1、第十六章 数系的扩充与复数的引入1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 复 数 的 分 类模 、 辐 角共 轭 复 数两 复 数 相 等基本概念 代 数 形 式几 何 形 式三 角 形 式表示形式运算 代 数 式 的 运 算三 角 式 的 运 算 点 向 量加 、 减 、 乘 、 除乘 方 、 开 方几何运用 几 何 问 题轨 迹 问 题复数重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.第
2、 1 课时 复数的有关概念1复数：形如 的数叫做复数，其中 a , b 分别叫它的 和 ),(Rba2分类：设复数 ： ,zi基础过关知识网络考纲导读高考导航(1) 当 0 时，z 为实数；(2) 当 0 时，z 为虚数；(3) 当 0, 且 0 时，z 为纯虚数.3复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.4共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时这两个复数互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)5若 zabi, (a, b R), 则 | z | ； z .6复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做 ， 叫虚轴7复数 zabi(a, b R)与复
3、平面上的点 建立了一一对应的关系8两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.例 1. m 取何实数值时，复数 z 是实数？是纯虚数？362mim)152(解： z 是实数 50312 z 为纯虚数 23036152mm、变式训练 1：当 m 分别为何实数时，复数 z=m21(m 2 3m2)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？解：（1）m= 1,m=2；(2)m1,m2；（3）m=1 ；（4）m= 1例 2. 已知 x、y 为共轭复数，且 ，求 xixyi6)(解：设 代入由复数相等的概念可得,(,Rbaibia ,ba变式训练 2：已知复数 z=1
4、i ，如果 =1i, 求实数 a,b 的值21zab由 z=1i 得= =（a2) (ab)i21zab()()ii从而 ，解得 ()12b例 3. 若方程 至少有一个实根，试求实数 m 的值.0)()2(mixix解：设实根为 ，代入利用复数相等的概念可得 o ox22变式训练 3：若关于 x 的方程 x2(t 23ttx )i=0 有纯虚数根，求实数 t 的值和该方程的根解：t=3,x 1=0,x2=3i提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为 0，将问题转化成解方程组典型例题例 4. 复数 满足 ，试求 的最小值. (,)zxyiR|2|izyx3设 ，则 ，),(i 2于是
5、6923x变式训练 4：已知复平面内的点 A、B 对应的复数分别是 、iz21sin，其中 ，设 对应的复数为 .2cos2iz)2,0(1) 求复数 ；z(2) 若复数 对应的点 P 在直线 上，求 的值.xy21解：(1) 12sinzz(2) 将 代入)sin,(Pxy2可得 .21si61,75,61要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.2设 zabi (a，b R)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.第 2 课时 复数的代数形式及其运算1复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设 ，则2, (,)zabizcdiabcR(1
6、) ；1(2) ；2z(3) ( ).2z2几个重要的结论： )|(| 212121 zzz . 若 z 为虚数，则 2|z2 z、3运算律 .nmz .)(基础过关小结归纳 .nz)(21 ),(Rnm例 1计算： iii 21)1()(0540解：提示：利用 i2,)(原式0变式训练 1：求复数2()3i（A） （B ） （C） （D ）i12i132i13i解： 故选 C；2(1)(3) 23iiiii例 2. 若 ，求02z 2065203zz解：提示：利用 z43,1原式 2)(20z变式训练 2：已知复数 z 满足 z210，则（z 6i） （z 6i） 解：2例 3. 已知 ，问
7、是否存在复数 z，使其满足 （a R） ，如果存在，求4,aRizi32出 z 的值，如果不存在，说明理由解：提示：设 利用复数相等的概念有),(yxiz axy20342ay iaz1624| 变式训练 3：若 ，其中 是虚数单位，则 ab_(2)ibiRb,解：3例 4. 证明：在复数范围内，方程 （ 为虚数单位）无解25|(1)()2izizi证明：原方程化简为设 、yR，代入上述方程得2|(1)()13.ziziiixz( 2213.xyii将（ 2）代入（1） ，整理得2(2)xy无实数解，原方程在复数范围内无解 .28150.x60,()fx、典型例题变式训练 4：已知复数 z1
8、满足(1i)z 115i ，z 2a 2i ，其中 i 为虚数单位，aR, 若0)，且复数 的虚部减去它的实部所得的差等于 ，求复数iaz1)(iz 2的模.20 复平面内，点 、 分别对应复数 、 ，且 ，1Z21z2 iaz)10(5321，2(5)1zai，若 可以与任意实数比较大小，求 的值（O 为坐标原点）.)(R、 21z 21Z复数章节测试题答案一、选择题1 A2答案：A3答案：B4答案：B6答案：A7A8B9B10B11D12B二、填空题13 61142i15 i16答案：2217答案： 518 答案：B , 设 k = ,0y1)x(2xy则 k 为过圆（x2） 2 + y2
9、 = 1 上点及原点的直线斜率，作图如下, k , 31又y0 ,k0.由对称性 选 B【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调 y0，这一易错点.【误区警示】本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬.19解： iaiz21)(ia325|20解：依题意 为实数，可得1z052a)(53、a81OZ五年高考荟萃2009 年高考题一、选择题1.(2009 年广东卷文)下列 n 的取值中，使 ni=1(i 是虚数单位）的是 （ ）A.n=2 B .n=3 C .n=4 D
10、.n=5【解析】因为 41i,故选 C. 答案 C2. （ 2009 广 东 卷 理 ） 设 z是复数， ()az表示满足 1nz的最小正整数 n，则对虚数单位i， ()a （ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【解析】 ()i1n，则最小正整数 n为 4，选 C.答案 C3.（2009 浙江卷理） 设 zi（ 是虚数单位） ，则 2z ( )A 1i B C 1 D 1i 82615205【解析】对于 22(1)1ziii答案 D4.（2009 浙江卷文） 设 zi（ 是虚数单位） ，则 2z （ ）A 1i B 1i C 1i D 1i 【解析】对于 22()zii 答案 D5.（2
11、009 北京卷理） 在复平面内，复数 (1)zi对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 (12)2ziii，复数 z所对应的点为 2,1，故选 B.答案 B6.(2009 山东卷理)复数 3i等于 （ ） A i21 B.12 C. i D. 2i 【解析】: 2()41i ii i,故选 C. 答案 C7.(2009 山东卷文)复数 31i等于 （ ） A i21 B. 2i C. i D. 2i 【解析】: 2()41iii,故选 C.答案 C8.（2009 全国卷理）已知 1iZ =2+i,则复数 z= （ ） （A）-1+3i (B)1-3i (C
12、)3+i (D)3-i【解析】 ()23,1ziizi 故选 B。 答案 B 9.（2009 安徽卷理）i 是虚数单位，若 7(,)2iabiR，则乘积 ab的值是( ) （A）15 （B）3 （C）3 （D）15 【解析】 17()21325iii， 1,3ab，选 B。答案 B10.（2009 安徽卷文）i 是虚数单位，i(1+i)等于 （ ）A1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i【解析】依据虚数运算公式可知 21i可得 ()1ii，选 D.答案 D11.（2009 江西卷理）若复数 2()(zxi为纯虚数，则实数 x的值为 （ ）A 1 B 0 C 1 D 1或 【解析】由
13、2xx故选 A答案 A12.(2009 湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数（m+ni ）(n-mi)为实数的概率为 （ ）A、 13 B、 14 C、 16 D、 12 【解析】因为 2()()mniinmi为实数所以 2n故 则可以取 1、2 6，共 6 种可能，所以 16PC答案 C13.（2009 全国卷理） 0i- （ ）A. -2+4i B. 24 C. 2+4i D. 2-4i【解析】：原式 1i(+)-i.故选 A.答案 A14.（2009 辽宁卷理）已知复数 12zi，那么 z= （ ）（A） 52i （B ） 5i （C） 125i （D） 1
14、25i【解析】 2112()iiiz i答案 D15.（2009 宁夏海南卷理）复数 3ii（ ）（A）0 （B）2 （C ）-2i (D)2 【解析】 32ii323226113iiiii,选 D答案 D16.（2009 辽宁卷文）已知复数 zi，那么 z （ ）（A） 52i （B） 52i （C） 125i （D） 125i【解析】 211()iizi i答案 C17.（2009 天津卷文） i是虚数单位， i5= （ ）A i21 B C 21 D 【解析】由已知， 1)(5iii答案 D18、 （2009 宁夏海南卷文）复数 32i（ ）（A） 1 （B） 1 （C ） i (D)
15、i【解析】 32i()3i6941，故选.C。答案 C19、 （ 2009 天津卷理）i 是虚数单位， 52i= （ ）（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i【解析】 iii15)2(，故选择 D。 答案 D20、 （2009 四川卷理）复数2()34i的值是 （ ）. . . i . i【解析】 1259625)(43)21( ii ，故选择 A。答案 A21、 （ 2009 重庆卷理）已知复数 z的实部为 1，虚部为 2，则 5iz= （ ）A 2i B i C 2iD i 【解析】因为由条件知 1z，则 5()1025iiiz，所以选A。答案 A二、填空题22
16、、 （ 2009 江苏卷）若复数 1249,6,zizi其中 是虚数单位，则复数 12()zi的实部为 。【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 答案 -2023、 （2009 福建卷文）复数 2i1+的实部是 。【解析】 2i1=-1-I,所以实部是-1。答案 -124、 （ 2009 年上海卷理）若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z=_ .o.m 【解析 】设 za bi ，则（abi ）(1+i) =1-i，即 ab（ ab）i1 i，由 1ba，解得 a0 ，b1，所以 z i， i答案 i.20052008 年高考题一、选择题、
17、（2008 全国二 2）设 abR， 且 0，若复数 3()abi是实数，则 （ ）A 23b B 23C 29D 29ab答案 A2、 （2008 山东 2）设 z 的共轭复数是 z，或 z+ =4,z 8，则 z等于 （ ）A1 B-i C1 D i答案 D3、 （2008 重庆卷 1）复数 1+ 2i= （ ）A1+2i B.1-2i C.-1 D.3 答案 A4、 （2008 福建卷 1)若复数( a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 （ ）A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1答案 B5、 （2008 广东卷 1）已知 02a，复数 z的实部为 a，虚部为
18、1，则 z的取值范围是（ ）A ()， B (3)， C (15)， D (3)，答案 C6、 （2008 浙江卷 1）已知 a是实数， i是春虚数，则 a= （ ）A.1 B.-1 C. 2 D.-答案 A7、 （2008 辽宁卷 4）复数 1ii的虚部是 （ ）A 15iB C 5D 1答案 B8、 （2008 海南卷 2）已知复数 1zi，则2z（ ）A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i 答案 B9、 （2006 年浙江）已知1mnii， i其 中 ， 是 实 数 ， 是 虚 数 单 位 ， mni则( )A1+2i B 1-2i C2+i D2- i 答案 C10、 （2006年
19、四川）非空集合 G关于运算 满足：（1）对任意 ,abG，都有 ab； （2 ）存在 e，使得对一切 a，都有 e，则称 关于运算 为“融洽集” ；现给出下列集合和运算： ,G非 负 整 数 为 整 数 的 加 法 ,偶 数 为 整 数 的 乘 法平 面 向 量 为 平 面 向 量 的 加 法 二 次 三 项 式 为 多 项 式 的 加 法其中 G关于运算 为“融洽集”_ 。 （写出所有“融洽集” 的序号）答案 11、 （ 2006 江西卷）已知复数 z 满足（ 33i）z3i ，则 z（ ）A 32i B. 4i C. 32i D. 34i【解析】 3312iiz（ ） 故选 D。答案 D1
20、2、 （2006 全国卷 I）如果复数 2()mi是实数，则实数 m( )A 1 B 1 C 2 D 2【解析】复数 2()i=(m2m)+(1+m 3)i 是实数， 1+m3=0，m=1，选 B.答案 B二、填空题13、 （2008 上海 3）若复数 z 满足 (2)iz (i 是虚数单位)，则 z= 答案 1+i14、 （2008 北京 9）已知 2()ai，其中 i是虚数单位，那么实数 a 答案 115、 （2008 江苏 3） i表示为 bi,R，则 ab= 答案 116、 （2006 年湖北）设 x、 y为实数，且 iiyix31521，则 x+ y=_.【解析】由 iiyix31521知，()()()0i，即5()()()，即 (25)(415)xyxyi，故0,41.xy解得,5.xy4。答案 4三、解答题17、 （2006年上海）已知复数 w满足 i()23(4w为虚数单位） ， |2|5wz，求一个以,虚 数 为 复 数 的 乘 法z为根的实系数一元二次方程.解 方法一i3|i25z. 若实系数一元二次方程有虚根 iz，则必有共轭虚根 i3z. 10,6z，所求的一个一元二次方程可以是 0162x. 方法二 设 ibawR)(、ba2i34i，得 ,a ,1bi， 以下解法同方法一.i234,4)i1( ww
