1、线性规划的实际应用举例 为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。 1 物资调运中的线性规划问题 例 1 A，B 两仓库各有编织袋 50 万个和 30 万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运 40 万个到甲地，20 万个到乙地。已知从 A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为 120 元/万个、180 元/万个；从 B 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为 100 元/万个、150 元万个。问如何调运，能使总运费最小? 总运费的最小值是多少? 解：设从 A 仓库调运 x 万个到甲地，y 万个到乙地，总运费记为 z 元。那么需从 B 仓
2、库调运 40-x 万个到甲地，调运20-y 万个到乙地。 从而有 z=120x+180y+100(40-x)+150(20-y)=20x+30y+7000。 作出以上不等式组所表示的平面区域 (图 1)，即可行域。 令 z=z-7000=20x+30y. 作直线 l：20x+30y=0， 把直线 l 向右上方平移至 ll 的位置时，直线经过可行域上的点 M(30，0)，且与原点距离最小，即 x=30，y=0 时，z=20x+30y 取得最小值，从而 z=z+7000=20x+30y+7000 亦取得最小值，zmin=2030+300+7000=7600(元)。 答：从 A 仓库调运 30 万个
3、到甲地，从 B 仓库调运 10 万个到甲地，20 万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为 7600 元。 2 产品安排中的线性规划问题 例 2 某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料 1 吨需耗玉米 0.4 吨，麦麸0.2 吨，其余添加剂 O.4吨；生产乙种饲料 1 吨需耗玉米 0.5 吨，麦麸 0.3 吨，其余添加剂 0.2 吨。每 1 吨甲种饲料的利润是 400 元，每 1 吨乙种饲料的利润是 500 元。可供饲料厂生产的玉米供应量不超过 600 吨，麦麸供应量不超过 500 吨，添加剂供应量不超过 300 吨。问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到
4、最大?最大利润是多少? 分析：将已知数据列成下表 1。 表 1 例 2 表 解：设生产甲、乙两种饲料分别为 x 吨、y 吨，利润总额为 z 元，那么 z=400x+500y 。 作出以上不等式组所表示的平面区域(图 2)即可行域。作直线 l：400x+500y=0。并把 l 向右上方平移，由于 l1：4x+5y=6000 与 l 平行，所以线段MN 上所有坐标都是整数的点 (整点)都是最优解。易求得 M(250，1000) ，N(0，1200)。 取整点 M(250，1000)，即 x=250，y=1000 时， z max=400250+5001000=600000(元)=60(万元)。 答
5、：可安排生产甲种饲料 250 吨，乙种饲料 1000 吨，能使利润总额达到最大。最大利润为60 万元。 注：课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。例 2 使我们认识到最优解的个数还有其他可能，这里不再深入探究。 3 配料与下料中的线性规划问题 例 3 甲、乙、丙三种食物的维生素 A，B 含量及成本如表 2。 表 2 例 3 表 甲 乙 丙 维生素 A(单位/千克) 600 700 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 某食物营养研究所想用 xkg 甲种食物，ykg 乙种食物，zkg 丙种食物配成 100kg 混合食物，并使混合物至少含
6、有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B。 1)用 x，y 表示混合食物的成本 c(元)； 2)确定 x，y，z 的值，使成本最低。 解：1)依题意有： x+y+z=100 (3) c=11x+9y+4z (4) 由(3)得 z=100-x-y，代入(4)得： c=11x+9y+4(100-x-y)=7x+5y+400，其中 x0，y0。 2)将 z=100-x-y 代入(1)，(2)，并化简，得 作出不等式组 所表示的平面区域(图 3)，即可行域。 作直线 l：7x+5y=0，把直线 l 向右上方平移至 ll 的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点的距离最小。 由
7、 求得 M 点的坐标, 故当 x=50，y=20 时，7x+5y 取得最小值，c=7x+5y+400 亦取得最小值， c min=750+520+400=850。 答：1) c=7x+5y+400(x0 ，y0)； 2) 当 x=50，y=20，z=30 时，成本 c 最低。 例 4 现有 2m 及 3m 长的条钢各 10 根，需截成 0.6m 和 0.8m 长两种规格的零件毛坯，其中0.6m 长的毛坯需 20 个，0.8m 长的毛坯需 30 个，为使材料不浪费，且使所用条钢根数最小，该如何设计下料方案。 解：为使材料不浪费，2m 长的条钢可截成 0.6m 长的毛坯 2 个，0.8m 长的毛坯
8、 1 个，3m长的条钢可截成 0.6m 长的毛坯 1 个，0.8m 长的毛坯 3 个。 设需截 2m 长的条钢 x 根，3m 长的条钢 y 根，则 作出可行域(如图 4)，目标函数为 z=x+y. 作出一组平行线 x+y=t(t 为参数)中，经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线 2x+y=20 和直线 x+3y=30 的交点 M(6，8)。 故当 x=6，y=8 时，z=x+y 取最小值。 答：符合条件的下料方案是：使用 2m 长的条钢 6 根、 3m 长的条钢 8 根。 通过上述例题，不难发现，简单的线性规划在实际生活中有较广泛的应用。在工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等许多领域都常常使用线性规划方法。 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用： 一是征人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。 对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解。其基本的解决步骤是： 1)建立线性约束条件及线性目标函数； 2)画出可行域； 3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； 4)作答。 特别值得一提的是，涉及更多变量的线性规划问题是不能用图解法求解的，需要借助计算机及专门的软件来解决。
