1、1 自动控制原理 频域分析部分 航空航天学院肖刚 2 第四章根轨迹法 4 1闭环系统的根轨迹4 2绘制根轨迹图的基本规则4 3控制系统性能的根轨迹分析 3 1 寻找满足幅角条件所有的s点 由这些点构成根轨迹 2 根据幅值条件确定对应点 即特征方程根 处的K1值 以开环根迹增益K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则 1 根轨迹的起点和终点起点 起始于开环传递函数的极点 终点 终止于开环传递函数的零点 包括m个有限远的零点 简称有限零点 和 n m 个无限远的零点 简称无限零点 当变化时 整个根轨迹的趋向由起点移向终点 即由开环的极点移向开环的零点 4 2绘制根轨迹的规则 4 起点 因为当时 说明根
2、轨迹起始于开环传递函数的极点 n阶系统共有n个开环极点 每个开环极点都对应根轨迹的一个起点 所以共有n个起点 4 2绘制根轨迹的规则 5 终点 1 有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点 当时 我们把这m个零点称之为系统的有限零点 2 有 n m 条根轨迹终止于开环传递函数的 n m 个无限零点 当时 上式表明 有n m条根轨迹的终点在无穷远处 我们把无穷远处的零点称之为无限零点 4 2绘制根轨迹的规则 6 综上所述 系统共有n个开环零点 其中m个为有限零点 n m 个为无限零点 每个开环零点都对应根轨迹的一个终点 所以共有n个终点 2 根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环的极点数
3、我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支 由前面的分析可知 n阶系统有n个根轨迹的起点和终点 所有的根轨迹都是有头有尾 有始有终 所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数 4 2绘制根轨迹的规则 7 3 根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴 特征方程的根或为实数 或为复数 必对称于实轴 4 根轨迹的渐近线 s 处的根轨迹特征 渐近线共有 n m 条 且相交于实轴上的同一点 渐近线于实轴的夹角 k 0 1 2 渐近线与实轴的交点 4 2绘制根轨迹的规则 8 1 根轨迹渐近线的倾角根据幅角条件 当时 零点 极点与矢量复角可近似看成相等得到所以渐近线的倾角 因共有 n m 条渐近线 所以只要取 n
4、m 个不同的倾角即可 4 2绘制根轨迹的规则 9 2 渐近线与实轴的交点幅值条件 当 则对应于 此时 上式可写成 上式左边展开 上式右边展开比较对应s幂项系数相等 求得 所以渐近线相交于同一点 4 2绘制根轨迹的规则 10 五 根轨迹在实轴上的分布实轴上凡有根轨迹的线段 其右侧的开环零点 极点之和必为奇数 在s 0与s z1之间的实轴上任取一个试验点s1加以说明 4 2绘制根轨迹的规则 11 例 已知 试画出根轨迹的大致图形 解 按根轨迹绘制的规则 1 起点 0 1 2 终点 2 分支数 n 3 3 根轨迹对称于实轴 4 渐近线 因为本系统中 所以渐近线共有3条 渐近线的倾角 取k 0 1 2
5、 得到 4 2绘制根轨迹的规则 12 渐近线与实轴的交点 5 根轨迹在实轴上的分布 0 1 2 之间 4 2绘制根轨迹的规则 13 6 根轨迹在实轴上的分离点与会合点分离点或会合点的必要条件 式中 4 2绘制根轨迹图的基本规则 14 设系统的开环传递函数 4 2绘制根轨迹图的基本规则 15 根轨迹在s平面上相遇 表明系统有相同的根 即根轨迹上的分离点 或会合点 与特征方程式的重根相对应 若为二重根 必同时满足和 因此求得 消去 可得到 便于忘记 上式又可写成 或以上分析没有考虑 且为实数 的约束条件 所以只有满足的这些解 才是真正的分离点 或会合点 4 2绘制根轨迹图的基本规则 16 例 设系
6、统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点 解 系统的开环传递函数 求得 代入特征方程1 G s H s 0检验 s1代入 求得 K 0 故舍去 s2代入 求得K 0 所以s2会合点 舍去 4 2绘制根轨迹图的基本规则 17 检验K1只要得到的符号即可 不必出具体的数值 一般来说 如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点 零点 之间 则个分离点 会合点 如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间 则或者既不存在分离点 也不存在会合点 或者既存在分离点 又存在会合点 4 2绘制根轨迹图的基本规则 18 四重分离点复数分离点 4 2绘制根轨迹图的基本规则 19 另外两种表达形式 1 因为令 即得到 4
7、 2绘制根轨迹图的基本规则 20 仍以上例说明 因为令求得 舍去 4 2绘制根轨迹图的基本规则 21 2 因为即其中即所以 4 2绘制根轨迹图的基本规则 22 仍以上例说明 因为消去分母解上式得到经检验 s2是根轨迹在实轴上的分离点 对于采用上述三种方法 所得结果完全一致 由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的 所以求得的结果一定要检验 舍去K 0所对应的值 舍去 4 2绘制根轨迹图的基本规则 23 复杂情况用试探法 在 2 3之间存在一个分离点 所以分离点的位置为 4 2绘制根轨迹图的基本规则 24 7 根轨迹的出射角与入射角若根轨迹的一个分支离开复极点的出射角为 则 各零点到的向量幅角
8、之和 其它各极点到的向量幅角之和 若根轨迹的一个分支终止于复零点的入射角为 则 各极点到的向量幅角之和 其它各零点到的向量幅角之和 4 2绘制根轨迹图的基本规则 25 出射角 或入射角 是指根轨迹离开复极点 或终止复零点 处切线的倾角 在根轨迹曲线上取试验点s1 与复极点 pa的距离为 当时 可近似地认为s1在切线上 切线的倾角就等于复极点的出射角 所以的出射角 4 2绘制根轨迹图的基本规则 26 8 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程的值 工作在此点时 系统处于临界稳定状态 介绍常用的三种方法 1 利用特征方程求取 用替代s 令虚部 实部分别等于零 求得和对应的K1 2
9、利用劳斯阵列求取 将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助方程求得 若根轨迹与虚轴的交点多于两个 则应取劳斯阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得 3 利用试探法求取 先给出根轨迹的大致图形 根据经验选择满足幅角条件的试探点求出 再利用幅值条件确定交点处的K1值 4 2绘制根轨迹图的基本规则 27 例系统的开环传递函数为试绘制根轨迹图解 开环极点 0 3 1 j 1 j开环零点 4个无限零点 1 渐近线 应有n m 4 0 4条渐近线 渐近线的倾角 渐近线与实轴的交点 2 实轴上的根轨迹 0 3 4 2绘制根轨迹图的基本规则 28 3 分离点 利用试探法求得 4 极点 p3的出射角 不难求得极
10、点 p1 p2 p4到 p3的幅角分别 所以同理不难求得极点 p4处的出射角 5 根轨迹与虚轴的交点 方法一 由特征方程求 特征方程 4 2绘制根轨迹图的基本规则 29 实部方程 虚部方程 解得 方法二 由劳斯阵列求 列出劳斯阵列令s1行首项为零 即求K1 8 16得 再根据行s2系数得到辅助方程 舍去 4 2绘制根轨迹图的基本规则 30 9 根轨迹的走向当n m 2满足时 随着K1增加 一些根轨迹分支向左方移动 则另一些根轨迹分支将向右方移动 开环传递函数 特征方程 当满足n m 2时 上式sn 1项将没有同次项可以合并 通常把称之为极点的 重心 4 2绘制根轨迹图的基本规则 31 当K1变
11、化时 极点的重心保持不变 所以 为了平衡 重心 的位置 当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时 另一部分根轨迹将向右方移动 例 4 2绘制根轨迹图的基本规则 32 10 根轨迹上K1值的计算根轨迹上任一点S1处的K1可由幅值条件来确定 即 4 2绘制根轨迹图的基本规则 33 绘制根轨迹图的十条规则 34 绘制根轨迹图的十条规则 35 例 系统的开环传递函数试画根轨迹 并确定时K1的值 解 只对根轨迹曲线的特征点进行分析 1 渐近线 3条 渐近线的夹角 渐近线与实轴的交点 2 分离点 即 舍去 4 2绘制根轨迹图的基本规则 36 3 与虚轴的交点系统的特征方程 s s 4 s 6 K1 0令代入 求得实部方程 虚部方程 解得 舍去 4 确定时的K1值 过原点作OA射线交根轨迹于A 使得 测量得 求得 4 2绘制根轨迹图的基本规则 37 A点对应的坐标 即闭环的一个极点位置 K1 44 5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点 1 57处对应的K1 17 5 2绘制根轨迹图的基本规则 38 习题 4 2绘制根轨迹图的基本规则
