1、湖南省永州市 2018 届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由题意 ，则 ，解得 ，所以集合 ，所以 ，故选 A2. 若复数是纯虚数，且 （ ，是虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】 由题意 ，又由是纯虚数，所以 ，解得 ，故选 C3. 党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人
2、共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知，图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D4. 双曲线 的焦点 轴上，若焦距为 4，则等于（ ）A. 1 B. C. 4 D. 10【答案】C【解析】 由题意双曲线 的焦点在 轴上，则方程可化为 ，又由 ，即 ，所以 ，故选 C5. 运行
3、如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合 ，从集合 中任取一个元素，则函数 在是增函数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 执行如图所示的程序框图，可知：第一次循环：满足 ， ，输出 ；第二次循环：满足 ， ；第三次循环：满足 ， ， 此时终止循环，所以输出的集合 ，所以从集合 中任取一个元素 ，则函数 在 是增函数的概率为 ,故选 C6. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 6 C. 12 D. 18【答案】BD【解析】 由二项式 的通项公式为 ，当 时，解得 ，当 时，解得 ，所以展开式中的常数为 ，故选 D7. 设 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ）A. B
4、. C. D. 【答案】C【解析】 因为 ，所以由正弦定理可得 ，可得 ，整理可得 ，因为 ，所以 ，可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选 C8. 在 中， ， ， ， 是 上一点，且 ，则 等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】 在 中， ， ， 是 是上一点，且 ，如图所示，设 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，故选 C9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面表示长和宽分别为 的矩形，高为 的一个三棱锥，所以该几何体的体积为 ，故选 B10. 已知椭圆
5、 ： 的右焦点为 ， 为坐标原点， 为 轴上一点，点 是直线 与椭圆的一个交点，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为 ，所以 ，设 ，如图所示，由题意可得 ，所以 ，则 ，解得 ，所以 ，解得 ，故选 A11. 三棱锥 的所有棱长都相等， 别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 取 的中点 ，连接 ，因为三棱锥 的所有棱长都相等， 分别是棱 的中点，所以 ，所以 是异面直线 与 所成的角，设三棱锥 的所有棱长为 ，则 ， ，所以 ，所以异面 与 所成的角的余弦值为 点睛：本题考查了空间中两条异面
6、直线所成角的求解，其中解答中把两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角是解答的关键，对于空间中两条异面直线所成的角的求解，通常把两条异面直线所成的角平移转化为两条相交直线所成的角，再看出三角形的内角，利用正、余弦定理求解，着重考查了学生的推理与运算能力和空间想象能力12. 若曲线 和 上分别存在点 和点 ，使得 是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点在 轴上，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 设 ，则 ，又由 ，由题意 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以函数 的最小
7、值为 ，又因为 ，所以实数的取值范围是 ，故选 A点睛：本题考查了导数在解答函数问题中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值与最值等知识综合考查，同时解答中根据题意得到 ，再构造新函数，利用新函数的性质求解值解答的关键，着重考查了转化思想方法和学生的思维能力、推理运算能力，试题有一定的难度，属于难题二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只
8、给出了 16 的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示 628 为_.【答案】【解析】 由题意各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，所以 用算筹可表示为 14. 已知实数 满足条件 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】 画出约束条件 所表示的平面区域，如图所示，则 表示平面区域内点 与点 距离的平方，当时点 到直线 的距离的平方时，取得最小值，所以最小值为
9、 15. 函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数 在区间 上的值域为 ，则_.【答案】【解析】 函数 的部分图象如图所示，则 ，解得 ，所以 ，即 ，当 时， ，解得 ，所以 ，所以函数 向右平移 个单位后得到函数 的通项，即 ，若函数 在区间 上的值域为 ，则 ，所以 点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即 ，然后利用三角函数的性质求解16. 记 为正项等比数列
10、的前 项和，若 ，则 的最小值为_.【答案】8【解析】在等比数列 中，根据等比数列的性质，可得 构成等比数列，所以 ，所以 ，因为 ，即 ，所以 ,当且仅当 时，等号是成立的，所以 的最小值为 点睛：本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式的应用，解答中根据等比数列的性质和题设条件得到，再利用基本不等式求解最值是解答的关键，其中熟记等比数列的性质是解答的基础，着重考查了学生的推理运算能力，及分析问题和解答问题的能力三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 在等比数列 中，首项 ，数列 满足 ，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）记数列 的
11、前 项和为 ，又设数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】() ；() 详见解析【解析】试题分析：（）设等比数列 的公比为 ，由题设条件，求的 ，即可得到数列的通项公式（）由（）得 ，易知 为等差数列，得 ，得 ，利用裂项法，即可求解数列的和 试题解析：（）由 和 得 ，所以 ，设等比数列 的公比为 q， ， ，解得 （ 舍去） ，即 （）由（）得 ，易知 为等差数列， ,则， ，18. 如图，在多面体 中，四边形 是菱形， ， ， ， 平面 ， ， 是 的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】() 详见解析；( ) 【解析】试题分析：（）连接 交 于 ，得 ，所以 面 ，又 ，得 面 ，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；（）如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面 的一个法向量 ，利用向量 和向量夹角公式，即可求解 与平面 所成角的正弦值试题解析：（）连接 BD 交 AC 于 O，易知 O 是 BD 的中点，故 OG/BE，BE 面 BEF，OG 在面 BEF 外，所以 OG/面 BEF；又 EF/AC，AC 在面 BEF 外， AC/面 BEF，又 AC 与 OG 相交于点 O，面 ACG 有两条相交直线与面 BEF 平行，故面 ACG面 BEF；
