1、 指数函数及其性质【知识梳理】1指数函数的定义函数 ( 且 )叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 .xya01xR2指数函数的图象和性质 1a01a图 象定义域 R值域 0,过定点 过点 即 时，1xy1性 质单调性 是 上的增函数R是 上的减函数【常考题型】题型一、指数函数的概念【例 1】 (1)下列函数： ； ； ； .23xy1xy3xy3其中，指数函数的个数是( )A B01C D23(2)函数 是指数函数，则( )2xyaA 或 B131aC D 且0解析 (1)中， 的系数是 ，故不是指数函数；x2中， 的指数是 ，不是自变量 ，故不是指数函数；13xy1xx中， 的系数
2、是 ，幂的指数是自变量 ，且只有 一项，故是指数函数；3x中， 中底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数所以只有是指数函3数(2)由指数函数定义知 ，所以解得 .210a且 3a答案 (1)B (2)C【类题通法】判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数 ，且 .0a1(2) 的系数为 .x(3) 中“ 是常数” ， 为自变量，自变量在指数位置上yx【对点训练】下列函数中是指数函数的是_( 填序号) ； ； ； ；2xy12xy2xyxy ； .13x3解析：中指数式 的系数不为 ，故不是指数函数；中 ，指数式2x11
3、2xxy的系数不为 ，故不是指数函数；中底数为 ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数2x1x函数；中指数不是 ，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是x指数函数故填.答案：题型二、指数函数的图象问题【例 2】 (1)如图是指数函数 ， ， ， 的图象，则 ，xyaxbxycxda， ， 与 的大小关系为( )bcd1A 1abcdBCD 1abdc(2)函数 ( ， 且 )的图象过定点_3xy0a1解析 (1)由图象可知的底数必大于 ，的底数必小于 .1过点 作直线 ，如图所示，在第一象限内直线 与各曲线的交点的纵坐标即1,0 x为各指数函数的底数，则 ， ，从而可知 ，
4、 ， ， 与 的大小关系为1dc1baabcd.badc(2)法一：因为指数函数 ( ，且 )的图象过定点 ，所以在函数xy00,1中，令 ，得 ，即函数的图象过定点 3xy3x1434法二：将原函数变形，得 ，然后把 看作是 的指数函数，所以当3xayx时， ，即 ， ，所以原函数的图象过定点 0yy,答案 (1)B (2) 3,4【类题通法】底数 对函数图象的影响a(1)底数 与 的大小关系决定了指数函数图象的“升降” ：当 时，指数函数的图象a1 1a“上升” ；当 时，指数函数的图象“下降” 0(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是 ，还是 ，在第一象限内0底数越大，函数图象
5、越靠近 轴y当 时，1ab若 ，则 ；0x1xb若 ，则 .0x10xba当 时，a若 ，则 ；x若 ，则 .0x1ba【对点训练】若函数 ( ，且 )的图象不经过第二象限，则有 ( )xy0aA 且 B 且1ab1bC 且 D 且00解析：选 D 由指数函数图象的特征可知 时，函数 ( ，且a1xyab0)的图象必经过第二象限，故排除选项 B、C.又函数 ( ，且 )的1a xa图象不经过第二象限，则其图象与 轴的交点不在 轴上方，所以当 时，y，即 ，故选项 D 正确.0yb0b题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题【例 3】 求下列函数的定义域和值域：(1) ；(2) ；(3) .13
6、xy142xy23xy解 (1)要使函数式有意义，则 ，即 ，0x013x因为函数 在 上是增函数，所以 ，xyR故函数 y 的定义域为 13,因为 ，所以 ，所以 ，0xx013x所以 ，即函数 的值域为 ,y0,1(2)要使函数式有意义，则 ，解得 ，所以函数 的定义域为4x4x142xyR4x因为 ，所以 ，即函数 的值域为 10142x142xy01且(3)要使函数式有意义，则 ，解得 ，所以函数 的定义域为0xx23xy而 ，则函数 的值域为 0x23y123xy1【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是 型还是 型，前xyaf
7、xya者的定义域是 ，后者的定义域与 的定义域一致，而求 型函数的定义域时，Rfxf往往转化为解指数不等式(组 )(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为 ，切记准确运用指数函数的单调性0,【对点训练】求函数 的定义域和值域231xy解：定义域为 .R ， .22314xx231x416 又 ，函数 的值域为 21023xy0,【练习反馈】1已知 ，则指数函数 ， 的图象为( )0nmxymxyn解析：选 C 由于 ，所以 与 都是减函数，故排除 A、B，作01mnxymxn直线 与两个曲线相交，交点在下面的是函数 的图象，故选 C
8、.1x2若函数 是实数集 上的增函数，则实数 的取值范围为( )12xyaRaA. B,0C. D.1,21,2解析：选 B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集 上的增函数，所以底数R，解得 .a03指数函数 的图象过点 ，那么 _.yfx2,424f解析：设 ( 且 )，a1又 ，24f .2346答案： 64函数 ， 的值域为_13xf1,2解析： ， .2x39x .8193值域为 .,2答案： 8,95已知函数 ( )的图象经过点 ，其中 且 .1xfa012,0a1(1)求 的值；a(2)求函数 ( )的值域yfx解：(1)因为函数图象过点 ，12,所以 ，则 .21a(2) ( )，1xf0由 得， ，0x于是 .1122x所以函数的值域为 0,您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。
