1、宿州市 2018 届高三第三次教学质量检测理科数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 UR，集合 2|ln()Axyx，集合 1|()3xB，则 ()CAB（ ）A |1x B |01 C |0 D |01x或2.若复数 z满足 (2)izi，其中 i为虚数单位，则 z（ ）A 35 B 45 C1 D23.已知双曲线2xym的焦距为 5，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A 14y B 12x C 6yx D 19yx 4.已知实数 ,x满足不等式组 34yx，则 2z的最大值为
2、（ ）A5 B3 C. 1 D-45.祖冲之是我国古代杰出的数学家、天文学家和机械发明家，是世界上第一个把圆周率的值精确到 7 位小数的人，现在可用计算机产生随机数的方法估算出 的值，其程序框图如下图所示，其中函数(0,1)rand的功能是生成区间 (0,1)内的随机数，若根据输出的 k值估计出 的值为 3.14，则输出 k的值为（ ）A314 B628 C.640 D7856.已知函数 ()log(01)afx的导函数为 ()fx，记 ()Afa， (1)(Bffa，1Ca，则（ ）A B B AC C. BC D A7. 将函数 2sin()cos()136yx的图象向左平移 (0)个单位
3、，所得的图象恰好关于原点对称，则 的最小值为（ ）A 4 B 1 C. 4 D 38.已知函数 ()yfx为 R上的偶函数，且满足 (2)(fxfx，当 0,1时， 2()1fx.下列四个命题： 1p： ()0f；2：2 是函数 ()2xyf的一个周期；3：函数 1在 ， 上单调递增；4p：函数 ()yfx的增区间 1,2k， kZ其中真命题为（ ）A 12, B 23,p C. 14,p D 24,p9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线或虚线面出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条弧均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A 3264 B 648 C. 1643 D 864310.已知 0
4、m， n， 16logllog(2)mnmn，则 2logln（ ）A-2 B2 C. 2 D11.如图所示， P垂直于 O:所在的平面， AB是 O:的直径， PAB， C是 O:上的一点，E， F分别是点 A在 ， C上的投影，当三棱锥 EF的体积最大时， 与底面 AB所成角的余弦值是（ ）A 32 B 2 C. 3 D 1212.已知函数 ()sinfx的图象与直线 0kx()k恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为 123,，则 123)ta()x（ ）A-2 B C. 0 D1第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量
5、 a， b满足 2， 7ab，则 a与 b夹角为 14. 261()x的展开式中 4x项的系数为 15.抛物线 2:(0)Cypx的焦点为 F，过点 的直线 l交抛物线 C于 A， B两点，交抛物线 C的准线 m于 D点，若 B， 2A，则 p 16.在 A中，内角 ,的对边分别为 ,abc，且满足 sin4i0ab， 为锐角，则sin2C的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和为 nS，数列 n的前 项和为 nT，满足 2nS.（）证明数列 2是等比数列，并求出数列 a的通项公式；（）设 nb，
6、求数列 nb的前 项和 nK.18. 如图所示，在四棱柱 1ABCD中，底面 ABCD是梯形， BC ，侧面 1A为菱形，1DAB.（）求证： 1ABD；（）若 2C， 160AB，直线 AD与平面 1B所成的角为 30，求平面1DC与平面 1所成锐二面角的余弦值.19. 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明” ，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取 100 名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 6 次及以上男 10 8 7 3 2 15女 5 4 6 4 6 30合计 15 12 13 7 8
7、45（）把每周使用移动支付超过 3 次的用户称为“移动支付活跃用户” ，能否在犯错误概率不超过 0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？（）把每周使用移动支付 6 次及 6 次以上的用户称为“移动支付达人” ，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取 4 名用户.求抽取的 4 名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励 300 元，记奖励总金额为 X，求 X的分布列及数学期望.附公式及表如下：22()(nadbcK20()P0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
8、0.005 0.001k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820. 已知椭圆 C的中心为坐标原点，焦点在 x轴上，离心率 32e，以椭圆 C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 45.（）求椭圆 的标准方程；（）若经过点 (1,0)P的直线 l交椭圆 C于 ,AB两点，是否存在直线 0:lx0(2)，使得 ,AB到直线 0l的距离 ,ABd满足 A恒成立，若存在，请求出 0x的值；若不存在，请说明理由.21. 设函数 ()lnfxax()R.（）讨论函数 的单调性；（）若函数 ()fx的极大值点为 1x，证明： 2()xfe.请考生在 22、23
9、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的倾斜角为 3且过极坐标点(1,)2P，若曲线 C的极坐标方程为2sin4cos0.（）写出直线 l的参数方程和曲线 的直角坐标方程；（）设直线 l与曲线 C交于 ,AB两点，求1PB的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 2()3fx.（）求不等式 x的解集；（）若关于 的不等式 2()|xfa恒成立，求实数 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBAD 6-10: DBCCC 11、12：DB二、填空题13
10、. 3 14.-132 15.1 或 3 16. 62(,)4三、解答题17.解：（1）由 2nTS得： 1a，解得 1aS，由 124S，解得 24a.当 2n时， 1221()nnS，即1S， n由- 得 12na ()，又 21()a，所以数列 2na是以 13为首项，2 为公比的等比数列， 13nn，即 32n.（） b，所以 011()nnK ()n01123(2n.记 nR ， 12nnR ，由 得0211nn 2n()1n:，所以 (1)2nnR. 所以 23()3nnK.18.解：（）连接 1,DBA，因为侧面 1BA为菱形，所以 1BA，又 1DBA，所以1A， .取 的中点
11、 O，连 D，则 ，又 0，O， 平面 ， 平面 ， 1平面 O，从而 1.（）由（）知 1B平面 AD，又 1B平面 1A，平面 1AB平面 D，所以直线AD在平面 上的投影为直线 O，故 30，设 2DC，则 3A，2432O31. 22， O， 平面 1B.故可以射线 B、射线 1、射线 D为 x轴、 y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz，如图所示，则 (0,3)A， (,0)， 1(,30)B， (,1).所以 1(,30)CB，由 2CAD可得 1,2C，所以 ,2C设平面 1DC的一个法向量 (,)mxyz，则 10CD，即3012xyz，令 3x，则y， 3z，所以 (
12、3,1).取平面 1AB的法向量 (,)n，设平面 1DC与平面1AB所成角为 ，所以 cos|,|n|391m.故平面 1与平面1所成角的余弦值为 391.19.解：（）由表格数据可得 2列联表如下：非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户 合计男 25 20 45女 15 40 55合计 40 60 100将列联表中的数据代入公式计算得 22()(nadbcK210(25410)458.2967.所以在犯错误概率不超过 0.005 的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取 1 名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为 13，女
13、“移动支付达人”的概率为 23.抽取的 4 名用户中，既有男“移动支付达人” ，又有女“移动支付达人”的概率为426()81P.记抽出的男“移动支付达人”人数为 Y，则 30XY.由题意得 1(4,)3B:，044()()3YC； 142()()8PC； 224(81PC；128P； 031.所以 的分布列为Y0 1 2 3 4P1683284818118所以 X的分布列为0 300 600 900 1200P168328124818118由 43EY，得 X的数学期望 0EY元.20. 解：（）设椭圆 C的标准方程为2(0)xyab， 32ca， ca，又 245ab， 25ab，由 221
14、4c，解得 ， 1b， 3.所以椭圆 的标准方程为 214xy.（）若直线 l的斜率不存在,则直线 0l为任意直线都满足要求；当直线 的斜率存在时，设其方程为： (1)ykx，设 1(,)Axy， 2(,)B（不妨令 12x） ，则01Adx， 02Bdx， 2PA， Pkx， BP，21102()kx12x，解得 1220().由24(1)xyk得 2(4)84kxk，21284x，214xk，2202814kx.综上可知存在直线 0:l，使得 ,AB到直线 0l的距离 ,ABd满足 AP恒成立.21.解：（） ()fx的定义域为 (0,)， (1lnfxa，当 0a时， ，则函数 f在区间
15、 ， 单调递增；当 时，由 ()0fx得1ae，由 ()0fx得1axe.所以， ()fx在区间1(0,)ae上单调递减，在区间1ae，上单调递增；当 时，由 ()f得10ae，由 f得1axe，所以，函数 ()fx在区间1(0,)ae上单调递增，在区间1()ae，单调递减.综上所述，当0时，函数 f在区间 ， 单调递增；当 0时，函数 fx在区间1(0,)ae上单调递减，在区间1()ae，上单调递增；当 a时，函数 ()fx在区间1(,)ae上单调递增，在区间1()a，上单调递减.（）由（）知 0且1ae时，解得 1. ()lnfx，要证 2()xfe，即证2lnxxe，即证： lnxe.令
16、 ()l1xF(0)，则 21()1xeFx2()xe.令 ()xge，易见函数 g在区间 0， 上单调递增.而 1()0g，(0)1，所以在区间 0， 上存在唯一的实数 x，使得 00xe，即 0xe，且,x时 ()x， (,)x时 (x.故 ()F在 ,)上递减，在 0(,)上递增. min00()lF01e.又 0xe，0min()lxx010x. 0()F成立，即 2()xfe成立.22.解：（）直线 l的参数方程为132ty， t为参数，曲线 C的直角坐标方程为 24yx.（）将123xty代入 24yx，得 2(3)10tt.其判别式 40，故有 12()3t， 1243t， 1213tPAB.23.解：（）当 0x时, 2()3fxx,即 2430,解得 3x或 1.所以 3x或
