1、1直线和圆锥曲线基本题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线 与椭圆 始终有交点，求 的取值范:1lykx2:14xyCmm围解：根据直线 的方程可知，直线恒过定点（0，1） ，椭圆:lykx过动点 ，如果直线 和椭圆 始2:14xyCm),4m（ ， 且 :1lykx2:14xyCm终有交点，则 ，即 。， 且 1m且题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T(-1,0)作直线 与曲线 N ： 交于 A、B 两点，在 x 轴上l2yx是否存在一点 E( ,0)，使得 是等边三角形，若存在，求出 ；若不0xABE0存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不
2、等于 0。设直线 ， ， ， 。:(1)lykx01(,)Axy2(,)Bxy由 消 y 整理，得 220kk由直线和抛物线交于两点，得 242(1)1即 2104k由韦达定理，得： 。则线段 AB 的中点为 。212,kx12x 21(,)k线段的垂直平分线方程为： 令 y=0,得 ，则21()2kyxk021xk21(,0)Ek为正三角形， 到直线 AB 的距离 d= 。ABQ21(,0)Ek32AB22211()()ABxyQ2241k解得 满足式 此时2kd22234kkA 391k。05x题型三：动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点21(0)x
3、yab32分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一:()lxtl点，直线 PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。从而椭32cea3,1cb圆的方程为 214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为1(,)M2(,)Nx1AM1k1AM，由 消 y 整理得 1(2)ykx124yk2212(4)640x是方程的两个根，1和Q216kx则 ， ， 即点 M 的坐标为21184kx124
4、ky，2121(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为 2284(,)1k3，12(),()ppyktyktQ12kt直线 MN 的方程为： ，121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得： 又212xy 4xt，2tQ椭圆的焦点为 ，即 故当 时，MN 过椭圆40t(3,0)4t43t43t的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点21xyab(0)abA 是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的中心 O，且 ，(23,0) ACBur，如图。BCur(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方
5、程；(II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ 的斜率。3x解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O2BCAur又 点 C 的坐标为OAur0Q2OA (23,0)。(3,)A 是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为： 将点 C2,03a21xyb代入方程，得 ，(3,)24b椭圆 E 的方程为1xy4(II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，Q3x设直线 PC 的斜率为 ，则直线 QC 的斜率为 ，从而直线 PC 的方程为：kk，即 ，由 消 y，整理得：3()ykx3(1)yxk2(1)30yx是方程的一个根，2 2(1)6198
6、0k即 同理可得：29833Px21(3)Pkx29183()Qkx (1)PQPQyk()3Pkx2()k 则直线 PQ 的斜率22983983()()Pkx26(1)k1PQyx为定值 。1题型五：共线向量问题例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线 M： 于 P、Q 两点，且2194xy,求实数 的取值范围。DPQl=url解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2), (x1,y1-3)= (x2,y2-3)即QDPl=url123()xyl=+-方法一：方程组消元法又 P、Q 是椭圆 + =1 上的点 消去 x2，可得29x4y2222194()(3)1xylll+= -=222(3
7、)14ylll+-=-即 y2= 又 2 y2 2， 2 2 解之得： 则实数 的取156l 1356l- 5l值范围是 。,5方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ 的方程为： ，由 消 y 整理后，得3,0ykx23496ykx2(49)540kxP、Q 是曲线 M 上的两点 即 22(54)(9)kk21480295k由韦达定理得： 12122,4949kxxk2112()xxQ254()(9)k即 由得 ，代入，整理得223641(1)9k21095k，解之得25()5当直线 PQ 的斜率不存在，即 时，易知 或 。总之实数 的取值0x51l范围是 。1,5题型六：面积问题例
8、题 6、已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 短轴一个端点12yx ,36到右焦点的距离为 。3（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为6，求AOB 面积的最大值。23解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意 ， 所求椭圆方程为c63ca， 1b。213xy（）设 ， 。 （1）当 轴时， 。1()Axy， 2()Bxy， ABx 3AB（2）当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 。由已知ykxm，得 。231mk23(1)4k把 代入椭圆方程，整理得 ，yx 22(31)630kxk， 。12631k23(1)mxk2221()AB
9、k22261()()3)mk22222139()(1)mk。242 12(0)34961696kkk当且仅当 ，即 时等号成立。当 时， ，综上所述2k30k3AB。maxAB当 最大时， 面积取最大值 。AOB max1322SAB题型七：弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线与抛物线7x2=2py（p0）相交于 A、B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。（）依题意，
10、点 N 的坐标为 N（0,-p）,可设 A（x 1,y1）,B（x 2,y2） ，直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得 消去 y 得 x2-2pkx-.2pky2p2=0.由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是 pSSACNBAN 2121214)(xxpx .84kk.2min0pSkABN与与（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为径的圆相交于点 P、Q，PQ 的中点为 H，则与CtO, 与与2, 1pyxPQH .12)(21A21y8,2111pyapyaHO= 22P2121)(4)(4pya ),()(1apya
11、=22)(Q.2pya令 ，得 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其0paPQp与,方程为 ，2y即抛物线的通径所在的直线.解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得 22212122 844)(1 pkxxkxkAB .22p又由点到直线的距离公式得 .21kpd从而， ,2221 22 kpABdSABN.max02pk与与（）假设满足条件的直线 t 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为将直线方程 y=a 代入得,0)()(011ypx ).()2(4)(4121 apyaa与设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P（x 2,y2）,Q（x 4,y4）,则有9.)
12、()2()()2(4113 apyapayxPQ 令 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方PQpa与与,02程为 .py即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题 8、 （如图（21）图， M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P 满足： 6.PN（）求点 P 的轨迹方程；（）若 ,求点 P 的坐标.21cosMN解：()由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆.因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴b= ，25a所以椭圆的方程为 21.95xy()由 得,1cosPMNPA2.NA因为 不为椭圆长轴顶点，故 P、 M、 N 构
13、成三角cs,形.在 PMN 中， 4,由 余 弦 定 理 有22cos.MNPPMNA10将代入，得224(2).PMNPA故点 P 在以 M、 N 为焦点，实轴长为 的双曲线23上.213xy由()知，点 P 的坐标又满足 ，所以2195xy由方程组 解得2594,3.xy 3,2.y即 P 点坐标为35353535(,)2222、 （ ， -） 、 （ -， ） 或 （ ， -） .问题九：四点共线问题例题 9、设椭圆 过点 ，且着焦点为2:1(0)xyCab(2,1)M1(2,0)F（）求椭圆 的方程；（）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段(4,1)PlC,AB上取点
14、，满足 ，证明：点 总在某定直线上ABQABQPAQ解 (1)由题意：，解得 ，所求椭圆方程为 2221cab24,ab214xy(2)方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为 。12(,),(,)xyxy11由题设知 均不为零，记 ,则 且,APBQAPQB01又 A，P，B，Q 四点共线，从而 ,于是 ， 124x12y， 从而 ， （1） ， （2）214xx 21yy 又点 A、B 在椭圆 C 上，即214,(3)xy 24,()xy （1）+（2）2 并结合（3） ， （4）得 s即点 总在定直线 上(,)Qxy20xy方法二设点 ，由题设， 均不为零。12(,),)(,)xyABxy,
15、PABQ且 PQ又 四点共线，可设 ,于是,AB,(01)PAB（1）114,xy（2）22由于 在椭圆 C 上，将（1） ， （2）分别代入 C 的方程1(,)(,)AxyB整理得24xy（3）22(4)()140xyxy(4)2(4)(3) 得 8()xy0,20xy 12即点 总在定直线 上(,)Qxy20xy问题十：范围问题（本质是函数问题）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点。1F2 142yx（）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值；P1PF2（）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且 为)2,0(Ml ABAO锐角（其中 为坐标原点） ，求直线 的斜率 的取值范围
16、。Olk解：（）解法一：易知 2,13abc所以 ，设 ，则123,0,F,Pxy212,3,3Pxy 2221384xx因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值,x0P12PF2当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值2P12F解法二：易知 ，所以 ，设 ，则2,13abc123,0,xy212112121212osPFPFPF（以下同解法一）222333xyxyxy （）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，0 122:,lykxAyBx联立 ，消去 ，整理得：214ykxy221430kxk13 121243,4kxxk由 得： 或22430k32k又 009cosABABO
17、12Oxy又 212121124ykkxx223841k21k ，即 223014k24k2k故由、得 或32k2k问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角） ，四边形（矩形、菱形、正方形） ，圆）设椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N( 6,1)两点，O 为坐标原点，（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆 E: 21xyab（a,b0）过
18、M（2， ） ，N( 6,1)两点,14所以 2416ab解得 2184ab所以 284ab椭圆 E 的方程为 2184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB,设该圆的切线方程为 ykxm解方程组2184xykm得 22()8xk,即 22(1)480kx, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则= 22216()8)(4)0kmkkm,即 2840km12248xk, 22221212112(8)48()()11kmkmkyxmkxmx要使 OAB,需使 120y,即 280k,所以 230,所以 2380k又 4k,所以 2
19、3m,所以 28,即 6m或63m,因为直线 yx为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 21rk, 22831mrk, 263r,所求的圆为 283xy,此时圆的切线 yx都满足 26或 m,而当切线的斜率不存在时切线为 263与椭圆 2184xy的两个交点为 26(,)3或26(,)3满足 OAB,综上, 存在圆心在原点的圆 283xy，使得15该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB.因为 12248kmx,所以 2222211148(4)()()()11kmkmxx, 22222111()|()()AByxk4224353kk, 当 0时 21|ABk因为 2148k所以 20184k,所以 23k,所以 46|33AB当且仅当 2k时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 0k时, 46|3. 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 26(,)3或 26(,)3,所以此时 46|3AB,综上, |AB |的取值范围为 46|233AB即: 4|6,23AB
