1、微积分产生的背景,微积分产生的社会背景,从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。科学对数学提出的种种要求，最后汇总成4个核心问题： 运动中速度与距离的互求问题、求曲线的切线问题、求长
2、度、面积、体积、与重心问题、求最大值和最小值问题。,运动中速度与距离的互求问题,已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或者反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度，或已知物体速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的移动距离。,求曲线的切线问题,物体作曲线运动时，在每一瞬间的速度方向是该曲线相应的点的切线的方向；在光学中对光的折射和反射的研究要求出界面的法线方向，法线方向是由切线方向决定的。,求长度、面积、体积、与重心问题,这些问题以计算行星或曲线运动的物体走过的路程为背景的；求曲线围成的面积，以计算行星扫过的面积为代表；求物体的重心、
3、求两个天体之间的引力等问题。,求最大值和最小值问题,这与天文学和力学都有关，例如求行星运行的近日点和远日点，抛射体的最大射程和最大高度等问题都可归结为这种类型的问题。,微积分产生的数学背景,数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。 恩格斯 解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台.,微积分思想的萌芽,古希腊罗马微分、积分思想的发源地 阿拉伯和欧洲中世纪无限和
4、运动的研究 古代中国面积、体积与极限思想的丰富,古希腊罗马微分、积分思想的发源地,原子论朴素的微分和积分思想 极限法的早期形式穷竭法 芝诺的拟难,原子论朴素的微分和积分思想.,极限法的早期形式穷竭法,芝诺的拟难,阿拉伯和欧洲中世纪无限和运动的研究,代数和三角学的确立 对无限和运动的研究,代数和三角学的确立,从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯
5、人”的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献.,对无限和运动的研究,这一时期，除了“印度阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角学已经确立以及数学符号化已有端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最
6、多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限”，这表明了他把无限看作一个过程的潜无限思想.14世纪英国很有声誉的数学家苏依塞斯的重要著作算术中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域.他所使用的“流数”、“流量”等概念，被300年后的牛顿所采用.在无限问题上他指出，要解决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.,古代中国面积、体积与极限思想的丰富,简单几何图形面积和体积的计算. 庄子和墨经中的
7、极限思想 极限思想的运用割圆术,简单几何图形面积和体积的计算,在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一.计算面积和体积可以追溯到原始农业社会，根据我国甲骨文记载，约在300年以前的殷代，就把耕种的土地分成方形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上逐渐形成的.,庄子和墨经中的极限思想,极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没有极限概念就没有现代的微积分.战国时代的庄子天下篇中，有不少极限思想，其中最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远达不
8、到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念.墨经也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分.该书说，“穷，或有前，不容尺也”，意思是有穷就是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”，即有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无穷.与此同时墨经也有丰富的微分思想，比如：“端，体之无厚而最前者也”；“端，无间也”；“非半则不动，说在端”.第一句话就是说，“端”就是不可度量且位于物体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端.这是对构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概念.,极限思想的运用割圆术.,我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术”，他从圆内接正六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，直到正3072边形，用这个正3072边形面积来逼近圆面积，就得到的较精确的值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.,谢谢,
