1、共 6 页第 页1复变函数与积分变换期末试题（A）答案及评分标准复变函数与积分变换期末试题（A）一填空题（每小题 3分，共计 15分）1 的幅角是（ ） ；2. 的主值是（ 23i2,10,23k)1(iLn） ；3. ， （ 0 ） ；i4ln2)(zzf )(5f4 是 的（一级）极点；5 0z 4sinz， （-1） ；zf1)(),(Refs二选择题（每小题 3分，共计 15分）1解析函数 的导函数为（ B ） ；),(),()yxivuzf（A） ； （B） ；yx yxiuzf)(（C） ； （D） .ivzf)( yv2C 是正向圆周 ，如果函数 （ D ） ，则 3)(zf 0
2、d)(Czf（A） ； （B） ； （C） ； （D） .2z212)(13z2)(33如果级数 在 点收敛，则级数在（ C ）1nncz（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；2z iz2（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散 i共 6 页第 页2下列结论正确的是( B )（A）如果函数 在 点可导，则 在 点一定解析；)(zf0)(zf0(B) 如果 在 C所围成的区域内解析，则 )(Cdzf（C）如果 ，则函数 在 C所围成的区域内一定解析；0f )(zf（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是,),()yxivyxuz、 在该区域内均为调和函数),(yxu,(v5下列结论不正确的
3、是（ D ） (A) (B) 的 可 去 奇 点 ；为 z1sin的 本 性 奇 点 ；为 zsin(C) (D) ;si的 孤 立 奇 点为 z .si1的 孤 立 奇 点为 z三按要求完成下列各题（每小题 10分，共计 40分）（1）设 是解析函数，求)()( 2222 ydxcibyaxzf .,dcba（2） 计算 其中 C是正向圆周： ；Czed)1(2 2z（3）计算 33425)()z zz（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？32)(sin(1(zf，如果有极点，请指出它的级.四、 （本题 14分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；)1()2zf（1） ， （2） ，
4、（3）10z0z1五 （本题 10分）用 Laplace变换求解常微分方程定解问题共 6 页第 页3 1)0()()(45yexyxx六、 （本题 6分）求 的傅立叶变换，并由此证明：)()(tetfted202cos三按要求完成下列各题（每小题 10分，共 40分）（1） 设 是解析函数，求)()( 2222 ydxcibyaxzf .,dcba解：因为 解析，由 C-R条件)(zfyvxuxvuyda22,2dycxbya，,dc1,给出 C-R条件 6分，正确求导给 2分，结果正确 2分。（2） 计算 其中 C是正向圆周：Cze)1(2解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数
5、计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数 在复平面内只有两个奇点 ，分别以zezf2)1() 1,021z为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于 c内21,z 21,c 21 d)(d)(d)( 222 CzCzCz eeeizeizi z)(021共 6 页第 页4无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3） 334215d)()z zz解：设 在有限复平面内所有奇点均在： 内，由留数定理(f 3z-（5 分）),(Re2d)2()133415 fsizzz -（8 分）Re2fsi2342152)()(1)( zzzf 0,z)1()1)( 3422 有 唯 一 的 孤
6、 立 奇 点zf 1)2()10,)(Re 340202limli zzffs zz-（10 分）334215d)()(z i（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？23)()(sinzzf，如果有极点，请指出它的级.解 ： ，的 奇 点 为 ,32,10,)(sin)3(21)( 22 kzzzf （1） 的 三 级 零 点 ，）为 （03ksin,（2） 的 可 去 奇 点 ，是的 二 级 极 点 ，为， )()( zfzzfz 21（3） 的 一 级 极 点 ，为 )(f（4） 的 三 级 极 点 ；， 为 )(4,3zfz（5） 的 非 孤 立 奇 点 。为 )(f备注：给出全部奇
7、点给 5分 ，其他酌情给分。共 6 页第 页5四、 （本题 14分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；)1()2zf（1） ， （2） ， （3）10z0z解：（1）当 )1()()1()(2 zzf而 )(0nnn01(1nnz-6分021)()()(nnnzf（2）当 =)1()(1)(22zzf 02nz-10分02n（3）当 z1)1()1()(32zzf -14 分0303)()(nnzzf每步可以酌情给分。五 （本题 10分）用 Laplace变换求解常微分方程定解问题： 1)0()(45yexxx解：对 的 Laplace变换记做 ，依据 Laplace变换性质有)(sL共 6
8、 页第 页6（5 分）1)(41)(5)(2 sLssL整理得（7 分）)4(15)(6)1(0 1)()(sssss（10 分）xxeexy)六、 （6 分）求 的傅立叶变换，并由此证明：)(0ttf tedt202cos解： -3分)()( 0 teFti )()(00 dtdttiti )()()( 000 teteii )()( 0 iititi-4分)()( 021 iiF- -5分)()()(2 dFetfti )(012 ti )()sin(co2 dtt )(is 02202 tidt共 6 页第 页7， -6 分)(cos)( 0202 dttftet02复变函数与积分变换期
9、末试题（B)1填空题（每小题 3分，共计 15分）21 的幅角是（ ）；2. 的主值是i )(iLn（ ）； 3. =（ ），a在复平面内处处解析4)2(2)( 22yxaiyxzf 是 的（ ）极点；5 ，03sinz zf1)(（ ）；),(Ref二选择题（每小题 3分，共计 15分）1解析函数 的导函数为（ ） ；),(),()( yxivyxuzf（A） ； （B） ；xyi yxiuzf（C） ； （D） .yvzf)( )(2C 是正向圆周 ，如果函数 （ ） ，则 2zf 0d)(Czf（A） ； （B） ； （C） ； （D） .13z132)1(32)1(33如果级数 在 点
10、收敛，则级数在1nciz2共 6 页第 页8（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；2z iz2（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散 i11下列结论正确的是( )（A）如果函数 在 点可导，则 在 点一定解析；)(zf0)(zf0(B) 如果 ,其中 C复平面内正向封闭曲线, 则 在 C所围Cd )(zf成的区域内一定解析；（C）函数 在 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以)(zf0展开成为 的幂级数，而且展开式是唯一的；0（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是 、),(),()yxivuzf ),(yxu在该区域内均为调和函数),(yxv5下列结论不正确的是（ ） （A
11、） 、 是复平面上的多值函数； 是无界函数；lnz cosz)B(、是复平面上的有界函数；（ D） 、 是周期函数si)C(、 e三按要求完成下列各题（每小题 8分，共计 50分）（1）设 是解析函数，且 ，求)(),()ygxiyuzf2 0)(f,(fxyg（2） 计算 其中 C是正向圆周 ；Czizd)(122 2z（3） 计算 ，其中 C是正向圆周 ；Cze)( z（4） 利用留数计算 其中 C是正向圆周 ；zd)2(1 3z（5）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如32)(sin)(zf果有极点，请指出它的级.得分共 6 页第 页9四、 （本题 12分）将函数 在以下区域内展开
12、成罗朗级数；)1()(2zf（1） ， （2） ， （3）10z0z五 （本题 10分）用 Laplace变换求解常微分方程定解问题 1)0()()(45yexyxx六、 （本题 8分）求 的傅立叶变换，并由此证明：)()(0tetftedt202cos复变函数与积分变换期末试题简答及评分标准（B） 一填空题（每小题 3分，共计 15分）1 的幅角是（ ）；2. 的主值是2i,210,24k)1(iLn（ ）；3. ， （ 0 ）；44lni 2)(zzf )(7f， （ 0 ） ；5 ，3s)(zf),(Refs 21)(zf（ 0 ）；,e二选择题（每小题 3分，共计 15分）1-5 A
13、A C C C三按要求完成下列各题（每小题 10分，共计 40分）（1）求 使 是解析函数，dcba, )()( 2222 ydxcibyaxzf 共 6 页第 页10解：因为 解析，由 C-R条件)(zfyvxuxvuyda22,2dycxbya，,dc1,给出 C-R条件 6分，正确求导给 2分，结果正确 2分。（2） 其中 C是正向圆周 ；Czzd)1(2 z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数 在复平面内只有两个奇点 ，分别以zzf2)1() 1,021z为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于 c内21,z 21,c 21
14、d)(d)(d)( 222 CCC zzzz 0)(12zzii（3） 计算 ，其中 C是正向圆周 ； Czed)1(3 2z解：设 在有限复平面内所有奇点均在： 内，由留数定理)zf -（5 分）12 2),(Re2(d iczfsiz 1)11)(!321(1)1( 32223 zzzzzezez共 6 页第 页11)11)(!431!2( 3222 zzzz)!(1c8izfz 23()d2（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果3)(sin1)(zf有极点，请指出它的级.，的 奇 点 为 ,2,0,)(kzzf 的 三 级 零 点 ，）为 （ 03103zksin,的 可 去
15、 奇 点 ，是的 二 级 极 点 ，为 )()( fzfz 的 三 级 极 点 ；， 为 )(4,2zf的 非 孤 立 奇 点 。为 )(zf给出全部奇点给 5分。其他酌情给分。四、 （本题 14分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；)1()(2zf（1） ， （2） ， （3）10z0z（1） ， （2） ， （3）z解：（1）当 z)1()1()()(2 zzzf而 )1(0nn01n-6分02)nzzf（2）当 1共 6 页第 页12= )1()(2zf 02)1(nnz-10分0n（3）当 z1)1()1()(32zzf -14分0303 )()()(nnnzzf五 （本题 10分）
16、用 Laplace变换求解常微分方程定解问题 1)0(,)()(32yyexxx解：对 的 Laplace变换记做 ，依据 Laplace变换性质有)(xsL（5 分）1)(3212 sLs整理得（7 分）)4()(ss（10 分）xxeexy38141)六、 （本题 6分）求 的傅立叶变换，并由此证明：10)(ttf 1042cosin0 ttdt解： )()(dtfeFti得分共 6 页第 页13-2分dteFi1)(- 4分 sin2 1iiti e- 5分 )(2)(dFtfti sin1et )sin(coi dtt sin sin20dtit= -6分单纯的课本内容，并不能)(2cosin0 tfdt 1042tt满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
