1、浅谈新课标全国卷导数命题背景.近几年高考题的导数压轴经常以微积分里的重要定理作为背景，但纵观命题人给的答案，很多是所谓结合高中知识巧妙构造等等，颇有把考生玩弄于股掌之间的味道.结合高等数学部分内容，我们来研究下近几年高考真题的本质：例 1.（2014 北京卷）已知函数 ，()cosin,02fxx（1）求证： ()0fx（2）若 在 上恒成立，求 的最大值与 的最小值sinab(,)2ab第（1）问很简单，求导后容易得到结论第（2）问我们令 ，si0xg则 ，由知， ，2cosnxggx故 在 上单调递减，从而 的最小值为 ，0 2g故 ， 的最大值为 .a接下来 b 最大值肯定在 x 等于
2、0 处取到，代入 x0，我们发现出现了 的情况，只用初等0数学我们无法求解，其实本题就用到了微积分里两个重要极限之一 ，接下来我0sinxlm1x们来证明一下这个结论令 ，由导数定义得 ，()fxsinfx0sinlmx （ + ）（ ） -cos那么 1，那么显然第（2）小问里 b0f0ilm-x （ + ）（ ） 0ilx0lix的最小值就是 1评注：本题结合了极限 进行命制，并且它的证明过程就是高中数学课本里对0sinl1x导数的定义，很多老师为了方便讲解直接跳过该定义讲解导数几何意义，笔者认为这是一个很大的失误，所以在复习时以前没有着重讲解的定义需要额外关心，考场上遇到所谓冷门知识时才
3、能应付自如，游刃有余.高等数学里还有个重要极限就是 ，稍后我们进行讨论 .lime1xx（ +）上面两个极限是导数与微分的内容，在上完导数与微分后，我们将会接触到 3 个微分中值定理： ，拉格朗日中值定理，柯西中值定理罗 尔 中 值 定 理罗尔中值定理：，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧，如果弧的两端点纵坐标相等，那么弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足：1)在闭区间 a,b上连续；2)在开区间(a,b) 内可导。那么：在(a,b)内至少有一点 (ab)，使等式 成立fbfaf柯西中值定理：如果函数 f(x)及 F(x)满足(1)在闭区间 a
4、,b上连续；(2)在 开区间(a,b) 内可导；(3)对任一 x(a,b) ，F(x)0那么在(a,b) 内至少有一点 ，使等式 成立fbfafF其中，在柯西中值定理里当 ba 时，我们会得到求取 不定式极限的洛必达法则：0(1)当 xa 时，函数 f(x)及 F(x)都趋于零；(2)f(x)及 F(x)都存在且 F(x)0，那么有注：洛必达法则也可以证明极限 ，上下求导便可得aalimli xxfFf 0sinxlm1x下面我们来看一道用洛必达法则命制的高考题例 2.（2011 新课标全国卷）已知函数 ，曲线 在点 处ln()1axbf()yfx1,()f的切线方程为 。230xy（）求 、
5、 的值；ab（）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。1ln()1xkf第一问很简单，求导后解方程易得 a1，b 1第二问进行分离参数，可得 ，令 ，求两次导后得到2lxk 2ln1gx（ ） 在（0，1）单调减，在（1 ，+ ）单调增，由洛必达法则得 gx（ ） 12limx0， ，所以 k （- ，0） ，取 k1 代回原命题也成立，所以 k （-12lnlim-x（ +） ，0评注：本题原解法分类讨论极其复杂而且某些步骤不容易想到，显然这份标准答案是命题人结合洛必达法则得出答案后强行凑给考生看的，假如我们站在命题人的高度看问题，任何复杂的题目都会不堪一击.值得注意的是，新课标全国卷连续考
6、了两年洛必达法则：例 3.（2010 新课标全国卷）设函数 fx（ ） 2e1xa（1）若 0 时，求 单调区间afx（ ）（2）若当 0 时， 0，求 的取值范围x（ ） a本题第二问可以用洛必达法则求解，留做习题在学习完微分中值定理后，我们就会接触到由柯西中值定理推导出的泰勒公式，它在近几年高考中的命题地位比洛必达法则还要高高等数学里 和 的泰勒展开式特别优美：exln1（ ） （1）x23.1+！ ！ （2）ln（ ）234-.x（1）式中我们对右边的幂级数求导发现它的导函数就是本身，我们都知道导函数是其本身的只有 ，所以 和右边是相等的，证明它过程太复杂，所以我们不做证明，下面我们ex
7、x用一种不太严谨的方法来证明（2）式的弱命题令 , (-1,1)na那么其前 n 项和 nS2345.xxnxn+1n+1x学习等比数列的和时我们就知道，当公比 (-1,1)时，其前 n 项和是收敛的，有 ，即 ， （-1，1）n1limia x2345.xx1x两边同时积分得 234n.d 即 - - ，234.x1lnx（ ） ， （-1，1）1ln（ ）234.x令 - ，得 （-1，1）x1ln（ ） 234-.xx那么泰勒公式怎么考呢？最简单的考法之一就就是舍去展开式一些项，把等号变为不等号以函数放缩形式考察对（1）式舍去第三项及其之后，得1+ ， R （3）ex对（2）式舍去第三项
8、极其之后，或者对（3）式两边取对数，得x， （-1，+ ） （4）1ln（ ） 对（4）中令 1+ ，上式便可加强为1x（ ）1- （5）xl（ ）（3） （4） （5）式均当且仅当 1 时取等号，我们将其称为泰勒不等式或者基本函数不等x式，另外细心的同学也发现例 3 中的函数 便是 的泰勒展开式取fx（ ） 2e1xaex前 3 项后加上个参数 a，所以本题的命制背景就是洛必达法则+ 泰勒公式，如果你知道的泰勒展开，那么本题答案一眼就看得出来是 a ，所以对于学有余力的同学，提前ex学习一些微积分对高考是大有裨益的注：补充泰勒展开式以及对应不等式 （6） ，舍去第二项及其之后得 ，当且仅当
9、x0 取sinx.357x！ ！ ！ sinx等，由（6）也可以证明极限 ，请读者自行证明0sinxlm1x下面我们来看一道例题，本题在微积分的课本里经常当作经典例题或习题，而命题人直接就拿出来当压轴题考察学生例 4.证明： 1.234n1l（ ） 1.23n分析：左右都是和，中间的 也将其拆做和的形式，证明通项不等关系即可l（ ）证明：注意到 ，ln（ ） 2-1lll（ ） +（ ） .（ ） +（ ）故只需证 即可，由（5）式令 x 显然成立1（ ） nn评注：使用泰勒不等式时要注意不等号方向，并且本题也可以通过定积分的几何意义证明，证明过程留做习题前面我们提到后面我们会证明极限 ，接下
10、来我们用基本函数不等式lime1xx（ ） 来给出精彩的证明1lnx（ ）对原命题取对数，即只需证明 ，注意到 ，当且仅当lnix（ +） 1lnx（ ）x0 取等，那么当 x 趋近于 0，即 趋近于 时，有 ，即1limlixx（ +） 11limlinxx（ +） 这几个基本函数不等式可以衍生出一大批高考题，下面我们挑几道进行分析：例 5（2013 新课标全国卷 II）已 知 函 数 fx（ ） elnxm（ ）（1）设 x0 是 的 极 值 点 ， 求 m 并 讨 论 的 单 调 性f（ ） （ ）（2）证明：当 m2 时， 0fx（ ）第 一 问 很 简 单 ， 求 导 后 代 入 x
11、 0 求 出 m， 然 后 进 而 求 取 单 调 区 间第 二 问 我 们 根 据 不 等 式 来轻松秒杀.1ln（ ）因为 + -1，故 - - +1，当 + 1 取等，lnmx（ ） exl（ ） exxm令 - - +1，求导易得 在（0，+ ）单调增，在（-m，0）单调减g（ ） eg（ ） 故 2-m0，即 0，故 0minx（ ） （ ） fx（ ） （ ） fx（ ）评 注 ： 本 题 标 准 答 案 是 对 求 导 对 极 值 点 设 而 不 求 并 讨 论 其 存 在 性 最 后 得 出 答 案 ， 其 实 本 题本fx（ ）质 就 是 泰 勒 不 等 式 的 运 用 ，
12、标 答 只 起 了 欲 盖 弥 彰 的 作 用下 面 我 们 对 应 用 泰 勒 不 等 式 中 比 较 复 杂 的 形 式 进 行 讲 解 ：（ 2007 辽 宁 卷 节 选 ） 已 知 ，证明： fx（ ） 22e1xxtt（ +） fx（ ） 32由 （ 3） 式 可 知 - 1，那么 1，由不等式 ，得ex 2x（ ） 2ab（ ） + =122x（ ） 12xt（ ） +（ ） 2ext（ ） 2（ ） 2exxtt（ +）两边同时加 1 得原命题.评注：本题结合了基本不等式推论之一 ，在了解泰勒不等式时也需要对2ab（ ） 2课本知识牢牢掌握.例 6（2014 新课标全国卷一）已知
13、 ，证明： 1fx（ ） 12exlnfx（ ）分 析 ： 对 泰 勒 不 等 式 掌 握 很 好 的 同 学 应 该 会 发 现 ， 其 好 用 之 处 就 是 把 复 杂 函 数 的 证 明 问 题 转 化为 简 单 函 数 的 证 明 问 题 ， 本 题 出 现 多 个 复 杂 结 构 ， 故 需 要 多 次 运 用 这 几 个 不 等 式解 ： 原 不 等 式 两 边 同 时 乘 以 ， 即 证 ， 因 为 ， 故 只 需 证x1e2xxln1ex0，考虑到 0 恒 成 立 ， 故 只 需 证 0，因为 最小值在 x 等于1exxlnllne 处取到为- ，所以 0，考虑到前面的放缩不
14、可同时取等号，有 1.1elnx f（ ）评注：本题标答是一个巧妙的等价变换后再对新函数求导，这步非常不好想到，显然是命题人掩盖了他如何命制本题，以上解答过程反过来即为命题人命制此题的思路。并且里面有经常遇到甚至背得的 的单调性和最值，这也是基础的考察.xl例 7（2012 新课标全国卷）已知 -f（ ） 1exf（ ） 2fx（ 0）（ 1） 求 的 解 析 式 以 及 单 调 区 间fx（ ）（ 2） ， 求 的 最 大 值（ ） 2ab1b（ ）第 （ 1） 问 很 简 单 ， 求 导 后 对 x 赋 值 可 以 得 到 ， 求 导 后 易 得 单 调 区 间 （ -fx（ ） 21ex
15、， 0） 单 调 减 ， （ 0， + ） 单 调 增解 ： 由 题 ， 令 ， 0 等 价 于e1xab（ ） gx（ ） e1axb（ ） g（ ）若 在 R 单 调 增 ， 那 么 不 存 在 零 点g（ ） （ ）若 在 R 不 单 调 ， 那 么 其 极 小 值 0x（ ）对 求 导 ， 有 ， 当 -1 时 ， 0 恒 成 立 ， 在 R 单 调 增 ， 此（ ） gxea（ ） gxgx（ ）时 一 定 存 在 一 个 零 点 ， 不 符 合 题 意gx（ ）当 大 -1 时 ， 令 0， 则 ，agxln （ ）故 在 （ - ， ） 单 调 减 ， 在 （ ， + ）x（ ）
16、 1lna（ ） 1a（ ） 所 以 只 需 0 即 可 ， 即 - - 0.即 -（ （ ） ） （ ） （ ） ln（ ） b1a（ ） 2（ ）， 令 - ， 求 导 后 易 得 其 最 大 值 为 ， 故21a（ ） l（ ） hx（ ） 2（ ） 2（ ） （ ） ebmax（ ） e评 注 ： 12 年 全 国 卷 被 认 为 近 几 年 最 难 ， 但 你 只 要 站 在 命 题 者 的 角 度 去 看 待 问 题 ， 注 意 到 本 题 也是 通 过 泰 勒 公 式 改 编 ， 后 面 的 步 骤 就 顺 理 成 章泰 勒 公 式 除 了 舍 去 一 些 项 当 不 等 式 考
17、 察 ， 其 本 身 的 存 在 也 可 以 估 算 某 些 超 越 数 的 近 似 值 ， 所 以便 有 了 14 年 新 课 标 二 卷 的 这 道 题 ：例 8（ 2014 新 课 标 全 国 二 卷 节 选 ） 已 知 fx（ ） e2x已 知 1.4142 1.4143， 估 测 ln2 的 近 似 值 （ 精 确 到 0.001）解 法 一 ： 注 意 到 , ，lnx（ ）234.x1lx（ ） 234.x则 2（ + + +.） ， 取 前 3 项 令 x 得 ln2 2ln 0.6931l（ ） 35 1解 法 2： 令 ， 由 导 函 数 定 义 得 ， 则 ， 取 e，
18、得gx（ ） ln（ ） gyyx ， 取 2 -e， 则 ， 那 么 + ，e1y2e2（ ） eg（ ）即 1+ ， 即 ， 取 1.4142， e 2.718，2ln（ ） 3l2e2ln32e代 入 得 0.6937， 故 近 似 值 为 0.693.n解 法 3： 考 虑 到 ， 故 可 以 考 虑 求 取 在 （ 1， 2） 与 X 轴 围 成 曲 边 梯 形 面 积 近 似 值l21dxx提 示 ： 可 以 用 一 条 在 （ 1， 2） 里 和 近 似 的 抛 物 线 求 取 其 在 （ 1， 2） 的 积 分 逼 近 ln2 的 近 似 值 ，此 方 法 留 作 习 题 .评
19、 注 ： 解 法 一 活 用 了 泰 勒 公 式 ， 加 速 的 ln2 交 错 加 减 级 数 的 收 敛 速 度 ， 解 法 二 巧 妙 运 用 与 e 的值 近 似 ， 根 据 导 数 的 定 义 求 取 e 处 的 导 数 和 e 处 的 函 数 值 ， 用 导 数 为 切 线 斜 率 的 几 何 意 义 用 线 性运 算 求 出 函 数 在 时 的 近 似 值 ， 进 而 求 出 ln2 的 近 似 值 ， 解 法 3 参 考 了 数 学 分 析 里 求 积 分2近 似 的 例 题 。 而 标 准 答 案 一 看 就 是 根 据 泰 勒 公 式 求 出 近 似 值 后 对 结 论 强
20、 行 推 导 ， 里 面 的 放 缩 过程 极 其 不 好 想 到不 难 看 出 ， 近 几 年 新 课 标 全 国 卷 可 以 说 对 泰 勒 公 式“情 有 独 钟 ”， 将 近 10 年 依 旧 是 命 题 热 点 ， 故对 16 年 导 数 命 制 做 出 以 下 猜 测 ：1. 继 续 以 泰 勒 公 式 为 命 题 背 景2. 把 矛 头 转 回 微 分 中 值 定 理3. 考 察 两 个 重 要 极 限4. 回 归 高 中 初 等 数 学 （ 15 年 一 卷 二 卷 两 题 没 有 多 少 高 数 背 景 ， 以 课 本 里 核 心 知 识 考 察 ）这 4 个 方 向 在 最 近 新 课 标 各 地 区 模 拟 题 中 均 有 所 表 现 ， 备 考 时 可 以 考 虑 接 触 一 些 高 等 数 学 知 识 ，练 习 题 时 可 以 多 留 意 含 有 高 等 数 学 命 题 背 景 的 题祝 大 家 高 考 顺 利 ！参 考 资 料 ： 微 积 分 机 械 工 业 出 版 社 更 高 更 妙 的 高 中 数 学 思 想 与 方 法 蔡 小 雄 光 哥 数 学 八 日 谈 其 四 领 世 培 优 蒋 叶 光 数 学 分 析 第 四 版 上 册 -高 等 教 育 出 版 社 万 能 函 数 、 万 能 函 数 续 集 the verse
