1、3.4 切线的判定定理,2个,交点,割线,1个,切点,切线,d r,d = r,d r,没有,回顾：,图中直线l满足什么条件时是O的切线？,探究：,l,方法1：直线与圆有唯一公共点,方法2：直线到圆心的距离等于半径,注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。,（1） 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? （2） 二者位置有什么关系？为什么？ （3） 由此你发现了什么？,请在O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线lOA。思考：,l,操作与观察：,切线的判定定理：,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。,对定理的理解：,切线必须
2、同时满足两条：经过半径外端；垂直于这条半径,O,r,l,A, OA是半径， l OA于A l是O的切线,定理的数学语言表达：,(1)直线l经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A则:直线l与O相切,这样我们就得到了从“位置”的角度圆的切线的判定方法切线的判定定理,发现：,利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画O的切线吗？,讨论交流：,O,P,1、判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） (3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）,巩固：,两个条件缺一不可,切线的判定方法有三种： 直线与圆有唯一公共点； 直线到圆心的距
3、离等于该圆的半径； 切线的判定定理即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.,判定直线与圆相切有哪些方法？,归纳：,例1 如图，已知：直线AB经过O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是O的切线。,O,B,A,C,分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可。,例题：,有交点，连半径，证垂直,例2 如图，已知：O为BAC平分线上一 点，ODAB于D,以O为圆心，OD为半径作 O。求证：O与AC相切。,O,A,B,C,E,D,无交点，作垂直，证半径,归纳：,例1与例2的证法有何不同?,(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再
4、证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.,1、如图，AB是O的直径,O过BC的中点D，DEAC. 求证：DE是O的切线,证明：连接OD,BDCD，OA=OB, OD是ABC的中位线. OD/AC.,又 DEC90, ODE90.,又 D在圆周上, DE是O的切线.,巩固：,有交点，连半径，证垂直,2、如图,ABC中,AB=AC,AOBC于O，OEAC于E,以O为圆心,OE为半径作O. 求证：AB是O的切线.,F,巩固：,无交点，作垂直，证半径,3、如图
5、,AB是O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在O上, CAB=30. 求证:DC是O的切线.,有交点，连半径，证垂直,4、 如图，AB是O的直径, C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分DAB,证明：连接OC,CD 是O的切线， OCCD.,又ADCD , OC/AD. ACO CAD .,又OC=OD, CAO ACO,CAD CAO , 故AC平分DAB,5已知：在ABC中，ABAC，以AB为直径作O交BC于D，DEAC于E， 求证：DE是O的切线.,分析：因为DE经过O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD， 再证明DEOD.,6如图，已知在
6、ABC中，ADBC于D，ADBC/2，E和F分别为AB和 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作O，求证：O与BC相切.,分析：要证明以EF为直径的O与BC相切，只要过O作OHBC于H，证 明OH等于直径EF的一半.,H,7如图(3)，ABC内接于O，P、B、C在一直线上，且PA2PBPC， 求证：PA是O的切线.,分析：PA过O上一点A，要证PA为切线，只要证PAAO，为此，作直径AD，并连结CD，只要证PAAD即可.,如图，如果直线l是O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？,探究：,O,A,l,如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是垂直呢？,
7、分析：假设OA与L不垂直，过点作OML，垂足为M。 根据垂线段最短的性质，有OMOA，这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆相交，而这与直线L是圆O的切线相矛盾。 因此，OA与直线L垂直。,切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。,归纳：, l是O的切线， 切点为A l OA,过半径外端; 垂直于这条半径.,切线,圆的切线; 过切点的半径.,切线垂直于半径,切线判定定理：,切线性质定理：,比较：,例3、如图，PA、PB分别切O于A、B，两切线相交于点P,若P=420，求ACB的度数。,P,C,m,m,例题：,1、如图, O切PB于点B,PB=4,PA=2,则O的半径多少
8、？,巩固：,注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。,2、如图，AB、AC分别切O于B、C，若A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是（ ） A、600 B、1200 C、600或1200 D、1400或600,练习与巩固：,2、如图,在ABC中,AB=AC,BAC=120,A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则ADE等于_ _度.,1、如图，A、B是O上的两点，AC是O的切线，B=70，则BAC等于（ ） A. 70 B. 35 C. 20 D. 10,（2）,（1）,3、如图,在OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，O
9、与AB相切于点A, 则O的直径为 。,O,A,B,（3）,4、如图,PA、PB是O的切线,切点分别为A、B,且APB=50,点C是优弧上的一点,则ACB=_.,5、如图，O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则O的半径为（ ）A. B. C. 10 D. 5,（5）,（4）,辅助线的作法：作过切点的半径,7、如图,AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB。,（7）,8、如图,AB为O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是O的切线。,（8）,小结：,1、知识：切线的判定定理着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可 2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1) 根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线(3)根据切线的判定定理来判定其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同解题时，灵活选用其中之一,切线的判定定理：,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。,对定理的理解：,切线必须同时满足两条：经过半径外端；垂直于这条半径,切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。,小结：,
