10-8 图题 10-9 图5运动过程中仅重力做功， ， 为重物下降的距离。由动能定理， ，ygmW1 WT0为初始动能。得0T.TvrRmA10221
8、等式两边对时间求导，注意到 ，导出： 。tydgrmrRaA22110-10 匀质圆盘质量为 m，半径为 r，可沿水平面作纯滚动，刚度系数为 k 的弹簧一端固定于 B，另一端与圆盘中心相连。已知弹簧为原长时圆盘的角速度为 ，试求：圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量、圆盘的角加速度以及圆盘与水平面间的摩擦力。解：取圆盘为研究对象，圆盘的初动能为： ，弹簧变形为 x 时圆盘的角速度243mrT为 ，动能为： 。运动过程中仅弹簧力做功 。由动能定理，121143rT 21kW，得WT。 （a）2212kxm当圆盘向右运动到达最右位置时， ，导出弹簧的伸长量为01。kmr23ax将式（a）等号两
9、边对时间求导，注意到 ，得 rtxd，kr2当圆盘向右运动到达最右位置时， ，导出圆盘的角加速度max，负号表示与角速度方向相反。此时，圆盘的受力mk62如图示，由质心运动定理得， ， 导出： 。eOFa6kr10-11 质量为 15 kg 的细杆可以绕 O 轴转动，杆 A 端连接一刚度系数为 k=50N/m 的弹簧。弹簧另一端固结于 B 点，弹簧原长 1.5m。试求杆从水平位置以初角速度落到图示位置时的角速度。rad/s1.0解：设杆落到图示位置时的角速度为 ，动能定理为egWT其中：， ， ，2006ml2116l60sinlmg题 10-10 图题 10-11 图6。代入后导出，210k
10、We 2012013klg代入数据后得， 。rad/s93.10-12 平面机构由两匀质杆 AB 和 BO 组成，两杆的质量均为 m，长度均为 l，在铅垂平面内运动。在杆 AB 上作用一不变的力偶 M，从图示位置由静止开始运动，不计摩擦。求当杆端 A 即将碰到铰支座 O 时杆端 A 点的速度。解： 以杆 AB 和 BO 组成的平面机构为研究对象，自由度为 1， 当杆端 A 即将碰到铰支座O 时， 。0BO 杆的动能为 ，261mlTBAB 杆的动能为 ，ABCJ其中， 2221831lllJABC功为： 。由动能定理，得cosmgMW，342ll解得 ，cs11l从而 。o32mglvA题 1
11、0-12 图710-13 匀质杆 AB 长为 l，质量为 2m， ，两端分别与质量均为 m 的滑块铰接，两光滑槽互相垂直。设弹簧刚度为 k，且当 AB 杆水平时弹簧为原长。若机构在 时无初速地60开始运动，试求当杆 AB 处于水平位置时的角速度和角加速度。解：取系统为研究对象，系统的动能为2 226561cos1sin1ml llT功为 22cos1sin1klgW由动能定理列出， 222 6060i65 lll将数据代入，导出 。mlkg3为求 AB 杆的角加速度，杆在任意位置时，由动能定理列出， （a）222 60cos1sin60i165 llml将(a)式等号两边对时间求导，注意到 ，
12、导出td，inco322 klgll将数据代入，得 .l103题 10-13 图810-14 测量机器功率的动力计，由胶带 ABCD 和杠杆 BF 组成。胶带具有铅直的两端 AC 和BD，并套住机器滑轮的下半部，杠杆支点为 O。借升高或降低支点 O，可以改变胶带的张力，同时变更轮与胶带间的摩擦力。杠杆上挂一质量为 3 kg 的重锤，使杠杆 BF 处于水平的平衡位置。如力臂 l=500 mm，发动机转速 n=240 r/min，求发动机的功率。解： 取杠杆 BF 为研究对象，0Om021GlrF发动机传递的力矩为 mglrM21于是发动机的功率为 ，3nP将数据代入，得 P=0.369 kW.1
13、0-15 鼓轮 B 质量为 m，内外半径分别为 r 和 R，对转轴 O 的回转半径为 ，其上绕有细绳，一端吊一质量为 m 的物块 A，另一端与质量为 M、半径为 r 的匀质圆轮 C 相连，斜面倾角为 ，绳的倾斜段与斜面平行。试求：鼓轮的角加速度 、斜面的摩擦力以及连 接重物 A 的绳子的张力（表示为 的函数） 。解：一）取整个系统为研究对象，以鼓轮的转角 为广义坐标，系统的拉氏函数为代入拉氏方程，grMrRVTL sin3241220imm，题 10-14 图题 10-15 图9解得 。223sinMrRmrg二）取重物为研究对象，列出质点动力学方程： ，ATAaGF其中 ，解得 agGA,
14、RgmT三）取轮 C 为研究对象，由平面运动微分方程， ，Jm21r解得 。MrF2110-16 用拉格朗日方程解题 10-9。解： 取整个系统为研究对象，自由度为 1。选重物下降的距离 为广义坐标，重物速度为y，轮的角速度 ，轮心速度为 。系统的动能为yvArRyrRvO。221221 yrmJmTPA 势能为 。拉氏函数为 ygV1。ygrRTL1221代入拉氏方程，0d1221myrmyt 导出： 。grRaA 22110-17 用拉格朗日方程建立题 10-10 中圆盘的运动微分方程。解：取圆盘为研究对象，弹簧变形为 x 时圆盘的角速度为 ，动能为：rx1，弹性势能 。拉氏函数为2143
15、mrT2kV，2143xL因 L 不显含 t，所以存在能量积分， ，即 ，CTCkxm2143由初始条件得， ，代回原式2rmC243143kx10当圆盘向右运动到达最右位置时， ，导出弹簧的伸长量为 。0x kmrx23a由拉氏方程，23dkmyLt当圆盘向右运动到达最右位置时， ，导出圆盘的角加速度max，负号表示与 增大方向相反。rx6摩擦力计算同式 10-10。10-18 用拉格朗日方程解题 10-11。解：选杆与 OA 夹角 为广义坐标，拉氏函数为221sin61kmgllVTL其中， 为 位置上弹簧的伸长。因 L 不显含 t，所以存在能量积分， ，即 CVT， （a）Cklml 2
16、2si由初始条件得， 。C81602当 时， 。代入（a）式，导出60)m(5.3。rad/s9.110-19 用拉格朗日方程建立题 10-13 系统的运动微分方程。解：取系统为研究对象，选 为广义坐标，系统的拉氏函数为，222 cos1sin165klgllVTL存在能量积分： Cm其中 。当 时，导出：28143klmgC0mlkg2036列出拉氏方程 sincocos522lll当 时，导出： 。0lg10310-20 在图示系统中，匀质圆轮 A 的质量为 M，半径为r；摆球 B 的质量为 m，摆长为 b；弹簧刚度为 k； 弹簧及杆 AB的质量不计，圆盘在水平面上作纯滚动。若选取 为广义
17、坐,标，用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程并写出其初积分。解：取系统为研究对象，自由度为 2，选 为广义坐标，动,能和势能为题 10-20 图11222 sincos143 brmMrTgbkV拉氏函数为 ,代入拉氏方程，导出VTL。0sincos 02ico232r kr注意到 ，表明系统存在能量积分， ，即0t CVT.cos21cos214CmgbkrrbmM10-21 正方形匀质板的质量为 40 kg ，在铅垂平面内用三根绳子拉住，板的边长为 b=100 mm，如图示。求：（1）当软绳FG 剪断后，木板开始运动的加速度，以及 AD 和 BE 两绳的张力；（2）当 AD 和 BE 运动
18、到铅垂位置时，板中心 C 的加速度和两绳的张力。解：取板为研究对象，板作平移运动。一）在软绳 FG 剪断的瞬时。由平面运动微分方程得， ，CxxmaF60sin60cosCBAmaF， ，yy coiP， 。J2i2bFbBABA 解得： ，/s9.4/ga N68,7二）当 AD 和 BE 运动到铅垂位置时，由动能定理，列出 60in12mlvC解得 。32gla再由平面运动微分方程得， ，CyyFCBAaFP， ，Jm02bFBA解得： , .2/s63.2ga N548题 10-21 图1210-22 在图示机构中，物块 A、 B 的质量均为 m，两匀质圆轮 C、 D 的质量均为 2m，
19、半径均为 R。轮 C 铰接于无重悬臂梁 CK 上，梁的长度为 3R，D 为动滑轮，绳与轮间无滑动，系统由静止开始运动。求：（1）A 物块上升的加速度；（2）EH 段绳子的拉力；（3）固定端 K 处的约束力。解：一）以整个系统为研究对象，自由度为 1，选 为广义坐标，如图示。有y。, vRyyvBDCA 系统的动能为2222331ymmvT BDC势能为，gygV1拉氏函数为 ，代入拉氏方程，得VTL，0213y解得 。gaA6二）取轮 C 为研究对象， ，RaAC加惯性力： AICAI mRMaF2,，列动静方程，得题 10-22 图13， ，0Cm0RFGMRFIAICT解得 。gT34，
20、，yICATC解得 。29三）取梁 KC 为研究对象，列平衡方程， ；，0xFKx， ， ；0yF0CKy mgFKy5.4， ，m3RM.13R10-23 在图示机构中，沿斜面滚动的匀质圆柱体 和匀质鼓轮质量均为 m，半径均为OR。绳子不能伸缩，其质量略去不计。粗糙斜面的倾角为 ，不计滚阻力偶。如在鼓轮上作用一常力偶 M。求：（1）鼓轮的角加速度；（ 2）轴承 O 的水平约束力。解：一）取整个系统为研究对象，选轮的转角 为广义坐标。系统的初动能为 ，任意时0T刻动能为，2223mRmT功为 ，singRW动能定理： ，即 0i2M将上式对时间求导，得 ，snmg解得 。2iR二）取轮 为研究
21、对象，由定轴转动微分方程得O， ，J21FT解得 。mgMFT4sin3题 10-23 图14由质心运动定理得 ， ，CxxmaF0cosTOF解得 。2in681mgRMR10-24 图示三棱柱体 ABC 的质量为 m1，放在光滑的水平面上，可以滑动。质量为 m2的的匀质圆柱体 O 由静止沿斜面 AB 向下纯滚动，如斜面的倾角为 。求三棱柱体的加速度。解：取整个系统为研究对象，自由度为 2，选 为广义坐标，如图示。系统的动能和势yx,能为，cos4321 1sin22 222yxmxmRyT sin2gymV代入拉氏方程，导出，0cs21yino32gx解得 。maA221si题 10-24
22、 图1510-25 匀质细杆长 l，质量为 M， ，由直立位置开始滑动，上端 A 沿墙壁向下滑，下端B 沿地面向右滑，不计摩擦。求细杆在任意位置 时的角速度 、角加速度 和 A、 B 处的约束力，并讨论在下滑过程中 A 端有无可能脱离墙壁？解：杆作平面运动。选 为广义坐标，杆的动能和势能为，2261mlJTABC，sinlgV因 不显含时间，所以存在能量积分 ，L CVT即： ， （a）0i12612ll导出 。sn3lg将（a）式对时间求导，得 0cos22lmgl解得 。cos2l在图示坐标系下，杆的质心坐标为，sinco2,cos2,sin2 ciin2lylylyxxx将 代入，化作,， 。3ico49gx 3i934g由质心运动定理，得， ，mFx2sinco9NA， y 3si934gGB题 10-25 图16解得 。32sin914mgFNB在下滑过程中，当 时，A 端就将脱离墙壁。此时，coA。32arcsin
