1、线性规划模型举例,线性规划应用举例,一、使用线性规划方法处理实际问题 必须具备的条件(建模条件)：,优化条件-问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示。 选择条件-有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案。,3）限制条件-达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来。此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，有可能建立数学关系，即这些变量之间是内部相关的。,二、建模步骤：, 第一步：设置要求解的决策变量。决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半。 第二
2、步：找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示。当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，以避免“遗漏”或“重复”所造成的错误。, 第三步：明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，确定对函数是取极大还是取极小的要求。决策变量的非负要求可以根据问题的实际意义加以确定。,线性规划模型举例,(一) 运输问题 (二) 布局问题 (三) 分派问题 (四) 生产计划问题 (五) 合理下料问题,(一) 运输问题,设某种物资有m个产地，A1，A2，Am；联合供应n个销地：B1，B2，Bn。各产地产量（单位：吨），各销地销量（单位：吨），各产地至
3、各销地单位运价（单位：元吨）如下表所示。,应如何调运，才使总运费最少？,表中：ai表示产地Ai的产量(i=1，2， ，m)；bj表示销地Bj的销量(j=1，2， ，n)；cij表示AiBj间的单位运价（元吨）(i=1，2， ，m; j=1，2， ，n)；,设xij表示由产地Ai运往销地Bj的物资 数(i=1,2, ,m;j=1,2, ,n)。那么，上述运输问题的数学模型为：求一组变量xij(i=1,2, ,m;j=1,2, ,n)的值, 使它满足,即,(一) 运输问题,()产销平衡,约束条件,产地Ai发到各销地的发量 总和应等于ai的产量,各产地发到销地Bj的发量 总和应等于bj的销量,调运量
4、不能为负数0,()产销平衡的模型,约束条件,产地Ai发到各销地的发量 总和应等于Ai的产量,各产地发到销地Bj的发量 总和应等于Bj的销量,调运量不能为负数0,()产销平衡的模型,约束条件,()产销平衡的模型,()产销不平衡产大于销,(一) 运输问题,1、物资供大于求 2、生产的物资没有全部销售出去，因此： 产地产生库存 凡参加运输的物资均可以销售出去,约束条件,产地Ai发到各销地的发量 总和不超过Ai的产量,各产地发到销地Bj的发量 总和应等于Bi的销量,调运量不能为负数,()产销不平衡产大于销的模型,（二）布局问题,作物布局在n块地上种植m种作物，已知各块土地亩数、各种作物计划播种面积及各
5、种作物在各块的单产（每亩的产量）如表 （与运输问题相似）， 问：如何合理安排种植计划，才使总产量最多。,（二）布局问题,n块土地,m种农作物,总产量最多,方法与运输问题类似,每亩的产量,(三）生产组织与计划问题,总的加工成本最低,某工厂用机床 加工种零件。在一个生产周期， 各机床只能工作的机时、工厂必须完成各零件加工数、各机床加工每个零件的时间（单位：机时个）和加工每个零件的成本（单位：元个）如表1及表2所示。 问：在这个生产周期，怎样安排各机床的生产任务，才能既完成加工任务，又使总的加工成本最低。,(三）生产组织与计划问题,表1 ：加工每个零件的时间,(三）生产组织与计划问题,表 2：加工每
6、个零件的成本,加工每个零件的成本,零件,机床,B1 B2 Bn,A1 A2 Am,d11 d12 d1nd21 d22 d2n dm1 dm2 dmn,(三）生产组织与计划问题,求一组变量 的值,使它满足,(三）生产组织与计划问题,约束条件,(加工零件个数不能为负数、分数）,(机床 加工各零件总机时不能超过 能工作机时）,(各机床加工零件 的总数不能少于需要数）,(三）生产组织与计划问题,总的加工成本最低的模型,(三）生产组织与计划问题,总的加工成本最低的模型,目标函数,设用某原材料(条材或板材)下零件 的毛坯.根据过去经验 在一件原材料上有 种不同 的下料方式,每种下料方式可得各种毛 坯个数
7、及每种零件需要量如下表所示。 问：应怎样安排下料方式，使得既能满足需要，用的原材料又最少。,(四)合理下料问题,例1-9 某厂接受了一批加工定货，客户要求加工100套钢架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成。现在仅有一批长7.4米的棒料毛坯，问应如何下料，使所用的棒料根数最少？,解决这类问题一般有两个步骤：,步骤一、按照一定的思路设法列出所有的排料方案（也称下料方案或排料图），当方案很多，甚至无法一一列出时，通常应先确定一些筛选原则，把明显不合理的方案删除，仅仅考虑剩余的为数不太多的方案； 步骤二、设xi表示按第种方案下料的棒料根数（或板材块数）i=1,2,n，按照问题的要求
8、建立LP模型。,例1-9 某厂接受了一批加工定货，客户要求加工100套钢架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成。现在仅有一批长7.4米的棒料毛坯，问应如何下料，使所用的棒料根数最少？,最简单的处理方法：从一根棒料上截取2.9米、2.1米和1.5米的棒料各一根，正好配成一套钢架，100套钢架总共需要100根棒料毛坯。每根棒料毛坯剩下0.9米的料头,100根毛坯总共剩90米料头。这是最好的办法吗？,合理套裁肯定会有更好的效果。 先设法列出所有的下料方案，思路如图。,排列下料方案思路图,设xi为按第i种方案下料的棒料根数，建立LP模型如下：,(五）分派问题,解：设 为Bj分派给人Ai情况：Bj分派给Ai时， ； 不分派给Ai时， 。那末这一问题的数学模型为：,求一组变量 的值， 使目标函数 的值最小。,(完成全部工作的总工时最少）,(五）分派问题,约束条件,每件工作只分派一人去做,每人只做一件工作,每人对每件工作只有 做与不做两种情况,分派问题的模型,目标函数,结束,线性规划模型,
