1、Saturday, March 3, 2018,1,7、根轨迹的会合点和分离点：,若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。,实轴上的会合点和分离点,如图所示某系统的根轨迹，由开环极点 出发的两支根轨迹，随着 的增大在实轴上A点相遇再分离进入复平面。随着 的继续增大，又在实轴上B点相遇并分别沿实轴的左右两方运动。当 时，一支根轨迹终止于 另一支走向 。A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。,Saturday, March 3, 2018,2,7、根轨迹的会合点和分离点：,若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。,一般说来，若实轴上两相邻开环极
2、点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点； 如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。,实轴上的会合点和分离点,Saturday, March 3, 2018,3,分离点和会合点的求法：由重根法，求极值法和作图法等。,重根法：根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。,设系统开环传递函数为：,即,分离角：在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角 。 与相分离的根轨迹的支数k有关： 。,实轴上的会合点和分离点的求法,因闭环特征方程为：,设 时，特征方程有重根 ，则必同时满足,Saturday, March 3
3、, 2018,4,由此得：,即：,实轴上的会合点和分离点的求法,注意：由上式可求得的点是分离点和会合点必要条件，还需求出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点为分离会合点。,Saturday, March 3, 2018,5,极值法：以Kg为纵坐标，以实轴为横坐标，在根轨迹的分离点和会合点上，Kg具有极值。,实轴上的会合点和分离点的求法,即,Saturday, March 3, 2018,6,求分离回合点的另一个公式,实轴上的会合点和分离点的求法,Saturday, March 3, 2018,7,实轴上根轨迹区间是：,注意：分离点和会合点也可能出现在复平面上，由于根轨迹对称于实
4、轴，所以，复平面上的分离点和会合点必对称于实轴。,显然，分离回合点为-0.4725，而-3.5275不是分离回合点。,闭环特征方程为：,Saturday, March 3, 2018,8,8、根轨迹的出射角和入射角：,当开环零、极点处于复平面上时，根轨迹离开的出发角称为出射角；根轨迹趋于复零点的终止角成为入射角。,图中有四个开环极点，一个开环零点。 为共轭极点，现计算 的出射角。设为 。,在离开 附近的根轨迹上取一点s1,则s1点应满足相角条件：,当 时， 即为离开根轨迹上 的出射角， ，则：,根轨迹的出射角和入射角,Saturday, March 3, 2018,9,式中： 为除了 以外的开
5、环极点到 的矢量的相角； 为开环零点到 的矢量的相角。,同样，进入复零点 的根轨迹入射角 为：,式中： 为除了 以外的开环零点到 的矢量相角； 为各开环极点到 的矢量相角。,的出射角应与 的出射角关于实轴对称。,根轨迹的出射角和入射角,Saturday, March 3, 2018,10,例4-5如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的出射角。,解：,Saturday, March 3, 2018,11,9、根轨迹和虚轴的交点：,根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。这时的增益 称为临界根轨迹增益。,交点和 的求法：,在闭环特征方程中令 ，然后使特征方程的实、
6、虚部为零即可求出 和 。,由劳斯稳定判据求解。,根轨迹和虚轴的交点,Saturday, March 3, 2018,12,方法一：闭环系统的特征方程为：,将 代入得：,例4-6开环传递函数为： ，试求根轨迹与虚轴的交点和 。,当 时， 为根轨迹的起点（开环极点）,当 时， ，即根轨迹与虚轴的交点为 。,Saturday, March 3, 2018,13,方法二：用劳斯稳定判据确定 的值。,劳斯阵列为：,劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。劳斯阵列中可能全为零的行有二。,共轭虚根为辅助方程 的根。,1、令 ，得临界增益为：,2、令 ，得 （开环极点）。,Saturday, Mar
7、ch 3, 2018,14,10、闭环系统极点之和与之积：,开环传递函数为：,闭环系统的特征方程为： ，即：,(1),设闭环系统的极点为： ，则,(2),闭环系统极点之和与之积,Saturday, March 3, 2018,15,比较（1）、（2）式得：,当n-m=2时， ，即：,闭环极点之积为：,根据上述10个性质（或准则），可以大致画出根轨迹的形状。为了准确起见，可以用相角条件试探之。,闭环系统极点之和与之积,当有为零的开环极点：,Saturday, March 3, 2018,16,根轨迹作图步骤,一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；二、实轴上的根轨迹；三、n-m条渐近线；
8、四、根轨迹的出射角、入射角；五、根轨迹与虚轴的交点；六、根轨迹的分离点、会合点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。,Saturday, March 3, 2018,17,渐近线,例开环传递函数为： ，画根轨迹。,出射角 ，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：,Saturday, March 3, 2018,18,求分离会合点：由特征方程,由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。,Saturday, March 3, 2018,19,
9、渐近线,例开环传递函数为： ，画根轨迹。,出射角 ，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：,Saturday, March 3, 2018,20,求分离会合点：由特征方程,由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点。,Saturday, March 3, 2018,21,渐近线,例开环传递函数为： ，画根轨迹。,出射角 ，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得： ，,Saturday, March 3, 2018,22,求分离会合点：由特征方程,由图知这点在根轨迹上，所以是分离会
10、合点。而且是三重根点。此时分离角为,Saturday, March 3, 2018,23,二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定,利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。,以二阶系统为例：,闭环传递函数为,共轭极点为：,在s平面上的分布如右图：,闭环极点的张角 为：,所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。,Saturday, March 3, 2018,24,我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：,Saturday, March 3, 2018,25,1,2,3,Saturday, March 3, 2018,26,作业,P161 4-3(1)(2)(3)P161 4-4(1)(2),
