1、1. 直角坐标系中点电荷电量为 Q，坐标为 ，写出 Q 所产生的cba,电场在空间任一点的电场强度。解：画出坐标系及空间任一点 ，则该点相对于点电荷的位矢zyxP,为 ，由点 电荷 Q 产生的电场在 P 点处的场强分量czbyaxr,为 232204czbyaxaxEx 23220 czyxQy232204czbyaxzEz 该场强的方向沿 方向： 。r kji在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便， 还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因 为矢量方程与所取的任一坐标无关。2. 一电偶极
2、子的电偶极矩为 ，P 点到偶极子中心的距离为 r，lq与 的夹角为 ，在 时，求 P 点的电场强度 在rlrE方向的分量 和垂直于 方向的分量 。POrEr解：在极坐标系下，设点 相对于 和 的位矢分别为 ，,Pqr，它们与 的夹角分别为 和 ，由点电 荷的场强公式有rr， ， 2041rqE2041rqEE在极坐标下， 可以分解为：， coscosr sinsiE其中， ， ，rl2cs rlco2cs， rlsin2si rlsin2si又因为 ，在此近似下有lr， ， ，2r r2 coslr带入以上各式，化简得， 。30cos241rPEr 30sin41rPE此种方法的关键在于灵活运
3、用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为 x 轴方向取直角坐标系中任一点 ，由点 电荷的电势叠加可得：zyxP, 2222041 zylxqzylxqU考虑到 的条件，有 ， lr22zyxr2122 11 rxllrzylx上式右边经过二项展开，并略去 的高阶项（二阶及以上），得l22211rxlzylx则 ，2014rxlqU 2014rxlqU则 P 点的偶极子 势为 2030 cos4141rPlqrx可写成矢量表
4、达形式：（*）30204141rPrPU下面求电偶极子的电场强度：由 ,将上式带入,有PE 330 114rPrrU其中， ， ，Pr 5433 3rrrdr 则 （#）。35041rPrE以上（*）和（#）式为偶极子的一般计算式。可以在具体的坐标系中直接带入计算。变换到球坐标系 中,由于轴对称性可知， 与 无关，则,r U的分量为 ：E，30cos241rPrUr 30sin1rrE 。sinU1. 计算 的散度：3r解： 。03125333 rrr2. 如图所示，无限大带电层，且电荷密度 ，试求其产生的x场强。解：此题需分三个区域进行计算：取垂直于带电层的坐标 OX。（1） ，取 到 之间
5、的带电平面，取单位面积的电荷axxdx面密度为 ，则 ，则该平面在 处形成的电场强度为：x，002dxxdE（负号代表取坐标负向。 ）01ba若 ，则 ；常 数02lxE（2） ，同理可得bx（负号代表取坐标正向。 ）021dxEba若 ，则 ；常 数02lE（3） ，对于带电层中间的区域，要注意 和 的bxa x 情况不一样，故要进行分段积分： 002121dxdxxEbxxa若 ，则 。常 数 0aE3. 求无限长均匀带电柱体周围的场强，已知延高方向单位长度电荷密度为 ，圆柱底面半径为 。R解：取半径为 、高为 的同轴圆柱面为高斯面，分以下两种情况考rl虑：（1） 时，由高斯定理，有Rr
6、02qrlEsdS而 ，则 22Rlrlrq20Rll得 20E（2）当 时， ，同理得到 。RrlqrE024. 求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布，设球壳带电总量为 ，q半径为 。R解：以无穷远处作为电位零点，即 ,0U由真空中带电球壳的场强分布： RrqE,0412根据电位的定义求解：对于 时， ；Rr rqdrqldErUrr 020414对于 时，。 Rqdrqldldr RRrR 0204145. 求无限大均匀带电平面（电荷面密度为 ）的电势分布。解：确立原点在平面上的坐标 OX，设空间任一点 P 位于 处。r取 为电位零点，由无限大均匀带电平面的场强公式，有)(0rP0,2,0
7、0rE下面以 的情况来讨论：0r由电位定义有：。 rldEldPUPAA 00 20本题中电位零点的取法很关键，注意到：求无限大带电体周围的电位时，不能取无穷远处为电位零点。6. 一半径为 的均匀带电圆面，电荷总量为 ，求轴线（OX）上的Rq电位分布，并画出 曲线。xU解：在圆面上取 的圆环，由于圆面的电荷面密度：drr,故该圆环所带电量为：2RqrdRqrqrdd 22 而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法，取圆环上的一段，取无穷远处为电位零点，由点电荷的电位公式：dll，得圆环在轴线上的电位分布为：200 4RxdqrqU 2002 4 Rxqxq 环现在将此电位作为圆面在轴线上电位
8、的积分元，即令 ，qd，作圆面上半径的积分，可得整个圆面在轴线上的电位：环Ud xRxRxqrRxdqRR 2020202020 44 。7. 电量 均匀分布在长为 的细直线上，求下列各处的电位：ql2（1） 中垂面上离带电线段中心 O 为 处，并用梯度求 ；rrE（2） 延长线上离中心 O 为为 处，并用梯度求 ；zz（3） 通过一端的垂直面上离该点为 处，并用梯度求 。rr解：根据题意，以 O 为原点中垂线所在直线作为 x 轴、延长线所在直线作为 y 轴建立坐标系，取无穷远处为电位零点。（1） 求 点的电位 及 ：0,rPPUrE设直线上 的一段所带的电量为 ，由点电荷电dy dylq2位
9、公式，它在 点的电位为：0,r 202084yrlqdyrdqdU则整段直线在 点的电位为：,rP rllqyrlqddUll 2020 n48 则有 。204lrrEr（2）求 点的电位 及 ：zP,0PUzE线元 的电量仍然为 ，由点电荷电位公式，它dydylq2在 点的电位为：z,0yzlqdyzdqdU0084则整段直线在 点的电位为：zP,0lzllqyzlqddUll n8800则有 ,（号对应 ，号对应204lzEz l） 。lz（3）求 点的电位 及 ：lrP,PUrE同样取线元 ，其电量仍然为dy，由点电荷电位公式，ylqd2它在 点的电位为：rP, 202084yrlqdy
10、rdqdU则整段直线在 点的电位为：lP, rllqyrlqddUll 2020220 42n48 则有 。204lrEr1. （P44.8 ）如图所示一种电四极子，由两个相同的电偶极子组成，这两偶极子在一直线上，当方向相反，它们的负电lqP荷重合在一起。求延长线上离中心（即负电荷）为 处的电场及r电位分布。2lr xyO Prl-lP-2q+q+q解一：根据电场叠加原理，三个点的电荷在 P 处的场强： 220 20001144rlrlq lrqrqrE由 ，上式可以用 Tayler 公式展开：lr利用公式 ，并取二级近似，有.!21!112xxx42364 3020 2220 rqlrlqr
11、llE 则 。 302401rqldrldEPUr 以上为一种常规方法运用点电荷电场叠加原理。下面介绍另一种方法，将电四极子看作两个电偶极子的组合问题，直接运用电偶极子的电势求解：解二：由偶极子专题的分析，偶极矩为 的电偶极子在空间任lqP意一点 P 处的电位为： ，lrU3041注意这里的 指的是 中点到 P 点的位矢。rl本题中的电四极子的电位可以用两个偶极子电位的叠加来表示：， 20204141lrqlrqPU现在同样用 Tayler 公式展开：利用公式 ，并取二级近似，得.!21!112xxx 3022220 2220 431431414 rqlrlrlrql llrqlPU 由 即得
12、 P 点的场强。0rqlrPUPE2. 如图所示为另一种电四极子，设 和 都已知，P 点到正方形的ql中心 O 距离为 ， 与正方形的一对边平行，求 P 点的电场强xOP度及电位分布。解一：利用偶极子在中垂面上的场强分布： 3041rPE将本题中的电四极子看作分别由和两个偶极子的组合，则有偶极子在中垂线上 P 点的电场强度为：+q+q- q- qllxllP，方向向下，30142lxPE偶极子在中垂线上 P 点的电场强度为：，方向向上，3023241lxE则合场强： 3301423 2121lxlxPE由 ，上式可以用 Tayler 公式展开：lx利用公式 ，并取二级近似，有.!21!112x
13、xx 4022230 3330 3114 14 xqlxlxlxPllxE 于是有 。 30403ldqldEUxx此题的扩展问题：考虑 P 点不在中垂面上，求解如下：+q - qllrlP(r, )极轴O解二：如图所示，在极坐标下 P 点的坐标 ，先考虑 P 点的电位：,r32414321 UUUP 由偶极子专题的分析，偶极矩为 的电偶极子在空间任意一点lqPP 处的电位为： ，lr3041同样这里的 指的是 中点到 P 点的位矢。rl设 P 点相对于偶极子 和的位矢分别为 ， 对应的与极轴1r2的夹角为分别为 ， ，则有：12 310311041 sin42cosrPrPU 32032 s
14、in1r故 32310sisi4rrPU又由几何关系有 ，且2sinsisin， ，化简略去二阶小量得co21lrco22lr302 60232104cosin4cos3sinPrsiPrrql rlU+q- q l由 即得 P 点的2024cosin9rqlrPUPE场强。3. 如图所示。两条均匀带电的无限长平行直线（与图纸垂直） ，电荷的线密度分别为 ，相距为 ，求空间任一点 的电ea2yxP,位。解： 取坐标原点 O 点的电位为零，即 。则根据无线长直导线0U的电位分布公式，有：导线在 P 点的电位为：e100 ln221 raOUdrUerae 导线在 P 点的电位为：e200 ln2
15、radrerae在直角坐标系中， ， ，21yx2yax所以 P 点的电位为：2020 120210ln4ln2 lllnyaxyax rraUee ee 本题要注意零电位的取法，对于无限的带电体，不能再取无限远处为零电位点。另外，几种典型模型（如无限大带电平面、无限长直ya a x0P(x,y)ee导线、带电圆环、带电圆面、带电球面及带电球的电场强度和电位的分布要熟悉掌握，在处理具体问题的时候都可以直接运用它们的结果。 ）8. 半径为 的导体，带电量为 ，球内有两个半径分别为 、 的aQbc球心空腔，中心处有电荷 、 。计算导体球内、球外空间的1q2电位和场强。解：以无穷远处作为电位零点，即
16、 ,0U（1） 导体球外：离球心距离 处的电位 arrqQU02114由此得场强： ；rqQUE420111（2） 导体球上：即 的电位为 ，ar aq02124导体内部的场强 ；0E（3） 空腔 1 内：假设离空腔球心距离 处的电位为1r1034CrqU由边界条件： 时 ，得b123UbqaQC121014 bqarqbqaQrqU 121101210103 44由此得场强： ；rUE421033（4） 空腔 2 内：同理假设离空腔球心距离 处的电位为2r204CrqU由边界条件： 时 ，得c224U cqaQC210241由此得场强：cqaQrqU212041。rE20449. 接地导体球
17、（半径为 ） ，距球心为 处有一点电荷 。RaRq求空间电位分布。解：此题参考上课时讲的例题。10. 点电荷 处在导体壳的中心，壳的内外半径分别为 、 ，q 1R2求场强的分布。并画出 和 曲线。rErU解：根据题意，导体达到静电平衡时，导体内的场强为零，导体为等势体，在 的导体面上均匀分布电量为 的感应电荷，1Rrq的导体面上均匀分布电量为 的感应电荷。2r q（1） 考虑 的区域时，导体内部的电荷对外部电场没有影响，2r该区域的电场只由导体外表面的电荷产生，则 rqE420故 ；20204422 RqdrqrdEURR （2）考虑 的区域， ，电位如下：1 202044222 qdrqrd
18、rdRRRr （3）考虑 的区域时，假设电位为1CrqU04则由边界条件： 时 1Rr 20104RqR可得 1204qC故 120RrU由此可得 。rqE42011. 一球形电容器内外两壳的半径分别为 、 ，现在两壳之1R4间放一个内外半径分别为 、 的同心导体球壳。2R3（1） 给内壳 充以电量 ，求 和 两壳的电位差；1RQ14（2） 求电容（即以 和 为两极的电容） 。14解：（1）当内壳充电 时，由于导体的静电感应作用， 、 、2R3各球面上分别均匀分布电量为 、 、 的感应电荷，故取4RQ半径为 的同心球面为高斯面，由高斯定理可以算出不同区域的场r强分布：44320 322120
19、1,41, RrRrQrrRE则 和 两壳的电位差：1R4； 43210 202014043322141 RRQdrQdrrldEURRRR (2) 由电势差和极板带电量可得电容：。4321041 1RRUC12. （P 17114 题）收音机里用的可变电容如 13 题图所示其中共有个金属片。每片形状如 14 题图所示；相邻两片间的距离都是 ，n d当动片转到两组片之间的夹角为 时，证明：当 较大时，略去边缘效应，它的电容为（其中 以度为单位） ；drnC360121同时运用虚功原理求电容器极板绕轴旋转时的转矩。解：将此可变电容器视为 个平板电容器的并联组合，每个小电1n容器的电容为： ,总的
20、电容为 。dSCi0dSnC01若已知 ，则有 36021rS，得证；drnC212现在求转矩：由电容器的储能公式 ,根据虚功原理设想极板转动角度为CQW2一小量 时，能量变化 ,其中的 对应 ，1C1 136021rndC设极板的转矩为 ，则有 ，由上式可得：W。1360221rndQ13. 一平行板电容器两极板相距为 2.0mm，电位差为 400 伏，其间充满了介电常数 的玻璃片。略去边缘效应，求玻璃表面0.5r上极化电荷的面密度 。e解：由题意已知 ，则可以求出平板电容器中的场强： ，UdUE而极化强度矢量 ，dUEPrr 0011故极化电荷面密度 。263120 /1.7.485. 米
21、库Pnre14. 平行板电容器两极极板 3.0cm，其间放有一层 的介质，0.2r位置和厚度如图所示（P 202页习题 8 的图） ，已知极板上面电荷密度为 1009.8e，略去边缘效应，求：2/米库（5） 极板间各处的 、 、 ；PED（6） 极板间各处的电位（设 ） ；0AU（7） 已知极板面积为 0.11 米 2,求电容 ,并与不加介质时的电容C比较。0C解：（1）分区域讨论： 对于电介质外极板间的区域，即 和 时，10x32x显然有 ，0P场强 库 仑牛 顿 /1085.920eE电位移 ；2/. 米库 仑PD 对于电介质内部区域，即 时，由高斯定理得 1x2100 /9.8米库 仑e
22、场强 库 仑牛 顿 /50185.9200 reE 211210 /489.8 米库DP（2）讨论 取不同区域极板间的电位 ：x xU 时，由于 是常数，故cm1库牛 /10E；伏 .0xEU 时， ，而cmx21库牛 /50E伏 5.10.501.2.01.0.2 dxdUree 时， ，cx3库牛 /；伏 5.21050103.2.2.13 dxdxdxB（3）电容 法1100 09.35.2.9.8ABeUSVQC而 法110 .03.5. d由此可得 。20C15. 一半径为 的导体球带电荷 ，球外有一层同心球壳的均匀RQ介质，其内外半径分别为 和 ，介电常数为 。求：ab（1） 介质
23、内外的电场强度 和电位移 ；ED（2） 介质内的极化强度 和表面的极化电荷密度 ；P（3） 介质内的极化电荷体密度 。解：（1）取半径为 的同心球面为高斯面，由高斯定理，可得rRrQD,0412由此可得 ；RrbarQrDE,0,41,2（2）在介质内部，由,得EDP0；由 ，分别求介质内外表面的极化面密度：n内表面： 20 14aQaPa 外表面： 201bb（4） 由 。430 rQP16. 圆柱形电容器是由半径为 的导线和与它同轴的导体圆筒构1R成，圆筒内半径为 ，长为 ，其间充满了介电常数为 的介质。2L设沿轴线单位长度上，导线的电荷为 ，圆筒的电荷为 ，略00去边缘效应。求：（1） 两极的电位差 ；U（2） 介质中的电场强度 、电位移 、极化强度 ；EDP（3） 介质表面的极化电荷面密度 ；0202 14441 rQrQr （4） 电容 。 （它是真空时电容 的多少倍？）C0C解：取半径为 的同轴柱面为高斯面，根据高斯定理，r，即 ,则有 ；0qSdDSlrlD02rD20于是 ,rE0且 rDP21000两极板间的电压 ；1200ln2121 RdrldEURR 由 ，分别对内部介质的极化面密度进行讨论：nP： 1Rr10011 2RRP： ;2 2022该电容器的电容为 ， 12lnRLC由此可得与真空中电容的比值为： 。0C
