1、1离散数学综合练习题一、判断下列命题是否正确如果正确，在题后括号内填“/”；否则，填“ ”（1）空集是任何集合的真子集 （ ）（2） 是空集 （ ）（3） （ ）a,（4）如果 ，则 或 （ ）BABa（5）设集合 ， ，则,321,321b（ ）,b（6）设集合 ，则,0,0,是 到 的关系 （ ）A2（7）关系的复合运算满足交换律 （ ）（8）设 为集合 上的等价关系, 则 也是集合 上的等价关系 21,A21A( ) （9）设 是集合 上的等价关系, 则当 时， ba,( ) ba（10）设 为集合 上的等价关系, 则21,( )2121（11）集合 A上的任一运算对 A是封闭的 （ ）
2、（12）设 A是集合， ， ，则 是可结合的 （ ）:ba（13）设 是群如果对于任意 ，有,GG,22)(ba则 是阿贝尔群 （ ）,（14）设 a是群 的元素，记,|yayH且则 是 的子群 （ ）,（15）是格 （ ）（16）设 a，b 是格 的任意两个元素，则,L （ ）b（17）设 是布尔代数，则 是格 （ ）,B,B（18）设集合 ，则 是格 （ ）A,Aa（19）设 是布尔代数，则对任意 ，有, , （ ）b（20）设 是布尔代数，则对任意 ，都有 ，使得, Bb （ ）0,1a（21）n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为 1. （ ）2（22）在有向图中，结点 到结点 的有
3、向短程即为 到ivj jvi的有向短程 （ ）（23）强连通有向图一定是单向连通的 （ ）（24）不论无向图或有向图，初级回路一定是简单回路 （ ）（25）设图 G是连通的，则任意指定 G的各边方向后所得的有向图是弱连通的 （ ）（26）设 A是某个无向图的邻接矩阵，则 ( 是 的转置TA矩阵) （ ）（27）设有向图 D的可达矩阵为10P则 是单向连通的 （ ）G（28）有生成树的无向图是连通的 （ ）（29）由 r棵树组成的森林的结点数 n与边数 m有下列关系：m=n-r. （ ）（30）如果有向图 D仅有一个结点的入度为 0，其余结点的入度都为 1，则 D是有向树 （ ）（31）“如果
4、872，则三角形有四条边”是命题 （ ）（32）设 都是命题公式，则 也是命题公式 （ ）QP, QP（33）命题公式 的真值分别为 0，1，则 的真值为 0（以上是在对 所包含的命题变元的某个赋值下） （ ）,（34）逻辑结论是正确结论 （ ）（35）设 都是谓词公式，则 也是谓词公式 （ ）BABA（36）设 都是谓词公式， ，则 是永真式 （ ）, （37）设 都是命题公式，则C)()(C也是命题公式 （ ）（38）命题公式 的真值分别为 0，1，则 的真值为 0QP, QP（以上是在对 所包含的命题变元的某个赋值下） （ ）（39）设 是个体域中某个元素，则c)()()(cxx其中 都
5、是谓词 （ ）,（40） （ ）,yAy二、填空题（1）设 有 个元素，则集合 的幂集 中有 个元素。An)(P（2）设 ，则 = .,A2（3）设集合 中元素的个数分别为 ， ，且 ，B5#7B9)(#BA则集合 中元素的个数 . )(#3（4）设集合 ，4,10|ZxxxA的 倍 数 ，是，则 中元素的个数为 .5,10|ZxB的 倍 数 ，是 BA(5)设 为集合 上的二元关系, 则 .221(6)集合 上的二元关系 为传递的充分必要条件是 (7)设 ： 称 为母亲， ： 称 为父亲，则 ： ,1ab2bc21(8)设 为自然数的集合，“ ”为自然数的小于等于关系， 的子集 ，则NN9,
6、75A的下确界为 ，下确界为 ,A(9)设 10人集合 赵茵，钱小滨，孙丽春，赵萍，钱浩，李靖华，李秀娟，钱钰，E李惠芝，李莉上的同姓关系为 ，则等价类赵= ，钱= ，(10)设 , 是 上的包含于关系，,则有baA2= .(11)设 为非空有限集，代数系统 中， 对运算 的单位元为 ，零S),(SP)(S元为 .(12)循环群 的生成元为 .3,I(13)循环群 的所有子群为 .6(14)代数系统 中（其中 为整数集合，+为普通加法），对任意的 ，其,ZZIx.1x(15)在整数集合 上定义 运算为 ，则 的单位元为 .ba2,Z(16)设 ,在代数系统 中， 的单位元为10,432,Tmx
7、,TaT，可逆元为 .(17)设 是群，则对于任意的 ，方程 和 有唯一解。GGb(18)设 是群，对任意 ，如果 ，则 ., ca, ,ca(19)设 是群， 为单位元，若 元素 满足 ，则 . e2(20)在整数集合 上定义 运算为 ，则 的单位元为 .Zb,Z(21)设 为树， 中有 4度，3 度，2 度分支点各 1个，问 中有 EVT,TT片树叶。(22)为了从（n，m）连通无向图得到一棵生成树，必须删除 G的 条边 (23)设树 T中有 7片树叶，3 个 3度结点，其余都是 4度结点，问 T中有 个 4度结点。 (24)无环有向图的关联矩阵的所有元素之和为 (25)n阶完全图的任意两
8、个不同结点的距离都为 (26)图 为 阶无向完全图，则 共有 条边。GnG(27)设 为 图，则图中结点度数的总和为 。),(28)设图 有 6结点，若各结点的度数分别为：1，4，4，3，5，5，则 共有 G条边。(29)无向图 是由 棵树组成的森林，至少要添加 条边才能使 成为一)2(k棵树。(30)在任何图 中，奇数结点必为 个。EV,(31)设 天气很冷， 老王还是来了，则命题“虽然天气很冷, 但老王还是来了”符:p:q号化为 .4(32)设 天下雨， 我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨, 我就骑自行车上班”:p:q符号化为 .(33)设 经一事, 长一智，则命题“不经一事, 不长一智
9、”符号化为 . (34)设 的真值为 0， 的真值为 1，则命题公式 的真值为 .r )(rqp(35)设 的真值为 0， 的真值为 1，则命题公式 的真值为 .,s, )s(36)由 个命题变项可以组成 个不等值的命题公式。n(37)设个体域 ，公式 在 上消去量词后应21naA)(xFA为 .(38)设 是自然数， 是奇数， 是偶数，则命题“任何自然数不xN:)(xF:)(G:是奇数就是偶数” 符号化为 .(39)设 是素数， 是偶数， ，则命题“2 既是偶数又是素数”符号FG2化为 .(40)设 是金子， 是发光的，则命题“金子是发光的, 但发光的不一定x:)(x:)(是金子”符号化为
10、.三、选择题（每题后面有四个选项，四个选项中只有一个是正确的，请将正确的所对应的字母填在括号内）（1）设 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ ）RA. B xx且,0|2 Rxx且,09|2C. D. 且1且1（2）设 为集合，若 ，则一定有 （ ）BA, A. B C. D. ABA（3）下列各式中不正确的是 （ ）A. B C. D. ,（4）设 ，则下列各式中错误的是 （ ）,aA. B C. D. A2A2Aa2Aa2（5）设 ， ， ，则 为 （ ）,1cb,dC,)(CBA. B cc,1C. D. , ,（6）设 ， ，则 的恒等关系为 （ ）03,A. B ,1,b3,1
11、,0,C. D. 0,b（7）集合 上的二元关系 ，则 的,2A ,|),(Ayxxy且性质为 （ ）A. 自反的； B对称的； C. 反对称的； D. 反自反的.（8）设 上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ ）cba,A. ab,1B ,2C. c,3D. a,45（9）设 为集合 上的等价关系，对任意 ，其等价类 为 （ ）AAaaA. 空集； B非空集； C. 是否为空集不能确定； D. .|Ax（10）映射的复合运算满足 （ ）A. 交换律 B结合律 C. 幂等律 D. 分配律（11）在整数集 上，下列哪种运算是可结合的 （ ）ZA. B ba ,maxbC. D. 2|（12）设
12、集合 ，下面定义的哪种运算关于集合 不是封闭的10,43,A A（ ）A. maxyyB ,inC. ，即 的最大公约数GCDx,D. ，即 的最小公倍数,LM（13）下列哪个集关于减法运算是封闭的 （ ）A. （自然数集）； B ；N)(|2整 数 集IxC. ； D. .|12Ix是 质 数（14）设 是有理数集，在 定义运算 为 ，则 的单位元Qaba,Q为 （ ）A. ； B ； C. 1； D. 0ab（15）下列代数系统 中，哪一个不构成群 （ ）,GA. 是模 11乘法；,10B. 是模 3加法；2C. 普通加法；),(有 理 数 集QD. 普通乘法.,（16）循环群 的生成元为
13、 1和 2，它们的周期为 （ ）3IA. 5 B6 C. 3 D. 9（17）循环群 的所有子群为 （ ）5,A. B 5,I 5,0C. 和 D. 5,0（18）循环群 的所有生成元为 （ ）ZA. 1，0 B-1，2 C. 1，2 D. 1，-1（19）有限布尔代数的元素个数必定等于 （ ）A. ； B ； C. ； D. .n2nnn4（20）在下面偏序集的哈斯图中，哪一个是格 （ ）6A B C D（21）仅由孤立点组成的图称为 （ ）A. 零图； B平凡图； C. 完全图； D. 多重图.（22）仅由一个孤立点组成的图称为 （ ）A. 零图； B平凡图； C.多重图； D. 子图.（
14、23）在任何图 中必有偶数个 （ ）GA. 度数为偶数的结点； B度数为奇数的结点； C. 入度为奇数的结点； D. 出度为奇数的结点.（24）设 为有 个结点的无向完全图，则 的边数为 （ ）nGA. B C. D. )1()1(2)1(n2)1(n（25）图 和 的结点和边分别存在一一对应关系是 （同构）的 （ ） A. 充分条件； B必要条件；C. 充分必要条件； D. 既不充分也不必要条件.（26）给定下列序列，哪一个可构成无向简单图的结点度数序列 （ ）A. B)3,21,( )2,1,(C. D. 0 543（27）在有 个结点的连通图 中，其边数 （ ）nGA. 最多 条； B至
15、少 条；nC. 最多 条； D. 至少 条.（28） 是无向图 的关联矩阵， 是 中的孤立点，则mnijMEV, VviG（ ）A. 对应的一行元素全为 0； B 对应的一行元素全为 1；iv iC. 对应的一列元素全为 0； D. 对应的一列元素全为 1.（29）任何无向图 中结点间的连通关系是 （ ）GA. 偏序关系； B等价关系；C. 既是偏序关系又是等价关系； D. 既不是偏序关系也不是等价关系.（30）有向图 ，其中 ，EV, ,fedcba ,dacbaE，则有向图 是 （ ）,efdA. 强连通图； B单向连通图；C. 弱连通图； D. 不连通图.（31）下面哪个联结词不可交换
16、（ ）A. ； B ； C. ； D. .（32）命题公式 是 （ ）qp)(A. 矛盾式； B非永真式的可满足式；C. 重言式； D. 等价式.（33）下列哪一组命题公式是等值的 （ ）A. ， ； B ， ；qp)(pq)(qC. ， ； D. ，)()(qp（34）下面哪一个命题是假命题 （ ）A. 如果 2是偶数，那么一个公式的析取范式唯一；B如果 2是偶数，那么一个公式的析取范式不唯一；C. 如果 2是奇数，那么一个公式的析取范式唯一；D. 如果 2是奇数，那么一个公式的析取范式不唯一.7（35）设论域为整数集，下列公式中哪个值为真 （ ）A. ； B. ；)0)(yx )0)(yx
17、C. ； D. .（36）设谓词 是奇数， 是偶数，谓词公式 在哪个论域中P:xQ:)( )(xQP是可满足的 （ ）A. 自然数； B整数； C. 实数； D. 以上均不成立.（37）命题“没有不犯错误的人”符号化为(设 是人, 犯错误) （ ）xA:)(B:(A. ； B. ；)()xAx)(xC. ； D. .（38）设个体域 ，公式 在 上消去量词后应为 （ ）,ba)(SPA. ； B. ；)(SP )()(babaC. ； D. .a（39）在谓词演算中，下列各式中，哪一个是正确的 （ ）A. ； B. ；),()(,()( yxAyxA ),()(,()( yxAyxAC. ；
18、D. .B（40）“学习有如逆水行舟，不进则退”。设 学习如逆水行舟， 学习进步， 学习退:p:q:r步。则命题符号化为 （ ）A. ； B ； )(rqp)(rqC. ； D. .四、解答题1. 设 上的关系Adcba, , cdab试 （1）写出 的关系矩阵；（2）验证 是 上的等价关系；（3）求出 的各元素的等价类。2. 设 ， 上的整除关系，画出 的哈斯图。24,186,3AA是,A3. 设集合 , 是 上的整除关系,3,画出 的哈斯图；,4. 设集合 , 是 上的整除关系，试求：654,321AA（1） 集合 的最大元，最小元（2） 子集 和 的上界、下界、上确界和下确界。,325.
19、 在下面的无向图 中，回答下列问题G8aedbc（1）写出 之间的所有初级通路；da,（2）写出 之间的所有短程，并求 ；),(da（3）判断无向图 是否为欧拉图并说明理由。G6. 下列各图是否为欧拉图，是否为哈密尔顿图？为什么？ab1v2v3vcde456fghi7v8v9v(1) (2)7. 下列图形中最少需添加几条边才能成为欧拉图a ab e b dc d c（1） （2）8. 有向图 如下图所示D v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 9(1) 求 的邻接矩阵 ；DA(2) 求 中长度为 4的通路数和回路数，并找出 中从 到 长度为 4的所有通路。D1v4(
20、3) 是哪类连通图？9. 设有向图 ， ，其邻接矩阵为EV, ,54321v0100A(1)画出有向图 ；D(2) 中长度为 4的通路有多少条？其中有多少条为回路？(3) 是那类连通图？10. 设连通图 如下图所示，求它的一棵生成树Gab ce f答案不唯一。五、构造下列推理的证明1. 证明 prqp,),(2. 证明 qtstrq,3. 证明 r,),(4. 证明 )()()()( xRQxxCRxWCx 5. 构造下列推理的证明：每个学术委员会的成员都是专家并且是大学生，有些成员是青年人，所以有些成员是青年专家。6.“有些病人相信所有的医生，病人都不相信骗子，所以医生都不是骗子。”在一阶逻
21、辑中证明以上推理是正确的。六、证明题101. 设 为集合 上的等价关系, 试证 也是集合 上的等价关系。21,A21A2. 设 为无向连通图 中任意两个顶点，证明：若 ，则存在顶点 ，使得wuG2),(wudv),(),(),(wvdu3. 证明下面四个矩阵关于矩阵乘法运算构成群。， ， ， 1010104. 设 是一个群，试证 是交换群 当且仅当对任意的 ,有 ,GGGba,.22)(ba5. 设 是群 的元素，记 ，证明 是a, |yayH且 ,H的子群,6. 设 是一个群，取定 ，定义,GGu， ba1*a,证明 是一个群。,11离散数学综合练习题答案一、 判断下列命题是否正确（1）错误
22、； （2）错误； （3）正确； （4）错误； （5）错误；（6）正确； （7）错误； （8）正确； （9）正确； （10）错误；（11）正确；（12）正确；（13）正确；（14）正确；（15）正确；（16）正确；（17）正确；（18）正确；（19）正确；（20）正确；（21）正确；（22）错误；（23）正确；（24）正确；（25）正确；（26）正确；（27）正确；（28）正确；（29）正确；（30）错误；（31）正确；（32）错误；（33）错误；（34）错误；（35）错误；（36）正确；（37）正确；（38）正确；（39）错误；（40）错误.二、 填空题（1） ； （2） ； （3）3； （4
23、）40； (5)n , 12(6) ； (7) 称 为外祖父； (8)5，9； ac(9)赵= 赵茵，赵萍，钱= 钱小滨，钱浩，钱钰，孙= 孙丽春，李= 李靖华，李秀娟，李惠芝，李莉.(10) , AbAaAb(11) ； (12) 1和 2；S(13) ， ， ， ；6,06,306,406,I(14) ； (15) 2； (16) 1，1； (17) ， ； (18) ；x bxyc(19) ； (20) 0； (21) 5； (22) m-n1； (23) 1； (24) 0； (25) 1；e(26) ； (27) ； (28) 11； (29) ； (30) 偶数；)1(nmk(31
24、) ； (32) ； (33) ； (34) 0； (35) 0；qpqpqp(36) ； (37) ； (38) n2 )()(21naFaF；)()(xGxN(39) ； (40) .)()(xGx三、 选择题（1） A； （2） C； （3） C； （4） B； （5） B；（6） A； （7） B； （8） D； （9） B； （10）B；（11）B； （12）D； （13）B； （14）D； （15）D；（16）C； （17）C； （18）D； （19）C； （20）A；（21）A； （22）B； （23）B； （24）C； （25）B；（26）B； （27）B； （28）A； （2
25、9）B； （30）C；（31）B； （32）C； （33）B； （34）A； （35）A；12（36）D； （37）D； （38）B； （39）B； （40）B.四、 解答题1. 解 （1） 的关系矩阵为10M（2）从 的关系矩阵可知： 是自反的和对称的。又由于 M 101010所以 是传递的。因为 是自反的、对称的和传递的，所以 是 上的等价关系。A（3） ，,ba,dc2. 解：248 12 4 62 33. 解： 32 24 16 12 8 62 34. 解：由于 是 上的整除关系，所以 是 上的偏序关系， 的AA,A哈斯图为4 6132 3 51（1）集合 的最大元：无，最小元：1A（
26、2）子集 上界 下界 上确界 下确界5,321无 1 无 166 1 6 15. 解：（1） 之间的所有初级通路共有 7条，分别为da,， ， ， ， ， ，ecebabcdeabcd（2） 之间的长度最短的通路只有 1条，即 ，因而它是 之间a,唯一的短程， 2),(（3）由于无向图 中有两个奇度顶点 ，所以无向图G3)g(,)(没有欧拉图回路，因而不是欧拉图。G6. 解：图（1）中各顶点的度数为， ， ， ， ，4)deg(a)deg(b4)deg(c4)e(d)e(， ， ，2f h2i由于图（1）中各顶点的度数均为偶数，所以图（1）为欧拉图。回路 为经过图（1）中每个结点一次且仅一次的
27、回路，所以回路bihc为哈密尔顿回路，因此图（1）是哈密尔顿图。ief图（2）中各顶点的度数为， ， ， ， ，)dg(v4)deg(2v3)deg(v4)deg(v5)deg(v， ， ，4674829由于图（2）中有两个奇度顶点，所以图（2）存在欧拉图通路，但是没有欧拉图回路，因此图（2）不是欧拉图。回路 为经过图（2）中每个结点一次且仅一次的回路，所以回路356987412vv为哈密尔顿回路，因此图（2）是哈密尔顿图。35698741v7. 解 由于(1)只有两个奇度结点，b,e. 因此，要由(1)得到一个欧拉图，必须使它们的度数都为偶数。最少需添加一条边才能使(1)为欧拉图。由于(2)
28、有 4 个奇度结点，因此，要由(2)得到一个欧拉图，必须使它们的度数都为偶数。最少需添加两条边才能使(2)为欧拉图。例如，可在(1)中添加边(b,e), 在(2)中添加边(a,b),(c,d)a ab e b dc d c14（1） （2）8. 解：(1) 求 的邻接矩阵D；01A(2) , , 10322A013423A104624A中长度为 4的通路数为 ，其中对角元素之和为 3， 中长度为 4的回路有D641)(ijiaD3条。由于 中 ，所以 中 到 长度为 4的通路有 4条。即 ，A)(1aD1v4 61e， ， ，其中 为简单通路。674e652653e652e(3) 由于2084
29、32AB由 可知道 是单向连通图。D9. 解：(1) 有向图 为4v3v51v2v(2) 由于040044A中长度为 4的通路数为 32。因对角元素之和为 0，故 中无长度为 4的回路。DD(4) 从图可得 的可达矩阵为1511P从 可知 是强连通的。PD10. 解：ab ce f五、 构造下列推理的证明1. 证明： 前提引入；r 前提引入； q 析取三段论； 前提引入；)(p 置换； 析取三段论。2. 证明 前提引入；t 前提引入；s 拒取式； 前提引入；r 假言推理； 前提引入；p 拒取式； 前提引入；q 析取三段论。3. 证明 前提引入；ps 前提引入； 析取三段论； 前提引入；)(rq
30、 假言推理； 前提引入； 假言推理。r164. 证明： 前提引入；)()(xQCx EI； c 化简； 前提引入；)()(RW UI； 假言推理；c 化简；)(R 化简；Q 合取引入(10) EG )()(xx5. 解：设 是学术委员会的成员， 是专家， 是大学生，F: xG:)(xH:)(是青年人。R:(前提 ),()( RFHG结论 xRx证明： 前提引入；)()(F EI ； c 前提引入；)(xx UI；)()(HG 化简； 假言推理；c 化简；)(R 化简； 合取引入)(F(10) EG )(xRGx6. 解：记 是病人，:是医生，是骗子，H)(相信 。xyL:,则上述推理符号化为前
31、提： ),()()(yxLGF结论： x证明： 前提引入；),()()( 存在量词消去规则；yaya 化简规则；F 前提引入；),()()(xLHx17 全称量词消去规则；),()()(yaLyHaF 假言推理规则；,y 全称量词消去规则； 置换；)(),(L 化简规则；,yaG（10） 全称量词消去规则；y（11） （10）假言三段论规则；)()(H（12） （11）全称量词引入规则；xx六、 证明题1. 证明：由于 是自反的，所以对任意 , , 因而21,Aa21,a，即 是自反的。,a21若 ，则 ,由于 是对称的，所以,b 21,bb, 从而 ，即 是对称的。1,a1若 ，则 ,21,
32、c 2, cbaca由于 是传递的，所以 , 从而 ，即2 21, 1是传递的。1由于 是自反的、对称的和传递的，所以 是等价关系。112. 证明：由于 的连通性， 之间必存在短程 ，则 ，Gwu, )2(,12lwvuPl lwud),(取 为 上除 外的任意一点 ，都有 之间的短程为 ，vPu, )1(livi i, ivP21之间的短程为 .wi, li2否则，若 之间存在比 短的短程 ，则iv, iP21 i21比 短，这与 为 之间的短程矛盾。l121 u,同理可证： 为 之间的短程。wvli i,因而 等于 的长度加上 的长度，而 的长度加上 的长度为 的),(),(dvui 12
33、1P2P长度 ，即为 ，所以 .l ),(),(dlii 3. 证明：令 为由上述四个矩阵组成的集合， 是矩阵乘法运算，容易验证上述四个矩阵关A于矩阵乘法运算是封闭的。(1)由矩阵乘法运算知识知， 是可结合的；(2)任取矩阵 ，由于ba0， 01 ba01所以矩阵 是运算 的单位元。0(3)由于18， ，101 1010， ，所以 中每个元素都是可逆的。A由上面的 1，2，3 知， 是群。,A4. 解：充分性若在群 中，对任意的 ,有 .,GGba22)(ba则 )()(从而 是一个交换群。,必要性若 是一个交换群，对任意的 ,有 ，则GGba, aba)()(即 .22)(ba5. 证明：由于对任意的 ，有Hyx,aya所以 11)()( xaya1)(即 ，由子群的判定定理知 是 的子群。Hyx1 ,H,G6. 证明 显然，*是 上的二元运算。G先证结合律成立。 ，有cba,ucba11)()(*)(即运算是可结合的.由于 ，有Gaau1u*故 是运算*的单位元.最后证明 ， 是 在 中的逆元。由于1,*G19)()(*111 uauau)auaua111(*)( )因此 是一个群 .,*G
