1、合肥市 2018 年高三第三次教学质量检测数学试题(文科)(考试时间：120 分钟 满分：150 分)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设复数 (其中 为虚数单位)，则 =21ziizA. B.3 C.5 D.5 3(2)已知集合 ， ，则20AxRx12B，CRBA. B. C. D. 121，(3)已知 ，若 为奇函数，且在 3 ， ， ， ， fx上单调递增，则实数 的值是0 ， A.-1，3 B. ，3 C.-1， ，3 11D. ， ，312(4)若正项等比数列 满足 ，则其公比为na21nnaA. B.2
2、或-1 C.2 D.-1(5)运行如图所示的程序框图，则输出的 等于sA. B. C.3 D.1103(6)若 是两条不同的直线， 为平面，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的lm， l/mlA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(7)右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为个，落在圆内的豆子个数为 个，则估计圆周率 的值为NMA. B. C. D.233N323MN(8)函数 的图象大致为cosinfxx(9)若 的三个内角 所对的边分别是 ，若 ，且 ，ABCABC， ， abc， ，
3、1sinsin2CAB4b则 2caA.10 B.8 C.7 D.4(1 0)已知双曲线 ( ， )的上焦点为 ， 是双曲线虚轴的一个端2: 1yxCab0abFM点，过 ， 的直线交双曲线的下支于 点.若 为 的中点，且 ，则双曲线 的方FMAM6AC程为A. B. C. D.218yx218yx214xy214yx(11)我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该刍童的表面积为A. B.40 C. D.1251623165(12)若函数 在区间 上是非单调函数，则lnafxx，实
4、数 的取值范围是aA. B. C. D.1423， 4+3， 4+3， ，第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡的相应位置.(13)已知 ， ，则 的值等于_.23x2logyx(14)若实数 满足条件 ，则 的最大值为_.y， 103xy2zxy(15)已知 ， .当 最小时， .2 0 2OAB， ， ， ACtBR， OCt(16)已知数列 的前 项和为 ，且数列 为等差数列.若 ， ，nanSnS21S208165S
5、则 .2018S三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 12 分)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原yfx12来的 2 倍，可以得到函数 的图象.cosyx()求 的解析式；f()比较 与 的大小.1f(18)(本小题满分 12 分)2018 年 2 月 9-25 日，第 23 届冬奥会在韩国平昌举行.4 年后，第 24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了 120 名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看 没收看()根据上
6、表说明，能否有 的把握认为，收看开幕式与性别有关？9%()现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取 8 人，参加 2022 年北京冬奥会志愿者宣传活动.()问男、女学生各选取多少人？()若从这 8 人中随机选取 2 人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率 P.附： ，其中 .2nadbcKdnabcd20Pk.10.5.20.1.57638463789(19)(本小题满分 12 分)如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 的底面是梯形， ， ，1ABCDABCDA， ， ，点 在棱 上，且14A2DCAB3M.点 是直线 的一点， .13M
7、E1E平 面()试确定点 的位置，并说明理由；()求三棱锥 的体积.1(20)(本小题满分 12 分)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆 ，以椭圆 的焦点为顶点作相似椭圆 .2 16xyE： EM()求椭圆 的方程；M()设直线 与椭圆 交于 两点，且与椭圆 仅有一个公lAB，共点，试判断 的面积是否为定值( 为坐标原点)？若是，求出ABOO该定值；若不是，请说明理由.(21)(本小题满分 12 分)已知函数 ( 为自然对数的底数).2xfaee()若函数 的图象在 处的切线为 ，当实数 变化时，求证：直线 经过定点；0lal()若函数 有两个极值点，求实数 的取值范
8、围.f a请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.(22)(本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程男生 60 20女生 20 20在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，圆 的方程为xOyl 21xtyC.以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.2215xyx()求直线 及圆 的极坐标方程；lC()若直线 与圆 交于 两点，求 的值.AB， cosAOB(23)(本小题满分 10 分) 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .13fx
9、x()解不等式 ；()设函数 的最小值为 ，实数 满足 ， ， ，求证：fcab， 0bac.21ab合肥市 2018 年高三第三次教学质量检测数学试题 (文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.(13)2 (14)8 (15) (16)302712三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 12 分)()将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图cos2yx 12cos4yx象，再将所得图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，1cos4cs13yx即 . 6
10、分cos43fx() ，而 .cos1cos43f ， . 12 分42310f(18)(本小题满分 12 分)()因为 ，2210607.56384K所以有 的把握认为，收看开幕式与性别有关. 5 分9%()()根据分层抽样方法得，男生 人，女生 人，841824所以选取的 8 人中，男生有 6 人，女生有 2 人. 8 分()从 8 人中，选取 2 人的所有情况共有 N=7+6+5+4+3+2+1=28 种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有 M=6+6=12 种，所以，所求概率 . 12 分1387P(19)(本小题满分 12 分)()如图，在棱 上取点 ，使得 .1CDN1DAM又 ，
11、 .1/NAM1/A四边形 为平行四边形， ./过 作 交 于 ，连结 ，/EEB 平面 ， 平面 ，1B/1C平面 即为所求，此时 . 6C分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C B C B A D D B C D A()由()知， 平面 ，/AM1BCE . 12 分1113462MBCEBEVV(20)(本小题满分 12 分)()由条件知，椭圆 的离心率 ，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，12e椭圆 的方程为 4 分243xy()当直线 的斜率存在时，设直线 .l :lykxb由 得， .2143ykxb228410kxb令 得， .264102
12、23k联立 与 ，化简得 .ykxb1y48480xb设 A( )，B( )，则1， 2y， 1223.4xkb， ，而原点 O 到直线 的距离221kABkxl21bdk .6OSd当直线 的斜率不存在时， 或 ，则 ，原点 O 到直线 的距离 ，l :2lx6ABl2d .AB综上所述， 的面积为定值 6. 12 分(21)(本小题满分 12 分)() ， ， .2xfae2xfae0fa又 ，直线 的方程为 ，0ly直线 经过定点(-2，0). 4 分l() ， .2xfexfe设 ，则 .gxa2xga当 时， ，即 在 上单调递增，则 最多有一个零点，函数00R2xfae至多有一个极
13、值点，与条件不符；f当 时，由 ，得 .a2xgae lnxa当 时， ；当 时， . lnx， 02l ， 0gx 在 上单调递增，在 上单调递减，g2 la， ln a， ，即 .lnxmax22ll1g令 ，解得 .2ln10a2 0ae， ， ， ，0g ， 2lnln10gaa 在 上单调递增， 在 上有唯一零xf2 lna， gxf2 lna，点 ，1当 时， ；当 时， .1x， 0fx12 lnxa， 0fx 在 上有唯一极值点.f2 lna，又当 时， . 0ae， 22ln4lngaa设 ，其中 ，则 ，ln2xhe， 10xhx ， .10e1224lnlnhxgaa即当
14、 时， ， a， 2lnl0g而 ，2lnl10ga 在 上单调递减， 在 上有唯一零xf2ln， gxf2lna，点 ，2当 时， ；当 时， .2lnxxa， 0fx2x， 0fx 在 上有唯一极值点.fl，综上所述，当 有两个极值点时， . 12 分fx0ae，(21)(本小题满分 12 分)() ， .21xfeaxfea设 ，则 .g1xg令 ，解得 .0x 0当 时， ；当 时， . ， ， 0gx .min1ga当 时， ，函数 单调递增，没有极值点；1a0xffx当 时， ，且当 时， ；当 时， .gxgx当 时， 有两个零点 .xgfea12，不妨设 ，则 .12x120x
15、当函数 有两个极值点时， 的取值范围为 . 5 分f ，()由()知， 为 的两个实数根， ， 在 上单调递减.12， g120xgx 0，下面先证 ，只需证 .120x210gx ，得 ， .2geae222xxgeae设 ， ，xhx则 ， 在 上单调递减，20xeh0 ， ， ， .2g120x函数 在 上也单调递减， .f1 ， ff要证 ，只需证 ，即证 .2xf22220xe设函数 ，则 .0xke， ， xk设 ，则 ，0xe 在 上单调递增， ，即 .x0， 在 上单调递增， .k， k当 时， ，则 ， 20xe220xe ， . 12 分22fxf1ff(22)(本小题满分
16、 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程()由直线 的参数方程 得，其普通方程为 ，l21xty 2yx直线 的极坐标方程为 .sincos2又圆 的方程为 ，C2215x将 代入并化简得 ，cosinxy4csin圆 的极坐标方程为 . 5 分o2()将直线 ： ，lsi与圆 ： 联立，得 ，C4co2ncsisnco2整理得 ， .sin3tan32， 或不妨记点 A 对应的极角为 ，点 B 对应的极角为 ，且 .ta=3于是， . 10 分10coscssin2OB(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲() ，即 .1fx31xx(1)当 时，不等式可化为 .42，又 ， ；(2)当 时，不等式可化为 .3，又 ， .xx(3)当 时，不等式可化为 .2415x，又 ， .5综上所得， ，或 ，即 .13原不等式的解集为 . 5 分15，()由绝对值不等式性质得， ，3132xx ，即 .2c2ab令 ，则 ， ，1mn， n， 4ambn， ，2 2141 原不等式得证. 10 分
