1、t（s ）v（m.s -1）12mvo1.3 题图第三章 机械振动一、选择题1 质点作简谐振动，距平衡位置 2。0cm 时，加速度 a=4.0cm ,则该质点从2/s一端运动到另一端的时间为（ C ）A:1.2s B: 2.4s C:2.2s D:4.4s解：sTtTxaa2.42,2, 2一个弹簧振子振幅为 ,当 时振子在 处，且向正方向10mt 21.0mx运动，则振子的振动方程是： A A： ； 2cos()3xtB： ； 106C： ；2cs()xtD： ；om解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为： 33用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间（vt）关系曲线如图示，则振动的初相位为
2、： A A： ； B： ； C： ；632D： ； E：256解：振动速度为： max0sin()vt时， ，所以 或0t01sin2056由知 1.3 图， 时，速度的大小是在增加，由旋转矢量图t知，旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有是符合条件的。064某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移 1 毫米，测得此钟每分快 0。1 秒，则此钟摆的摆长为（ B ）A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm解：单摆周期 两侧分别对 T，和 l 求导，有：,
3、2glTcmdld 306)1.0(1, 1.2 题图xyoxy二、填空题1有一放置在水平面上的弹簧振子。振幅 A = 2.0102 m 周期 T = 0.50s , 根据所给初始条件,作出简谐振动的矢量图 , 并写出振动方程式或初位相。(1) 时物体在正方向端点，其振动方程为0t2.1cos4xt（2） 物体在负方向端点，其初位相为t （3） 物体在平衡位置，向负方向运动，0其初位相为 /（4）物体在平衡位置，向正方向运动，其初位相为 /（5）物体在 x = 1.0102 m 处向负方向运动，其初位相为 /3（6）物体在 x = 1.0102 m 处向正方向运动，其初位相为 5/32一竖直悬
4、挂的弹簧振子，平衡时弹簧的伸长量为 x0 ，此振子自由振动的周期为0g解： ，0kx02xTkg3自然长度相同，劲度系数分别为 K1， K2 的弹簧，串联后其劲度系数为 1/K=1/K1+1/K2，并联后劲度系数为 K=K1+K2。解：弹簧串联，其劲度系数为 K设弹簧伸长 x,两弹簧分别伸长 x1,x2,则有：21212121kxxkF弹簧并联，其劲度系数为 K设弹簧伸长 x，21kF4一质点作简谐振动，在同一周期内相继通过相距为 11cm 的 A,B 两点，历时 2 秒，速度大小与方向均相同，再经过 2 秒，从另一方向以相同速率反向通过 B 点。 该振动的振幅为 778cm,周期为 8s 。
5、解：将题中三状态在旋转矢量图中用 OA,OB,OC 表示，图中 A,B 相位差为 B,C 相,位差为 ，状态经历时间为 st21由旋转矢量图34 652 1x/10-2m2 题图cmxAtTsttT78.cos5.2/1482,12125简谐振动的总能量是 E，当位移是振幅的一半时， ， ，当 kE34P14xA时， 。2kP解：当位移是振幅的一半时， 43,12,2EkAxExkp当 ,2Ax kppkE,122三、计算题 一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为 a 。今用手指沿坚直方向将其慢慢压下，使 其浸入部分的高度为 b ，然后放手让其运动。试证明：若不计水对木块的粘滞阻力，木块运动
6、是简谐振动并求出周期及振幅。（提示：建立坐标系如图，写出木块对平衡位置位移为 x 时的动力学方程 。 ）证明,选如图坐标系:，静止时 : (1)mgS任意位置时的动力学方程为： -(2)2dxt将(1)代入(2)得 2d()gSxat令 ，则 ，上式化为：yxa2dyt2dygSt令 得: -(3)2m20上式是简谐振动的微分方程,它的通解为: 0cos()yAt所以木块的运动是简谐振动.振动周期: 2aTgS时， ， ， 振幅:0txb0ya0v20vAyba2如图，一劲度系数为 k，小球质量为 m 的弹簧振子，在水平面上绕 O 点以匀角速度 作圆周运动，设弹簧原长为 l求：1，弹簧振子劲度
7、系数如何，方作简谐振动？2，作简谐振动的周期为多少？解：设平衡位置距 O 点为 0x20)(lxk20m当质点偏离平衡位置 x，运动方程为：22222 2000)()()(mkTxkdtxdtdtxmlxk为时 ， 作 谐 振 动 ， 其 周 期当3.如左图示，质量为 10g 的子弹，以 500ms-1 的速度射入木块中，使弹簧压缩从而作简谐振动，若木块质量为 4.99kg ，弹簧劲度系数为 810 3 Nm-1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为 x 轴正方向，求：简谐振动方程。解：第一阶段是碰撞过程, 此过程进行得很快，认为此阶段弹簧还没有变形,则此阶段动量守恒: () (1)mv
8、v第二阶段是弹簧的振动阶段，而且初始条件为：3-10105msx 所以有： 得：22()kAv2.510mAvk在 t=0 时,振子向左 (正方向)运动，所以：振子的角频率为 -14rads振子的方程: 2.510cos(4)xt4如下图示：弹簧振子（k、M）光滑平面上作谐动，振幅为 A。一质量为 m 的粘土，Mk3 题图vm从高处自由落下粘在 M 上，求：（1）则振子的振动周期变为多少？。（ ）若粘土是在 M 通过平衡位置时落在其上的，则其后振动振幅 与原振幅 A 比是多少？（3）若粘土是在 M 通过最大位移时落在其上的，则其后振动振幅 与原振幅 A之比为多少？：解：（1）若黏土在 M 通过
9、平衡位置时落在其上：落在其上的过程看成是碰撞过程，在水平方向无外力，动量守恒：设碰前速率是 ，碰后v速率是 ，则有：v-（1）()mv所以初始条件为： 0xvvM由 得：20Ax2221()vvmvkk 原来的振幅为： 所以：AA22MMmv（2）若黏土在 M 通过平衡位置时落在其上：落在其上的过程看成是碰撞过程，在水平方向无外力，动量守恒：设碰前速率是 0，碰后速率也是 0，所以初始条件为：所以：0xAv20vxA1:5已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为 x 1= 0.05cos (10 t + 0.75 ) , 求：2.6cos(1.25)(SIt(1) 合振动的初相及振幅. (2) 若有另一同方向、同频率的简谐振动 x 3 = 0.07cos (10 t + 3 ), 则当 3 为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又 3 为多少时 x 2 + x 3 的振幅最小?解：（） 070.5由： 得：2112cosAAm.5.6.8120siniarct arctn(1)s（）当 时，合振幅最大；当 时，合振幅最小，所以2k2k当 时， 振幅最大，当 时， 振幅最小。3.7513x3.532xhMk4 题图
