1、湖南省永州市 2018 届高三下学期第三次模拟考试数学试题（理）第卷一、选择题1设集合 ， ，若 ，则 （ ）0,aA1,2aB0BABAA B C D2, 2, 2,102若复数 是纯虚数，且 （ ， 是虚数单位） ，则 （ ）zizi)(RiaA B C1 D2 13党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（
2、）4双曲线 的焦点 轴上，若焦距为 4，则 等于（ ）132ayxxaA1 B C4 D105运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合 ，从集合 中任取一个元素 ，Aa则函数 在 是增函数的概率为（ ）axy),0(A B C D215232436 的展开式中的常数项为（ ）3)(xA B6 C12 D187设 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则CA, cba, BcbAtan2ttan（ ）A B C D64328在 中， ， ， ， 是 上一点，且 ，C06A5B6AB5CDA则 等于（ ）|DA. 1 B. 2 C. 3 D.49某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A1
3、 B2 C3 D610已知椭圆 ： 的右焦点为 ， 为坐标原点， 为 轴上)0(12bayx2FOMy一点，点 是直线 与椭圆 的一个交点，且 ，则椭圆 的离A2MFC|3|2OMFAC心率为（ ）A B C D41061053511三棱锥 的所有棱长都相等， 别是棱 的中点，则异面直线CDNM,BCA,与 所成角的余弦值为（ ）BMNA B C D314233212若曲线 和 上分别存在)1()1ln)(4exxaf )0(1(2xxg点 和点 ，使得 是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点在ABAO AB轴上，则实数 的取值范围是（ ）yA B C D),2e),2(e)4,2e
4、),4(2e二、填空题13中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了 16 的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示 628 为.14已知实数 满足条件 ，则 的最小值为. yx,302xy2)1(yxz15函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象)|,
5、)(sin)( Af )(xf向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数 在区间 上的值域为125xg)(xg,6，则.2,116记 为正项等比数列 的前 项和，若 ，则 的最小值为. nSna24S46S三、解答题 17在等比数列 中，首项 ，数列 满足 ，且 .n81nbnna2log15321b（1）求数列 的通项公式；a（2）记数列 的前 项和为 ，又设数列 的前 项和为 ，求证： .nbnS1nSnT4n18如图，在多面体 中，四边形 是菱形， ， ，ABCDEFABCDACEF/1， 平面 ， ， ， 是 的中点.06ABC32G（1）求证：平面 平面 ；/ACGBEF（2）求直线
6、 与平面 所成的角的正弦值.ADBF19某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 三CBA,类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：已知 三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别CBA,为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不
7、与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30% ，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.20设斜率不为0的直线 与抛物线 交于 两点，与椭圆 交于lyx42BA, 1462yx两点，记直线 的斜率分别为 .DC, ODCBA, 4321,k（1）求证： 的值与直线 的斜率的大小无关； 4321kl（2）设抛物线 的焦点为 ，若 ，求 面积的最大值.yx2FBAFCD21已知 ,
8、.2ln2)(1bxaexfx 222ln)( abxegx（1）若对任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围；f（2）当 时，求证：方程 恒有两解.aba10,4 xexf12)(请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线 过点 ，且倾斜角为 ， .以直角坐标系的原l)2,1(P)2,0(点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为Ox C.12)sin3(2（1）求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程，并判断曲线 是什么曲线； lC（2）设直线 与曲线 相交与 两点，当 ，求 的值.NM
9、, 2|PN23选修 4-5：不等式选讲已知函数 .3|2|)(|,3|2|)( xgxaxf（1）解不等式 ；6|g（2）若对任意的 ，均存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.Rx2x1 )(21xfa【参考答案】一、选择题15 ACDCC 610 BCCBA 1112 DA二、填空题13 14 15 168923三、解答题 17.解：（1）由 和 得 ，所以 ，2lognnba1235b213log()5a15123a设等比数列 的公比为 q， ， ，88nq解得 （ 舍去） ，2158q4q即 4na21na（2）由（1）得 ，易知 为等差数列， ,nbnb 235.(1)nSnn则
10、， 1()(2)2nS，T11()34n 31()22n n18 （1）证明：连接 BD 交 AC 于 O，易知 O 是 BD 的中点，故 OG/BE，BE 面BEF，OG 在面 BEF 外，所以 OG/面 BEF；又EF/ AC，AC在面BEF外，A C/面BEF，又AC 与OG相交于点O， 面ACG有两条相交直线与面BEF 平行，故面ACG面BEF；（2）解：如图，以 O 为坐标原点，分别以 OC、OD、OF 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，(1,0)A(,30)B(0,3)D(0,3)F(1,30)AD， ，,3BF设面 ABF 的法向量为 ，依题意有 ， ，
11、(,)mabcmAB(,)1,)(030abcabc令 ， ， ， ， ，3a1b(,1)3 5cos,41D直线 AD 与面 ABF 成的角的正弦值是 519 解：（1）设工种 A、B、C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量 X、Y、Z，则X、Y、 Z 的分布列为X 25 42510P 1Y 25 42510P 1Z 40 4051P 414保险公司的期望收益为； 45 511()2)(20)EX； 2Y； 44()0(1)(1)10Z保险公司的利润的期望值为 ，20(6()20()109EXYEZ保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元 （2）方案 1：企业不与保险公司合作，则企业
12、每年安全支出与固定开支共为：，4 44445 521060102061方案 2：企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为：， 4(12).73.1，故建议企业选择方案 2 446037.120解：（1）设直线 l： ， ， ， ， ykxm1(,)Ay2(,)Bx3(,)Cy4(,)Dxy联立 和 ，得 ，则 ， ，ykxm24y240xkm124xk124xm， 121212联立 和 得 ，ykx264y22(3)6310kx在 的情况下，22 2()(3)104)mkm此 式 可 不 求 解)， ，342x342x，23 3443434()68314yxkkkkxxm所以 是一个与 k
13、无关的值 21348m（2）由（）知 ， ，而由 得12x124xOAB120xy得 m=4（m =0 显然不合题意） ，21406x此时 ， ， ，20k342kx3426xk， 2341CD2(1)k点 到直线 的距 离 ，(0,)F23d所以 ， 21823FCDkS（求面积的另法：将直线 l 与 y 轴交点（0,4）记为 E，则 341|2FCDSEx，也可得到 ）23434()xx2183FCDkS设 ，则 ，20kt2264FCDttS当且仅当 ，即 时， 有最大值 83t143kOCDS36421解：（1）要使 f(x)g(x) 恒成立，即使 成立，21222lnlneex xb
14、ba a整理成关于 a 的二次不等式 ，22122ln)(ln(ee)0xxbaa只要保证0， ，2122 2212 2ln)4(lneln8l4(ee)4e0x x xxb b 整理为 ， （i） 2212ll10xx12(l)xb下面探究（i）式成立的条件，令 ， ， ，当1()lnext1(ext()0t时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，x=1 时(0,1)x()0tx()t ,)t有最小值 ， ， ， ()t()1t222min1()(btxt20b12b实数 b 的取值范围是（1,2） （2）方程 化为 ，1e()2xfae2ln50xa令 ， ， ()eln5xh()xh
15、在（0，）上单调递增， ， ， e120a2()e0ha存在 使 ，即 ， ， 在 上单调递减，在0(1,2)x0()hx0x0x()0,)x上单调递增， 在 处取得最小值 0(,)()0，0 0002()e2ln5ln5ex xahaa012()2ln5xa， 0， 01(,)x0()2lhxa， ， 在 和 各有一个零点，故方程3e()hae2()9()hx03e,)02(,e)x恒有两解 1()2exfa22.解：（1）直线 l的参数方程为 2,0),(sin2,co1为 参 数tytx. 曲线 C的直角坐标方程为 432，即 1342y，所以曲线 是焦点在 x轴上的椭圆. （2）将 l的参数方程 2,0),(sin2,co1为 参 数tyt ，代入曲线 C的直角坐标方程 243yx，得 7)si16co()sin4co3(22 tt，122273s4inPMN， 得 2si， 0,， 4.23.解：（1）由 236x|，得 ，236x 9，得不等式的解为 15 . （2） ()fxaxaa， ()23gx， 对任意的 2R均存在 1，使得 21()fx成立，()()yfyg，3a，解得 0a或 3，即实数 a的取值范围为： 0a或 3
