1、1直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式： ，其中 是点 的中点坐标。1212,yx,xy12(,)(,)AyBx，2、弦长公式：若点 在直线 上，12()()AB， 0kb则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，12ykxbykxb， 222221111()()()()()ABxkxkx2214kx或者 22222111112()()()()()yxyykk。21122()4yk3、两条直线 垂直：则1122:,:lxblykxb12k两条直线垂直，则直线所在的向量 10v 4、韦达定理：若一元二次方程 有两个不同的根 ，则 。2()axca12,x1212,bcxa
2、常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角） ，四边形（矩形、菱形、正方形） ，圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线 与椭圆 始终有交点，求 的取值范围:1lykx2:14xyCmm解：根据直线 的方程可知，直线恒过定点（0，1） ，椭
3、圆 过动点 ，如:l2:14xyC0),4m（ ， 且果直线 和椭圆 始终有交点，则 ，即 。:lykx2:4xyCmm， 且 4且2规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101lykx过 定 点 （ ， ）()过 定 点 （ ， ）:2lykx过 定 点 （ ， 2）题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T(-1,0)作直线 与曲线 N ： 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( ,0)，使得 是等l2yx 0xABE边三角形，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由。0x解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。设直线 ， ， ， 。:(1)lyk1(,)Ay
4、2(,)Bx由 消 y 整理，得 2x2kxk由直线和抛物线交于两点，得 242(1)10即 2104k由韦达定理，得： 。则线段 AB 的中点为 。212,kx12x21(,)k线段的垂直平分线方程为：令 y=0,得 ，则21()2kyxk02xk21(,0)Ek为正三角形， 到直线 AB 的距离 d 为 。ABE21(,)Ek3AB2112()()xy2241kA2k解得 满足式此时 。2234kkA39053x题型三：动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x21(0)xyab2轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线
5、与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的:()lxt l任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论3解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。从而椭圆的方程为32cea3,1cb214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由 消 y1(,)Mxy2(,)Ny1AM1k1AM1()yk12()4kx整理得 是方程的两个根， 则 ，22121(4)640kxk1x和2164x1128k，即点 M 的坐标为 ，12y21218(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为
6、 2284(,)k， 直线 MN 的方程为： ，12(),()ppyktyt12t121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212x 4t又 ， 椭圆的焦点为 ，即t40t(3,0)4t3t故当 时， MN 过椭圆的焦点。3t题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A 是椭圆的右顶点，直线 BC21xyab(0)(23,0)过椭圆的中心 O，且 ， ，如图。(I )求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II) 若椭圆 E 上存在两0BCA点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ 的斜
7、率。3x解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O2又 点 C 的坐标OCA0BC2A (3,0)为 。(3,)A 是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为：203a21xyb将点 C 代入方程，得 ， 椭圆 E 的方程为(3,)24b214xy(II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，3x设直线 PC 的斜率为 ，则直线 QC 的斜率为 ，从而直线 PC 的方程为：kk，即 ，由3()ykx(1)y4消 y，整理得：23(1)0ykx是方程的一个根，2()6()91830kxkx即 同理可得：291833PxA2()P 29183()Qk ()31QPQykkxk()Px2k22918398
8、()()Px26()13QPy则直线 PQ 的斜率为定值 。题型五：共线向量问题例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线 M： 于 P、Q 两点，且 ,求实数 的取值范围。2194xyDPQl=url解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2), (x1,y1-3)= (x2,y2-3)即QDPl=url123()xyl+-判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ 的方程为： ，由 消 y 整理后，得3,0ykx24936ykxP、Q 是曲线 M 上的两点2(49)54kx 即 2(9)k218025k由韦达定理得： 121225445,9xx1212()xx即 254()(9)k222365
9、()kk由得 ，代入 ，整理得 ， 解之得210k236915()15当直线 PQ 的斜率不存在，即 时，易知 或 。0x总之实数 的取值范围是 。l 1,5题型六：面积问题例题 6、已知椭圆 C： （a b0）的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 。12yx ,3635（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求AOB 面积的最大值。23解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意 ， 所求椭圆方程为 。c63a， 1b213xy（）设 ， 。 （1）当 轴时， 。 （2）当 与 轴不垂直时，1()Axy， 2()Bxy， ABx
10、 ABx设直线 的方程为 。由已知 ，得 。km23k2(1)4mk把 代入椭圆方程，整理得 ，ykx 2(1)60x， 。1263123xk2221()ABkx22361()()km。222()(1)93km 24233(0)4623696kk当且仅当 ，即 时等号成立。当 时， ，219kk0AB综上所述 。maxAB当 最大时， 面积取最大值 。O max1322SAB题型七：弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线与抛物线 x2=2py（p0）相交于 A、B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（
11、）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。 （）依题意，点 N 的坐标为 N（0,-p）,可设 A（x 1,y1）,B（x 2,y2） ，直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得消去 y 得 x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得.2pkxyx1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是621xpSSACNBAN 21214)(xxp .2822kpkp.2min0SkABN与与（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为 径的圆相交于点 P、Q，PQ 的中与AC
12、tO,点为 H，则 .与与2, 1pyxOPQ 212)(21pyxP21py=,2111pyapyaO HP21214)(4apy ),()2(1=22)(PHQ.)()(42apya令 ，得 为定值，故满足条件的直线 l 存0paPQp与,在，其方程为 ，2y即抛物线的通径所在的直线.解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得 22212122 844)( pkxxkxkAB .22p又由点到直线的距离公式得 .21kpd从而， ,212212 kpABSABN.2max0pkAB与与（）假设满足条件的直线 t 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为将直线方程 y=a 代入
13、得,0)()(11ypx ).()2(4)(4,121 apyayax 与设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P（x 2,y2）,Q（x 4,y4）,则有 .)(13 apypPQ 7令 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 .pPQpa与与,2,0 2py即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题 8、 （如图（21）图， M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P 满足： （）求点 P6.MN的轨迹方程；（）若 ,求点 P 的坐标. 1cosP解：()由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆.因此半焦距 c=2，长半轴 a
14、=3，从而短半轴b= 所以椭圆的方程为 25a21.95xy()由 得 ,1cosPMNPAcos2.NPNAA因为 不为椭圆长轴顶点，故 P、 M、 N 构成三角形.在 PMN 中，cos1,4,MN由 余 弦 定 理 有22cos.PA将代入，得 2(2).MPNA故点 P 在以 M、 N 为焦点，实轴长为 的双曲线 上.31xy由()知，点 P 的坐标又满足 ，所以2195xy由方程组 解得2594,3.xy3,.2y即 P 点坐标为 5535(,)2 2、 （ ， -） 、 （ -， ） 或 （ ， -） .问题九：四点共线问题例题 9、设椭圆 过点 ，且着焦点为2:1(0)xyCab
15、(2,1)M1(,0)F（）求椭圆 的方程；8（）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足 ，(4,1)PlC,ABQAPBQA证明：点 总在某定直线上Q解 (1)由题意：，解得 ，所求椭圆方程为 2221cab24,ab214xy(2)方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为 。12(,),(,)xyxy由题设知 均不为零，记 ,则 且,PQBAPQB01又 A，P，B， Q 四点共线，从而 ,AP于是 ， 124x12y， 从而 ， （1） ， （2）214xx 21yy 又点 A、B 在椭圆 C 上，即21,(3)y 24,()x （1）+（2）2 并结合（3）
16、， （4）得 sy即点 总在定直线 上(,)Qxy20xy方法二设点 ，由题设， 均不为零。12(,),)(,)AB,PABQ且 PQ又 四点共线，可设 ,于是,AB,(01)PAB（1）114,xy（2）22由于 在椭圆 C 上，将（1） ， （2）分别代入 C 的方程 整理得1(,)(,)AxyB 24,xy224()140xy（3）9(4)22(4)(2)140xyxy(4)(3) 得 80,20xy 即点 总在定直线 上()Q2问题十：范围问题（本质是函数问题）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点。1F2142yx（）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值；P1PF2（）设过定点
17、的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且 为锐角（其中 为坐标原点） ，求直线)2,0(Ml ABO的斜率 的取值范围。lk解：（）解法一：易知 所以 ，设 ，则,13abc123,0,F,Pxy2123,PFxyxy 221384x因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值,x0P12PF当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值2P12F解法二：易知 ，所以 ，设 ，则,13abc123,0,xy221112121212osPFPFPF（以下同解法一）222333xyxyxy （）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，0 122:,lkAxyB联立 ，消去 ，整理得：214ykxy22
18、1430kx10 121243,4kxxk由 得： 或22430k32k又 009cosABABO120AOBxy又 212121124ykxkxx2384k2k ，即 223014k24k2k故由、得 或32k2k问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角） ，四边形（矩形、菱形、正方形） ，圆）设椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N( 6,1)两点，O 为坐标原点，（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB？若存在，写出该圆的方程
19、，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N( 6,1)两点,所以 2416ab解得 284所以2椭圆 E 的方程为2184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB,设该圆的切线方程为 ykxm解方程组 2184xykm得 22()8xk,即 22(1)480kxm, 则= 222164()(4)0,即 202218kxm,2222112112(8)48()11kkkykxmkxx 要11使 OAB,需使 120xy,即22801mk,所以 2380mk,所以2
20、380mk又2840km,所以 23,所以 23,即 6或 6,因为直线 yx为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 21mrk,22831rmk, 23r,所求的圆为 283y,此时圆的切线 ykx都满足 63或 6,而当切线的斜率不存在时切线为 6x与椭圆2184x的两个交点为 2(,)或 2(,)3满足 OAB,综上, 存在圆心在原点的圆23y，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且.因为1228kmx,所以2222211148(4)()()()11kmkmxx, 22222111()|()()AByxk4224353kk, 当 0时 21|ABk因为 2148k所以 20184k,所以 232124k,所以 6|33AB当且仅当 时取”=”. 当 0k时, 4|. 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 26(,)3或 26(,)3,所以此时 46|3AB,11综上, |AB |的取值范围为 46|233AB即: 4|6,23
