1、合肥学院大学物理自主学习材料第九章机械振动-1大学物理学机械振动自主学习材料一、选择题9-1一个质点作简谐运动，振幅为 A，在起始时质点的位移为 ，且向 x 轴正方向运动，2A代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】9-2已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x 的单位为 cm，t的单位为 s）为（ ）（A） ；2co()3t（B） ；sx（C） ；42c()t（D） 。os3x【考虑在 1 秒时间内旋转矢量转过 ，有 】439-3两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示，的相位比 的相位（ ）1x2（A）落后 ； （B）超前 ； （C）落后 ；
2、 （D）超前 。【显然 的振动曲线在 曲线的前面，超前了 1/4 周期，即超前 】1x2x/29-4当质点以频率 作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。24【考虑到动能的表达式为 ，出现平方项】221sin()kEmvkAt9-5图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）（A） ； （B） ； 322（C） ； （D） 。0【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差 ，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】9-1一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移，测得其振动周期为 T，
3、然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为 ，则T为（ ）/Tx2AO()()Bx2OAx2A()CxAO()D()xcm)(sto211xto12xt1x2A2Om合肥学院大学物理自主学习材料第九章机械振动-2（A） ； （B） ； （C） ； （D ） 。21212【弹簧串联的弹性系数公式为 ，弹簧对半分割后，其中一根的弹性系数为 ，两弹簧并联1k串 2k后形成新的弹簧整体，弹性系数为 ，公式为 ，利用 ，考虑到 ，所以，412k并 mT】24mTTk9-2一弹簧振子作简谐运动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的（ ）（A） ；（B） ；（C） ；（D
4、） 。1234【考虑到动能的表达式为 ，位移为振幅的一半时，有221sin()kEvkAt，那么， 】,3t)9-3两个同方向，同频率的简谐运动，振幅均为 A，若合成振幅也为 A，则两分振动的初相位差为（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。6322【可用旋转矢量考虑，两矢量的夹角应为 】39-10如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为 和 ，物体在光滑平面上作简谐振动，1k2则振动频率为：（ ）（A） ；（B） ；12km12()（C） ；（D） 。1212k【提示：弹簧串联的弹性系数公式为 ，而简谐振动的频率为 】12串 12km9-15一个质点作简谐振动，周期为 T，当质点由平
5、衡位置向 x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为：（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。/4T/6/8/T【提示：由旋转矢量考察，平衡位置时旋转矢量在 处，最短时间到 最大位移处为 ，那么，旋转2123矢量转过 的角度，由比例式： ，有 】6:2tT1t9-17两质点作同频率同振幅的简谐运动，M 质点的运动方程为，当 M 质点自振动正方向回到平衡位置时，1cos()xAtN 质点恰在振动正方向的端点。则 N 质点的运动方程为：（ ）（A） ；（B） ；2)2t2cos()2xAt（C） ；（D） 。cos(x【提示：由旋转矢量知 N 落后 M
6、质点 相位】1k2OMNx合肥学院大学物理自主学习材料第九章机械振动-3xto0.1.35799-28分振动方程分别为 和 （SI 制）13cos(50.2)xt24cos(50.7)xt则它们的合振动表达式为：（ ）（A） ； （B） ；2cos(50.2)xt)（C） ； （D） 。14an37【提示：见图，由于 x1 和 x2 相位相差 ，所以合振动振幅可用勾股定理求出；/合振动的相位为 ，而 】/4rct13一弹簧振子，当把它竖直放置时，作振动周期为 T0 的简谐振动。若把它放置在与竖直方向成 角的光滑斜面上时，试判断下列情况正确的是：（ ）（A）在光滑斜面上不作简谐振动；（B）在光滑
7、斜面上作简谐振动，振动周期仍为 T0；（C）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期为 ；/cos（D）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期为 。【提示：由题意弹簧振子竖直放置时的周期为 ，但此弹簧水平放置时周期仍为 ，02/mk2/mk所以弹簧振子的 是固有周期】0T14两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为 和 ，且1l2=2 ，两弹簧振子的周期之比 T1：T 2 为： （ ）1l2（A）2； （B） ； （C） ； （D） 。/【提示：可由弹簧的伸长量求出相应的劲度系数 ，再利用 判定】kkm二、填空题9-4一质点在 Ox 轴上的 A、B 之间作简谐运动，O 为平衡位置，质点
8、每秒往返三次，若分别以x1、x 2 为起始位置，则它们的振动方程为：（1） ；（2） 。【提示：O 为平衡位置，A、B 之间振动，振幅为 2cm；每秒往返三次，说明 ，有 ，x 1 为36起始位置时，初相位的旋转矢量在第三象限与水平轴成 的位置，所以 ，则604；同理，x 2 为起始位置时，初相位的旋转矢量在第 4 象限与水平轴成 角140.2cos(6)3xt 0的位置，所以 ，则 】0.cos()3t9-5由图示写出质点作简谐运动的振动方程：。【提示：图中可见振幅为 0.1，周期为 8 秒，旋转矢量初相位在 1 秒后（即 后）达最大，则初相位在第 4 象限与水平轴成 角的位置，/8T451
9、cm2AOBx1x452x1合肥学院大学物理自主学习材料第九章机械振动-4所以 ，则 】40.1cos()4xt9-6有两个简谐运动，其振动曲线如图所示，从图中可知A 的相位比振动 B 的相位 ， 。AB【提示：图中可见 A B， 应为负值， 】落 后 29-20如果地球上的秒摆在月球上的周期为 4.9 秒，地球表面的重力加速度取 9.8m/s2，月球上的重力加速度为 。【秒摆在地球上的周期为 2 秒，由单摆的周期公式： 知 ，可见2lTg24lTg月】21.63/ms5一单摆的悬线长 l，在顶端固定点的铅直下方 l/2 处有一小钉，如图所示。则单摆的左右两方振动周期之比 T1/T2 为 。【
10、由单摆的周期公式： 知左边 ，可见 T1/T2 】2lTglg6有两个相同的弹簧，其倔强系数均为 k， （1）把它们串联起来，下面挂一个质量为 m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；（2）把它们并联起来，下面挂一质量为 m的重物，此系统作简谐振动的周期为 。【提示：（1）弹簧串联公式为 ，得 ，而周期公式为 ，有12k串 k串 2Tk串；（2）并联公式为 ，可得 ，有 】mk12并 并 并 m7一弹簧振子作简谐振动，其振动曲线如图所示。则它的周期 ，其余弦函数描述时初相位 = 。T【提示：由旋转矢量图，考虑在 2 秒时间内旋转矢量转过 ，32有 ，可算出周期 ，图中可见初相位 】1241s8
11、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 0.2 m，合振动的位相与第一个简谐振动的位相差为 /6，若第一个简谐振动的振幅为 m，则第二个简谐振动的振幅为 3/10，第一、二两个简谐振动的位相差为 。【提示：合振动的振幅与第一个简谐振动的振幅恰满足 ，可知第二个简谐振动与合振动的cos2llxtoBA2A)(x)(sto42合肥学院大学物理自主学习材料第九章机械振动-5位相差为 /3，由勾股定理知第二个简谐振动的振幅为 ；第一、二两个简谐振动的位相差为 】0.1m/29若两个同方向不同频率的谐振动的表达式分别为 和 ，1cos0xAt2cos1xAt则它们的合振动频率为 ，每秒的拍数为 。
12、【提示：由和差化积公式，有 ，1202cosxAtttt所以，合振动频率为 ，合振动变化频率（即拍频）为 ，即 】5.Hz1Hz/拍 秒10质量为 m 的物体和一轻弹簧组成弹簧振子其固有振动周期为 T，当它作振幅为 A 的自由简谐振动时，其振动能量 。E【提示：振动能量的公式为 ，而 ，有 】221AkE22m11李萨如图形常用来对于未知频率和相位的测定，如图所示的两个不同频率、相互垂直的简谐振动合成图像，选水平方向为 振动，x竖直方向为 振动，则该李萨如图形表明 。y:xyT【提示：李萨如图形与 x 的水平方向有 2 个切点，与 y 的竖直方向有 3 个切点，表明 】:xyT2:3三、计算题
13、9-14某振动质点的 x-t 曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点 P 对应的相位；（3）到达 P 点相应位置所需的时间。9-18如图为一简谐运动质点的速度与时间的关系图，振幅为 2cm，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程。9-23一质量为 M 的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为 k。现有一质量为 m 的物体自离盘h 高处自由下落，掉在盘上没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点，求盘子的振动表达式。 （取物体掉入盘子后的平衡位置为坐标原点，位移以向下为正。 ）9-25质量 m=0.10kg 的物体以 A=0.01m 的振幅作简谐振动，其最大加速度为
14、 4.0ms-2，求：（1）振动周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？（4）当物体的位移为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？9-27质量 m=10g 的小球与轻弹簧组成的振动系统运动方程为 cm，0.5cos(8)3xto4A/ts/xmP0.15/tso1/vcms.53Mhkp合肥学院大学物理自主学习材料第九章机械振动-6求（1）振动的角频率、周期、振幅和初相位；（2）振动的能量；（3）一个周期内的平均动能和平均势能。9-28有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表式为：， （SI 制）130.5cos4xt210.6cos4
15、xt（1）求它们合成振动的振幅和初相位。（2）若另有一振动 ，问 为何值时， 的振幅为最大；330.7cos(1)xt331x为何值时， 的振幅为最小。329-35在一个 振荡电路中，若电容器上的电容 ，两极板上的交变电压为LC710CF伏特，若电路中的电阻忽略不计，求：（1）振荡的周期；（2）电路450cosut的自感；（3）电路中电流随时间变化的规律。答案一、选择题：B D B C D D D C B D C C B B三、计算题9-14解：先做出旋转矢量图：可见 4 秒的时间旋转矢量转过 的角度，因此，32有 ；5t（1）简谐运动方程的标准式为： ，x-t 曲线图中可见 ，旋转cos()
16、xAt0.1Am矢量图可见 ， ；350.1243m（2）旋转矢量图可见 ；P（3）旋转矢量图可见，到达 P 点相应位置转过 ， 。/8()5ts9-18解：首先注意到所给的图像是 v-t 图，简谐运动的速度表达式为 ，sin()A注意到题设条件“简谐运动振幅为 2cm”，有：1.5；max/vA（1）利用 有 ；2/T4/3（2）由 有 ；a 2max.5cs（3）简谐运动的速度表达式为 ，in()vAt做一个 的旋转矢量图与 v-t 图对应，考虑到与 v 方程sin中有负号，可见， ， ，7653si1./tcms4A/ts/xmP0.15/tso1vcs.52 2A合肥学院大学物理自主学
17、习材料第九章机械振动-7由简谐运动方程的标准式 有： 。cos()xAt52cos(1.)6xtcm9-23解：与 M 碰撞前，物体 m 的速度为 0mvgh由动量守恒定律： ，有碰撞后的速度为：0()v0 2mvgh碰撞点离开平衡位置距离为 0xk碰撞后，物体系统作简谐振动，振动角频率为 kmM由简谐振动的初始条件， 得：000cos, sinxAvA2220()2()() 1()ghvmgkhAxkkkmgM02tan()ghvkxmgk振动表达式为： 1022cos()1cos tan() ()gkhkkhxAtkMgmMg 9-25解：（1）由 有 ， ；2maxAmax/20A0T（
18、2） ，再利用 ，取振动在平衡2310EJ总 21sin()kEt位置的相位，即 时，有 ；()t3J（3）动能和势能相等 ，而简谐振动特征， ，得：22vkx2221mvkxA ；221kxA 30.7.10xA（4）当 时，利用简谐振动方程 求出相位：cos()xt，有 （一个周期内） ，则 ，1cos()2t245(),3t 23sin()4tMhk合肥学院大学物理自主学习材料第九章机械振动-8，利用 ， ，21cos()4t21sin()kEmAt21cos()PEmAt考虑到 2EA总有： ， 。3/k总 /4P总9-27解：（1）由运动方程可见： ， ， ，820.5Ts310Am
19、；3（2）利用 ，有 ；2EmA总 261EJ总（3）利用 ，有：1sin()kt，有220ik tdt201cos24kmAEd可得： ；226410kmAEJ同理： ，有2201cos()()Ptdt201cos24PmAEd可得： 。22641AEJ9-28解：根据题意，画出旋转矢量图（1） 2210.5.60.78()m， ；25tan 39.846A24（2） ；3112 ,4x振 幅 最 大。3 2353(), 4x或 时 振 幅 最 小9-35解：（1）振荡的周期可由交变电压的角频率求出： ，有410；420Ts（2）再由 ，有 ，可得： ；LC24T120LHA214xo合肥学院大学物理自主学习材料第九章机械振动-9（3）由 ， 有dqitCu44450cos1501sin0ditCtt （或为 ）24510sini tA 4.7initA
