1、切线的性质和判定第 1 页切线的性质和判定练习一解答题（共 11 小题）1 （2018宿迁）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦， ODAC 于点 D过点A 作O 的切线与OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若ABC=60 ，AB=10，求线段 CF 的长2 （2018常德）如图，已知O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF=DA，AEBC 交 CF 于 E（1）求证：EA 是O 的切线；（2）求证：BD=CF3 （2018官渡区二模）如图，AB 是O 的直径， AM 和 BN 是O
2、 的两条切线，点 D 是 AM 上一点，连接 OD，过点 B 作 BEOD 交O 于点 E，连接 DE 并延长交 BN 于点 C（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AD=l，BC=4，求直径 AB 的长切线的性质和判定第 2 页4 （2018洪泽区一模）如图，已知 AB 为O 的直径， AD，BD 是O 的弦，BC 是 O 的切线，切点为 B，OC AD ，BA ，CD 的延长线相交于点 E（1）求证：DC 是O 的切线；（2）若O 半径为 4， OCE=30，求OCE 的面积5 （2018淅川县二模）如图，已知O 的半径为 1，AC 是O 的直径，过点 C作O 的切线 BC，E 是 B
3、C 的中点，AB 交O 于 D 点（1）直接写出 ED 和 EC 的数量关系： ；（2）DE 是 O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）填空：当 BC= 时，四边形 AOED 是平行四边形，同时以点O、D、E、C 为顶点的四边形是 6 （2018东河区二模）已知如图，以 RtABC 的 AC 边为直径作O 交斜边 AB于点 E，连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D，作 OFAB 交 BC 于点 F，连接EF（1）求证：OFCE（2）求证：EF 是O 的切线；（3）若O 的半径为 3， EAC=60，求 AD 的长切线的性质和判定第 3 页7 （2018海淀区二模）如图，
4、AB 是O 的直径， M 是 OA 的中点，弦 CDAB于点 M，过点 D 作 DECA 交 CA 的延长线于点 E（1）连接 AD，则OAD= ；（2）求证：DE 与O 相切；（3）点 F 在 上，CDF=45 ，DF 交 AB 于点 N若 DE=3，求 FN 的长8 （2018朝阳区二模）AB 为O 直径，C 为O 上的一点，过点 C 的切线与AB 的延长线相交于点 D，CA=CD （1）连接 BC，求证：BC=OB；（2）E 是 中点，连接 CE，BE，若 BE=2，求 CE 的长9 （2018苏州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D，C
5、E 垂直 AB，垂足为 E延长 DA 交O 于点 F，连接 FC，FC与 AB 相交于点 G，连接 OC（1）求证：CD=CE；（2）若 AE=GE，求证：CEO 是等腰直角三角形切线的性质和判定第 4 页10 （2017黄石）如图，O 是ABC 的外接圆， BC 为O 的直径，点 E 为ABC 的内心，连接 AE 并延长交O 于 D 点，连接 BD 并延长至 F，使得BD=DF，连接 CF、BE（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线 CF 为O 的切线11 （2018长沙）如图，在ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，BAD=CAD，CEAD ，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8
6、，AD=3（1）求 CE 的长；（2）求证：ABC 为等腰三角形（3）求ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离切线的性质和判定第 5 页切线的性质和判定参考答案与试题解析一解答题（共 11 小题）1 （2018宿迁）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦， ODAC 于点 D过点A 作O 的切线与OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若ABC=60 ，AB=10，求线段 CF 的长【分析】 （1）连接 OC，可以证得OAP OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OCP=90，即 OCPC，即可证得
7、；（2）先证OBC 是等边三角形得COB=60，再由（1）中所证切线可得OCF=90，结合半径 OC=5 可得答案【解答】解：（1）连接 OC，ODAC，OD 经过圆心 O，AD=CD，切线的性质和判定第 6 页PA=PC，在OAP 和OCP 中， ，OAP OCP（SSS） ，OCP=OAPPA 是半 O 的切线，OAP=90OCP=90，即 OCPCPC 是O 的切线（2）OB=OC，OBC=60，OBC 是等边三角形，COB=60，AB=10，OC=5，由（1）知OCF=90 ，CF=OCtanCOB=5 【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆
8、的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题2 （2018常德）如图，已知O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF=DA，AEBC 交 CF 于 E切线的性质和判定第 7 页（1）求证：EA 是O 的切线；（2）求证：BD=CF【分析】 （1）根据等边三角形的性质可得：OAC=30，BCA=60 ，证明OAE=90，可得：AE 是O 的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，BAC=ABC=60，由四点共圆的性质得：ADF=ABC=60，得ADF 是等边三角形，证明BADCAF，可得结论【解答】证明：（1）连接 OD
9、，O 是等边三角形 ABC 的外接圆，OAC=30，BCA=60，AE BC，EAC=BCA=60，OAE=OAC+EAC=30+60=90，AE 是O 的切线；（2）ABC 是等边三角形，AB=AC，BAC=ABC=60，A、B、C、D 四点共圆，ADF=ABC=60，AD=DF，ADF 是等边三角形，切线的性质和判定第 8 页AD=AF， DAF=60，BAC+CAD=DAF+CAD ，即BAF=CAF ，在BAD 和 CAF 中， ，BAD CAF，BD=CF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关
10、键3 （2018官渡区二模）如图，AB 是O 的直径， AM 和 BN 是O 的两条切线，点 D 是 AM 上一点，连接 OD，过点 B 作 BEOD 交O 于点 E，连接 DE 并延长交 BN 于点 C（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AD=l，BC=4，求直径 AB 的长【分析】 （1）求出AOD=EOD，根据全等三角形的判定和性质推出DEO=DAO，根据切线的判定得出即可；（2）根据矩形的性质和判定得出 AB=DH，AD=BH=1，根据切线长定理求出DC，根据勾股定理求出 DH 即可【解答】 （1）证明：连接 OE，切线的性质和判定第 9 页OA=OE=OB，OBE=PEB，OD
11、BE，AOD=OBE，OEB=DOE ，AOD=EOD ，在AOD 和 EOD 中AOD EOD，OAD=OED ，AM 是O 的切线，OAD=90 ，OED=90 ，即 OEDE，OE 为O 半径，DE 是O 的切线；（2）解：过 D 作 DH BC 于 H，AM 和 BN 是O 的两条切线，DAB=ABH=DHB=90 ，四边形 ABHD 是矩形，切线的性质和判定第 10 页AB=DH，AD=BH，AD=l，BC=4，BH=1，CH=41=3，AM 和 BN 是O 的两条切线， DE 切O 于 E，AD=1，BC=4，DE=AD=1， BC=CE=4，DC=1+4=5 ，在 RtDHC 中
12、，由勾股定理得：DH= = =4，即 AB=4【点评】本题考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质和判定、切线长定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键4 （2018洪泽区一模）如图，已知 AB 为O 的直径， AD，BD 是O 的弦，BC 是 O 的切线，切点为 B，OC AD ，BA ，CD 的延长线相交于点 E（1）求证：DC 是O 的切线；（2）若O 半径为 4， OCE=30，求OCE 的面积【分析】 （1）连接 DO，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明COD=COB则根据“SAS”可判断CODCOB，所以CD
13、O=CBO再根据切线的性质得CBO=90，则CDO=90，然后根据切线的判定定理得到结论；切线的性质和判定第 11 页（2）先利用OCB=OCD=30得到DCB=60，则E=30，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 DE=4 ，DC= OD=4 ，然后根据三角形面积公式计算【解答】 （1）证明：连接 DO，如图，ADOC，DAO=COB，ADO=COD ，又OA=OD，DAO=ADO，COD=COB在COD 和 COB 中COD COB（SAS） ，CDO=CBOBC 是 O 的切线，CBO=90，CDO=90，ODCE，又点 D 在 O 上，CD 是O 的切线；（2）解：由（1）
14、可知OCB=OCD=30 ，DCB=60，又 BC BE，E=30，在 RtODE 中，tanE= ，切线的性质和判定第 12 页DE= =4 ，同理 DC= OD=4 ，S OCE = ODCE= 48 =16 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点” 或“ 过圆心作这条直线的垂线 ”；有切线时，常常“ 遇到切点连圆心得半径”也考查了解直角三角形5 （2018淅川县二模）如图，已知O 的半径为 1，AC 是O 的直径，过点 C作O 的切线 BC，E 是 BC 的中点，AB 交O 于
15、D 点（1）直接写出 ED 和 EC 的数量关系： ED=EC ；（2）DE 是 O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）填空：当 BC= 2 时，四边形 AOED 是平行四边形，同时以点O、D、E、C 为顶点的四边形是 正方形 【分析】 （1）连结 CD，如图，由圆周角定理得到ADC=90，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到 DE=CE=BE；（2）连结 OD，如图，利用切线性质得2+4=90，再利用等腰三角形的性质切线的性质和判定第 13 页得1=2，3=4，所以1+3=2+4=90，于是根据切线的判定定理可判断 DE 是 O 的切线；（3）要判断四边形 AOED 是平行
16、四边形，则 DE=OA=1，所以 BC=2，当 BC=2 时，ACB 为等腰直角三角形，则B=45，又可判断BCD 为等腰直角三角形，于是得到 DE BC，DE= BC=1，所以四边形 AOED 是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，OCE=90可判断四边形 OCED 为正方形【解答】解：（1）连结 CD，如图，AC 是O 的直径，ADC=90，E 是 BC 的中点，DE=CE=BE；（2）DE 是 O 的切线理由如下：连结 OD，如图，BC 为切线，OCBC，OCB=90，即2+4=90，OC=OD，ED=EC，1=2，3=4，1+3=2+4=90，即ODB=90 ，ODDE，D
17、E 是O 的切线；（3）当 BC=2 时，CA=CB=2，ACB 为等腰直角三角形，切线的性质和判定第 14 页B=45，BCD 为等腰直角三角形，DEBC，DE= BC=1，OA=DE=1，AODE，四边形 AOED 是平行四边形；OD=OC=CE=DE=1，OCE=90，四边形 OCED 为正方形故答案为 ED=EC；2，正方形【点评】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点” 或“过圆心作这条直线的垂线” ； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径” 解决（3 ）小题的关键是
18、熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法6 （2018东河区二模）已知如图，以 RtABC 的 AC 边为直径作O 交斜边 AB于点 E，连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D，作 OFAB 交 BC 于点 F，连接EF（1）求证：OFCE（2）求证：EF 是O 的切线；（3）若O 的半径为 3， EAC=60，求 AD 的长切线的性质和判定第 15 页【分析】 （1）由于 AC 是 O 的直径，得出 CEAE，根据 OFAB ，得出OFCE，（2）得到 OF 所在直线垂直平分 CE，推出 FC=FE，OE=OC，再由ACB=90，即可得到结论（3）证出AOE 是等边三角形，得到EOA=60
19、，再由直角三角形的性质即可得到结果【解答】证明：（1）如图，连接 CE，AC 是O 的直径，CEAE，OFAB，OFCE（2）OFCEOF 所在直线垂直平分 CE，FC=FE，OE=OC，FEC=FCE，OEC=OCE ，ACB=90 ，即：OCE+FCE=90 ，OEC+FEC=90，即：FEO=90，FE 为O 的切线；切线的性质和判定第 16 页（3）如图，O 的半径为 3，AO=CO=EO=3，EAC=60 ，OA=OE ，EOA=60COD=EOA=60 ，在 RtOCD 中，COD=60，OC=3 ，CD=3 ，在 RtACD 中，ACD=90，CD=3 ，AC=6，AD=3 【点
20、评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键7 （2018海淀区二模）如图，AB 是O 的直径， M 是 OA 的中点，弦 CDAB于点 M，过点 D 作 DECA 交 CA 的延长线于点 E（1）连接 AD，则OAD= 60 ；（2）求证：DE 与O 相切；（3）点 F 在 上，CDF=45 ，DF 交 AB 于点 N若 DE=3，求 FN 的长切线的性质和判定第 17 页【分析】 （1）由 CDAB 和 M 是 OA 的中点，利用三角函数可以得到DOM=60，进而得到OAD 是等边三角形，OAD=60 （2
21、）只需证明 DEOD便可以得到 DE 与O 相切（3）利用圆的综合知识，可以证明，CND=90 ， CFN=60，根据特殊角的三角函数值可以得到 FN 的数值【解答】解：（1）如图 1，连接 OD，ADAB 是O 的直径，CD ABAB 垂直平分 CDM 是 OA 的中点，OM= OA= ODcosDOM= =DOM=60又：OA=ODOAD 是等边三角形切线的性质和判定第 18 页OAD=60故答案为：60（2）CDAB，AB 是O 的直径，CM=MDM 是 OA 的中点，AM=MO又AMC=DMO，AMC OMDACM=ODMCAODDECA，E=90ODE=180 E=90DEODDE
22、与O 相切（3）如图 2，连接 CF，CN，OACD 于 M，M 是 CD 中点切线的性质和判定第 19 页NC=NDCDF=45，NCD= NDC=45 CND=90CNF=90 由（1）可知AOD=60 在 RtCDE 中， E=90 ，ECD=30，DE=3 ， 在 RtCND 中，CND=90 ，CDN=45，CD=6， 由（1）知CAD=2 OAD=120，CFD=180CAD=60在 RtCNF 中，CNF=90，CFN=60， ， 【点评】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力8 （2
23、018朝阳区二模）AB 为O 直径，C 为O 上的一点，过点 C 的切线与AB 的延长线相交于点 D，CA=CD （1）连接 BC，求证：BC=OB；（2）E 是 中点，连接 CE，BE，若 BE=2，求 CE 的长切线的性质和判定第 20 页【分析】 （1）连接 OC，根据圆周角定理、切线的性质得到ACO=DCB，根据CA=CD 得到CAD= D ，证明 COB= CBO，根据等角对等边证明；（2）连接 AE，过点 B 作 BFCE 于点 F，根据勾股定理计算即可【解答】 （1）证明：连接 OCAB 为O 直径，ACB=90 ，CD 为O 切线OCD=90，ACO=DCB=90OCB，CA=
24、CD，CAD=DCOB=CBOOC=BCOB=BC；（2）解：连接 AE，过点 B 作 BFCE 于点 FE 是 AB 中点， = ，AE=BE=2AB 为O 直径，AEB=90切线的性质和判定第 21 页ECB=BAE=45 ， CF=BF=1 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键9 （2018苏州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D，CE 垂直 AB，垂足为 E延长 DA 交O 于点 F，连接 FC，FC与 AB 相交于点 G，连接 OC（1）求证：CD=CE；（2）若 AE=G
25、E，求证：CEO 是等腰直角三角形【分析】 （1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：ADOC，得DAC=ACO，根据 AAS 证明CDACEA （AAS） ，可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA ，得DCA=ECA，由等腰三角形三线合一得：F= ACE=DCA=ECG，在直角三角形中得： F=DCA=ACE=ECG=22.5，切线的性质和判定第 22 页可得结论；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，根据平角的定义得：DAC+EAC +OAF=180，则 3x+3x+2x=180，可得结论【解答】证明：（1）连接 AC，CD 是O 的切线，OCCD，ADCD ，DCO=D
26、=90，ADOC，DAC=ACO，OC=OA，CAO=ACO，DAC=CAO，CEAB，CEA=90 ，在CDA 和CEA 中， ，CDACEA （AAS ） ，CD=CE；（2）证法一：连接 BC，CDACEA ，DCA=ECA，CEAG，AE=EG，切线的性质和判定第 23 页CA=CG，ECA=ECG，AB 是O 的直径，ACB=90 ，CEAB，ACE=B，B= F，F= ACE=DCA=ECG，D=90，DCF+F=90，F= DCA=ACE=ECG=22.5，AOC=2F=45，CEO 是等腰直角三角形；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，ADOC，OAF= AOC=2x，CG
27、A=OAF+F=3x ，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA ，CEAG，AE=EG，CA=CG，切线的性质和判定第 24 页EAC=CGA ，DAC=EAC=CGA=3x，DAC+EAC +OAF=180，3x+3x+2x=180，x=22.5，AOC=2x=45，CEO 是等腰直角三角形【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用10 （2017黄石）如图，O 是ABC 的外接圆， BC 为O 的直径，点
28、E 为ABC 的内心，连接 AE 并延长交O 于 D 点，连接 BD 并延长至 F，使得BD=DF，连接 CF、BE（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线 CF 为O 的切线切线的性质和判定第 25 页【分析】 （1）欲证明 DB=DE，只要证明DBE=DEB；（2）欲证明直线 CF 为O 的切线，只要证明 BCCF 即可；【解答】 （1）证明：E 是ABC 的内心，BAE=CAE ，EBA=EBC，BED= BAE+EBA，DBE= EBC+DBC，DBC=EAC，DBE= DEB，DB=DE（2）连接 CDDA 平分 BAC，DAB=DAC， = ，BD=CD，BD=DF，CD=DB=D
29、F，BCF=90 ，BC CF，CF 是 O 的切线【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添切线的性质和判定第 26 页加常用辅助线，属于中考常考题型11 （2018长沙）如图，在ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，BAD=CAD，CEAD ，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3（1）求 CE 的长；（2）求证：ABC 为等腰三角形（3）求ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离【分析】 （1）证明 AD 为 BCE 的中位线得到 CE=2AD=6；（2）通过证明
30、AC=AE 得到 AB=AC；（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设P 的半径为R， Q 的半径为 r，在 RtPBD 中利用勾股定理得到（R3） 2+42=R2，解得 R=，则 PD= ，再利用面积法求出 r= ，即 QD= ，然后计算 PD+QD 即可【解答】 （1）解：AD 是边 BC 上的中线，BD=CD，CEAD，AD 为BCE 的中位线，CE=2AD=6；（2）证明：CE AD，BAD=E，CAD=ACE，而BAD=CAD，ACE=E，AE=AC，切线的性质和判定第 27 页而 AB=AE，AB=AC，ABC 为等腰三角形（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，在 RtABD 中，AB= =5，设P 的半径为 R，Q 的半径为 r，在 RtPBD 中， （R 3） 2+42=R2，解得 R= ，PD=PAAD= 3= ，S ABQ +SBCQ +SACQ =SABC ， r5+ r8+ r5= 38，解得 r= ，即 QD= ，PQ=PD+QD= + = 答：ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆
