1、海军航空工程学院应用数学研究所时宝,微积分的发展,ArchimedesNewton和Leibniz（1900多年）,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,微积分的发展,微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继Euclid几何后，全部数学中的最大的一个创造 从微积分成为一门学科来说，是在
2、17世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,微积分的发展,BC3世纪，Archimedes在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到17世纪，有许多科学问题需要解决，这也就成了促使微积分产生的因素。大
3、约有4种主要类型的问题：,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,微积分的发展,1.研究运动时直接出现的，也就是求即时速度的问题； 2.求曲线的切线问题； 3.求函数的最大值和最小值问题； 4.求曲线长、曲线所围面积、曲面所围体积、物体重心、一个物体作用于另一物体上的引力。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,微积分的发展,17世纪的许多数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如Fermat（1601-1665，1629年解决极值问题、给出作切线的方法）、Descartes（1596-1650，1637年提出变量的概念和坐标系）、Barrow（1630-1
4、677，Newton的老师，提出“微分三角形”的概念）、Roberval（1602-1675，用运动观点作切线）、Kepler（1571-1630，酒桶容积“量积术”）、Cavalieri（1598-1647，”不可分原理”）等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,微积分的发展,17世纪下半叶，在前人工作的基础上，Newton（1642-1727，三大数学家之一）和Leibniz（1646-1716）分别独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。 他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切
5、线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题） Newton和Leibniz建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。Newton研究微积分着重于从运动学来考虑，Leibniz却是侧重于几何学来考虑,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,微积分的发展,微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，Newton和Leibniz的工作也都是很不完善的。他们在
6、无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。Newton的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；Leibniz的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第2次数学危机的产生。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,微积分的发展,直到19世纪初，Cauchy为首，对微积分理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过Weierstrass进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Bonaventura Francesco Cavalieri,2019/1/3,海军航空工
7、程学院应用数学研究所时宝,Bonaventura Francesco Cavalieri,生: 1598年，意大利Milano 卒: 1647年11月30日，意大利Bologna Cavalieri是Achimedes之后在钻研几何学的深度和广度方面绝无仅有的人。Galileo 几何图形是由无数多个维数较低的不可分量组成的Cavalieri,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Bonaventura Francesco Cavalieri,Cavalieri在少年时到了Milano的修道院 1616年，他到了Pisa修道院 Euclid的工作和在Milano时经Borrome
8、o大主教的引见与Galileo见了面使他对数学产生了兴趣，Borromeo大主教也看到了他的数学才能 在Pisa，跟Pisa大学的Castelli学习几何，经Castelli介绍认识了Galileo，并自称是Galileo的学生,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Bonaventura Francesco Cavalieri,1629年，经Galileo的大力推荐，Cavalieri在Bologna大学得到数学职位，而此时，他已经发展在积分发展过程具有重要意义的不可分量的方法，并计算了xn从0到a的积分为an+1/(n + 1) 1635年，他出版的书Geometria i
9、ndivisibilis continuorum nova是Archimedes的穷竭法和Kepler的无穷小几何量理论的发展，使得Cavalieri简单快速地求得各种几何图形的面积和体积 不可分量的方法的基础不是很坚实，经常受到攻击，Cavalieri进一步改进并出版Exercitationes geometricae sex，它成为17世纪的主要数学读物,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Bonaventura Francesco Cavalieri,Cavalieri在Directorium Generale Uranometricum中引进对数，他给出的对数表已经包
10、括了三角函数的对数 Cavalieri与很多数学家通信，包括Galileo、 Mersenne、Torricelli和Viviani等，其中与Galileo通了112封信 我国数学家祖暅早1000年就得到了下面的Cavalieri原理，应称为祖暅原理，据此， Cavalieri证明了圆锥体积为外接圆柱体积的1/3,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Bonaventura Francesco Cavalieri,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Evangelista Torricelli,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Evange
11、lista Torricelli,生: 1608年10月15日，Roma 卒: 1647年10月25日，意大利Florenza 几何学中的卓越人物、完成了这一领域中义勇军任务的开拓者和倡导者是Cavalieri和Torricelli，后来别人的进一步发展都得益于他们的工作Leibniz,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Evangelista Torricelli,1624年，Torricelli进入Faenza的学院，然后进入Roma的Collegio Romano，在这里从师于Sapienza大学的Castelli，Sapienza是现在Roma大学的一个建筑 1626
12、-32年，Torricelli为Castelli的秘书，以后的9年里先后为很多教授的秘书 1641-42年，Torricelli为Galileo的秘书，并继任在Florenza的Grand Duke Ferdinando II of Tuscany的宫廷数学家直到去世,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Evangelista Torricelli,研究了变速运动的速度问题，并得到速度是路程的导数（Barrow也得到这个结果，并且还看到微分与积分互为逆运算，可惜的是没有给出微积分学基本定理，但Newton是按照这个思路给出微积分学基本定理的） Torricelli最先发现气压
13、计原理，他的同事Viviani也做了相同的实验 Torricelli证明了液体通过一个孔的流量正比于液体的高度的平方根Torricelli定理 Torricelli发现了摆线的弧长 使用无穷小方法决定了三角形内一点与三个顶点的距离之和的最小值（等角心）,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,生: 1596年3月31日，法国Descartes 卒: 1650年2月11日，Stockholm Descartes首先是一位杰出的近代哲学家。他是近代生物学的奠基人、第一流的物理
14、学家，同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富有的律师，母亲在他1岁时就去世了 数学的转折点是Descartes的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了Engeles 我思故我在Descartes,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,1604年，Descartes在Anjou的La Flche学院接受教育，一直到1612年，学习逻辑和经典的Aristotel的理论，也学习数学 由于他的身体不好，学校特别准许他每天11点起床，这个习惯一直到老 1616年，Descartes在Poitier
15、s大学得到法律学位 Descartes大学毕业后去Paris当律师，在那里他花了1年的时间，跟两位神甫一起研究数学。其后9年中，他曾在军队中服役，但他一直研究数学。在荷兰Breda的招贴牌有一个挑战性的问题，被他解决了。这使他自信有数学才能，从而开始用心于数学,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,1618年，学习数学和力学，La Gomtrie是他的最重要的工作，回到Paris后，他为望远镜的威力所激动，又一心钻研光学仪器的理论和构造 Scott总结了四条重要性： 不变量理论的第一步 使代数进入几何成为可能 代数进入几何 不仅是几何是否可解，而且没
16、有代数根本就不可能 1628年他32岁时移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了20年，写出了著名的作品,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,1637年（明崇祯10年），Descartes写了更好地指导推理和寻求科学真理的方法论（Discours de la mthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vrit dans les sciences），这是一本文学和哲学的经典著作，包括3个著名的附录，其中包括La Gomtrie，La Gomtrie是他所写的唯一一本数学书，他关于坐
17、标几何的思想，就包括在它的这本La Gomtrie中 有种种原因，使坐标几何的思想用代数方程表示并研究曲线的思想，在当时没有很快地被数学家们热情地接受并利用,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,一个原因是因为Fermat的轨迹引论到1679年才出版，而Descartes的La Gomtrie中对几何作图题的强调，遮蔽了方程和曲线的主要思想 坐标几何传播速度缓慢的另一个原因，是Descartes的La Gomtrie写得使人难懂，书中许多模糊不清之处，是他故意搞的 影响坐标几何被迅速接收的原因，还有一个是许多数学家反对把代数和几何结合起来，认为数量运
18、算和几何量的运算要加以区别，不能混淆。再一个原因是当时代数被认为是缺乏严密性的,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,1649年，瑞典女王Christina劝说Descartes到了Stockholm，然而，女王每天早上5点要画切线，这样，Descartes打破了每天11点起床的习惯，几个月后，死于肺炎 解析几何出现以前，代数已有了相当大的进展，因此解析几何不是一个巨大的成就，但在方法论上却是一个了不起的创建,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,1、Descartes希望通过解析几何引进一个新的方法，他的
19、成就远远超过他的希望。在代数的帮助下，不但能迅速地证明关于曲线的某些事实，而且这个探索问题的方式，几乎成为自动的了。这套研究方法甚至是更为有利的。用字母表示正数、负数，甚至以后代表复数时，就有了可能把综合几何中必须分别处理的情形，用代数统一处理了。例如，综合几何中证明三角形的高交于一点时，必须分别考虑交点在三角形内和三角形外，而解析几何证明时，则不须加区别,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,2、解析几何把代数和几何结合起来，把数学造成一个双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目的通过代数来达到。另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观
20、地掌握这些概念的意义。又可以得到启发去提出新的结论（例如，Descartes就提出了用抛物线和圆的交点来求3次和4次方程的实根的著名方法），Lagrange曾把这些优点写进他的数学概要中：“只要代数和几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄。但当这两门科学结成伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，就以快速走向完善。”,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Ren Descartes,的确，17世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的 3、解析几何的显著优点在于它是数量工具，这是科学发展久已迫切需要的。1
21、7世纪一直公开要求着的，例如当Kepler发现行星沿椭圆轨道绕着太阳运动，Galileo发现抛出去的石子沿着抛物线的轨道飞出去时就必须计算这些椭圆和炮弹飞时所画的抛物线了。这些都需要提供数量的工具，研究物理世界，似乎首先需求几何。物体基本上是几何的形象，运动物体的路线是曲线，研究它们都需要数量知识。而解析几何能使人把形象和路线表示为代数形式，从而导出数量知识,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Johannes Kepler,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Johannes Kepler,生: 1571年12月27日，德国Weil der Stadt 卒
22、: 1630年11月15日，德国Regensburg Kepler在积分学方面初步的一些尝试，是作为测量酒桶容积的“量积术”，也就是对表面为曲面的物体体积的计算方法进行了系统的阐述von Neumann,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Johannes Kepler,1588年，Kepler进入Gttingen大学 1591年，Kepler获硕士学位 Kepler以他分别于1609（明万历37年）和1619年（明万历47年）发现并以他的名字命名的行星三大运动定律著称（椭圆轨道定律、相等面积定律、调和定律），其中尽管有两处错误却得到了椭圆扇形面积的正确值 他分别于1604和
23、1611年在光学领域做出了重要工作,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Johannes Kepler,1615-16年，他得到求旋转体体积的方法，这是对微积分发展的重要贡献 1619年发现了两个正多面体,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Pierre de Fermat,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Pierre de Fermat,生: 1601年8月17日，法国Beaumont-de-Lomagne 卒: 1665年1月12日，法国Castres Fermat出身于商人家庭，学法律并以律师为职业，数学只是他的业余爱好（被誉为“
24、业余数学家之王”），虽然他只能利用闲暇时间研究数学，但他对数论和微积分做出了第一流的贡献，并同Pascal一同开创了概率论的研究工作，他和Descartes都是坐标几何的发明者,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Pierre de Fermat,Fermat的父亲是一个富有的皮革商和Beaumont-de-Lomagne的第二执政官 17世纪20年代后一半时间到Bordeaux之前在Toulouse大学学习，后在Bordeaux开始数学研究，他完成了关于最大值、最小值和切线的工作，由于切线工作，Lagrange认为他是微积分的发明者 1629年，他修复并重新写出来了Apol
25、lonius的Plane loci，他写了一本平面和立体的轨迹引论（1679年发表），书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法 他给出方程（用现在的写法就是）dx=by，并指出这代表一条直线。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Pierre de Fermat,他又给出d(a-x)=by，并指出它也表示一条直线。方程p2-x2=y2代表一个圆。a2+x2=ky2和xy=a各代表一条双曲线，x2=ay代表一条抛物线，而且Fermat确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式。他肯定地得到如下结论：一个方程，如果是1次的
26、就代表直线，如果是2次的就代表圆锥曲线 他推广了抛物线和双曲线的表达形式： 抛物线：y/a = (x/b)2 to (y/a)n = (x/b)m 双曲线：y/a = b/x to (y/a)n = (b/x)m,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Pierre de Fermat,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Pierre de Fermat,从Bordeaux到Orlans大学学习并得到民法学学位 从此以后，他一直在Toulouse或在家乡Beaumont-de-Lomagne及附近的Castres生活 1631年5月14日，Fermat担任议会议
27、员，1638年1月16日，又担任议会高级议员 1637年的Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam中引进了y=xn和y=x-n Fermat在Method for determining Maxima and Minima and Tangents to Curved Lines中统一了求切线和求极值的方法，这对Newton和Leibniz创立统一的微分法有很大启发,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Pierre de Fermat,1652年，担任法院高层职位 1653年，因瘟疫误传Fermat已死 Fermat从不喜欢发表自
28、己的工作，在公开发表的刊物上找到他的工作是困难的 他在通信中与Roberval和Pascal讨论积分法 与Descartes进行激烈的学术争论 由于Descartes的名气很大，使得Fermat从1643到1654年没有再和同行交流，但此时的工作重点是数论 Fermat最著名的工作是Fermat大定理：xn+yn=zn没有非零整数解（n2）,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Pierre de Fermat,Fermat在Diophantus的Arithmetica书的边上写上了：我已发现一个非常好的证明，但这个地方写不下了，这是他的儿子Samuel在1670年再版Diop
29、hantus的书Arithmetica时才发现的 我们有理由相信Fermat的证明是错的，虽然不能肯定 1993年6月，英国数学家Wiles宣布证明了Fermat大定理，但年底又撤回了宣布，1994年11月，Wiles又给出了改正了的证明，为此，Wiles获得1996年的Wolf奖和1998年的Fields奖 人们在300多年中，虽未能证明Fermat大定理本身，但却发展了交换环理论等其他理论，Hilbert称它为“会下金鸡蛋的老母鸡”,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研
30、究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,生: 1646年7月1日，德国Leipzig，书香门第 卒: 1716年11月14日，德国Hannover Leibniz是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和Newton同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,父亲：Friedrich Leibniz，Leipzig大学的道德哲学教授，在他年仅6岁时便去世了，给他留下了
31、丰富的藏书 母亲：Catharina Schmuck，律师的女儿，Friedrich Leibniz的第三任妻子,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,7岁时进入了Leipzig的Nicolai学校 12岁时有兴趣读他父亲的书，还学Aristotle的逻辑学 1661年，Leibniz进入Leipzig大学学习哲学和数学 1663年，获学士学位，论文是De Principio Individui 1663年暑假，Leibniz去了Jena大学，开始理解数学证明方法的重要性 1663年10月，Leibniz返回Leipz
32、ig开始攻读法学博士，获得哲学硕士学位，几天后，他的母亲去世了,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,1666年发表了第一篇论文Dissertatio de arte combinatoria，这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的鼻祖 Leipzig大学拒绝向Leibniz授予法学博士学位，Hegel认为，这可能是由于Leibniz哲学见解太多，审查论文的教授们看到他大力研究哲学，心里很
33、不乐意。他对此很气愤，于是毅然离开Leipzig而是去了Altdorf大学并于1667年2月得到法学博士学位，论文是De Casibus Perplexis（论身份） Leibniz获得博士学位后便投身外交界,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,从1671年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式 1672年，在出访Paris时，Leibniz受Pascal事迹的鼓舞，在Huygens的指导下钻研数学，并研究了Descartes、Fermat、Pascal
34、等人的著作 1673年4月19日，Leibniz被推荐为英国皇家学会会员，提交的论文是Essay dune nouvelle science des nombres，此时，他的兴趣已明显地朝向了数学，开始了对无穷小的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和Newton并蒂双辉共同奠定了微积分学,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,1673年（清康熙12年）底到1674年初，Leibniz发明了积分的一般变换法，包括链式法则、换元积分法和分部积分法 1675年11月21日，Leibniz给出导数的乘积法则 1676
35、年，他担任Hannover公爵Friedrich的法律顾问兼图书馆长，负责国际通信和充当技术顾问，Hannover成了他的永久居住地，秋，发现d(xn)=nxn-1dx 1679年12月，Hannover公爵Friedrich突然去世，其弟August继任爵位，Leibniz仍保留原职。新公爵夫人Sofia是他的哲学学说的崇拜者，“世界上没有两片完全相同的树叶”这一句名言，就出自他与Sofia的谈话,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,1700年被选为Paris科学院院士，促成建立了Berlin科学院并任首任院长（当
36、时全世界的四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、Roma科学与数学科学院、Berlin科学院都以Leibniz作为核心成员。）据传，他还曾经通过传教士，建议康熙皇帝在北京建立科学院,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,Newton通过Oldenburg给Leibniz写了一封信，花了较长时间才收到，信中列举了Newton的许多结果，但没有给出方法，Leibniz立即回了信，Newton没有认识到信件所花的时间，认为Leibniz有6个月的时间回信 Leibniz认识到必须尽快发表他自己的全部方法 他关于积分学的工作分
37、别于1684年和1686年以“calculus summatorius”的题目发表的，1690年，Jacob Bernoulli建议用“integral calculus”的题目 1676年10月24日，Newton写了第二封信，直到1677年6月，Leibniz才收到,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,这封信虽然很客气，但清楚地表达了Leibniz剽窃了自己的方法，Leibniz回信给出了包括复合函数的微分法的原理 Leibniz的另一个伟大的成就是二进制，1679年（清康熙18年）完成，但1701年才将文章Es
38、say dune nouvelle science des nombres送到Paris科学院 Leibniz的另一个工作是解线性方程组，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，1684年1月22日写的文章用了非常令人满意的符号和结果,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,1684年（清康熙23年），Leibniz在两年前在Leipzig创刊的Acta Eruditorum上发表了在数学史上第一篇公开发表的微积分学论文Nova methodus pro maximis et mini
39、mis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus 文章中已包含了熟悉的d符号，幂函数、乘积和商的导数的计算，然而没有给出证明，Jacob Bernoulli称它是不可思议的,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,1686年（清康熙25年） ，Leibniz在Acta Eruditorum上发表了处理积分的文章De geometria re
40、condita et analysi indivisibilium atque infinitorum，文章第一次出现积分符号 Newton的Philosophiae naturalis principia mathematica于第2年发表，他的De Methodis Serierum et Fluxionum是1671年完成的，但迟迟没有发表，所以才有了Newton-Leibniz论战,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,1691年（清康熙30年），Leibniz求解了分离变量方程和齐次方程，1694年，Joha
41、nn Bernoulli在Acta Eruditorum上对求解了分离变量方程和齐次方程做了更加完整的说明 1713年（清康熙52年） ，Leibniz在给Johann Bernoulli的信中给出了交错级数的判别法，即Leibniz判别法,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,Leibniz一生未婚，未当教授，平时从不进教堂，因此他有一个绰号Lovenix，即什么也不信的人。他去世时教士以此为借口，不予理睬，曾雇用过他的宫廷也不过问，无人前来吊唁。1793年，Hannover人为他建立了纪念碑；1883年，在Leip
42、zig的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕像；1983年，Hannover市政府照原样重修了被毁于二战中的“Leibniz故居”，供人们瞻仰。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Newton-Leibniz论战,微积分思想，最早可以追溯到Archimedes等人提出的计算面积和体积的方法。1665年，Newton创始了微积分，Leibniz在1673-1676年间也发表了微积分思想的论著。 以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。Cavalieri、Barrow、Wallis等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都
43、是孤立的，不连贯的。 只有Leibniz和Newton将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Newton-Leibniz论战,只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则 然而关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了100多年 实际上，Newton在微积分方面的研究虽早于Le
44、ibniz，但Leibniz成果的发表则早于Newton,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Newton-Leibniz论战,Leibniz在1684年10月发表在Acta Eruditorum上的文章Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus ，最早发表的微积分文献,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,
45、Newton-Leibniz论战,Newton在1687年出版的Philosophiae naturalis principia mathematica的第一版和第二版也写道：“10年前在我和最杰出的几何学家Leibniz的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了。） 因此，后来人们公认Newton和Leibniz是各自独立地创建微积分的。,2019/1/
46、3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Newton-Leibniz论战,Newton从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于Leibniz。 Leibniz则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是Newton所不及的。 Leibniz认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx表示x的微分，表示积分，dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Newton-Leibniz
47、论战,1713年，Leibniz发表了History and origin of differential calculus一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,在Leibniz从事学术研究的生涯中，他发表了大量的学术论文，还有不少文稿生前未发表。在数学方面，格哈特编辑的7卷本数学全书是Leibniz数学研究较完整的代表性著作。格哈特还编辑过7卷本的哲学全书。已出版的各种各样的选集、著作集、书信集多达几十种，从中可以看到Leibniz的主要学术成就。今天，还
48、有专门的Leibniz研究学术刊物Leibniz，可见其在科学史、文化史上的重要地位 高等数学上的众多成就 Leibniz在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,Leibniz曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，Leibniz证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某
49、些理论，此外，1666年，Leibniz发表的De Arte Combinatoria创立了符号逻辑学的基本概念 1673年Leibniz特地到Paris去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继Pascal加法机后，计算工具的又一进步。他还系统地阐述了二进制计数法，并把它和中国的八卦联系起来，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,Leibniz的物理学成就也是非凡的，他发表了Hypothesis Physica Nova，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动 他还对Descartes提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，并在Acta Eruditorum上发表了“关于Descartes和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理 他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点,2019/1/3,海军航空工程学院应用数学研究所时宝,Gottfried Wilhelm von Leibniz,
