1、 高考数学复习专题1.3 基本初等函数1.3.1 指数函数指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方,1nxaRxnNxan根当 是奇数时， 的 次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的an次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示；0 的 次方根是 0；负nnan数 没有 次方根a式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 为奇数时，n an为任意实数；当 为偶数时， 0a根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ()nn|(0) naa（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是： 且 0(0,mnanN1)的正分数指数幂等于 0正数的
2、负分数指数幂的意义是：且 0 的负分数指数幂没有意1()(),mmnnaanN 1)义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质 (0,)rsrsaarsR()(,)rsrs ,)rrbbr指数函数及其性质（4）指数函数高考数学复习专题函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ，即当 时， ,1x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况1(0)()xxa1(0)()xxa变a化对 图象的影响在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低aa1：化简下列各式
3、（其中各字母均为正数）:（1） ;)(6531212132ba01xyx(,)O101xx(,)Oy高考数学复习专题解：（1）原式= .10653126123651312213 bababa2：已知实数 a、b 满 足等式ba)31()2(，下列五个关系式：0 ba;ab0;0ab;ba0;a=b. 其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解：B3：求下列函数的单调递增区间：(2)y=262x.解：（2）令 u=x2-x-6,则 y=2u,二次函数 u=x2-x-6 的对称轴是 x= 21,在区间 1，+）上 u=x2-x-6 是增函数.又函数 y=2u
4、为增函数，函数 y=2 62x在区间 21，+）上是增函数.故函数 y=262x的单调递增区间是 21，+）1.3.2 对数函数对数与对数运算（1）对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其(0,1)xaNa且 xaNlogaxN高考数学复习专题中 叫做底数， 叫做真数aN负数和零没有对数对数式与指数式的互化： log(0,1)xaxNaN（2）几个重要的对数恒等式， ， log10al1alba（3）常用对数与自然对数常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 ） lN10loglnNloge2.718（4）对数的运算性质如果 ，那么0,aM加法： logllog()aaN减法：
5、 数乘： ll()naanR logaN l(0,)bnaaMbn换底公式： ogl,1labN且对数函数及其性质（5）对数函数函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)图象 101a高考数学复习专题定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， (1,)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log1()l0aaxlog01()laax变a化对图象的 影响在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高例 1 计算：（1） )32(log32（3） 2lg 493- lg 8+lg 45.解：（
6、1） 利用对数定义求值设 )32(log32 =x, 则(2+ 3)x=2- 3= 21=（2+ 3） -1,x=-1.（3）原式= 21（lg32-lg49）- 34lg821+ lg245= (5lg2-2lg7)- 34 lg2+ (2lg7+lg5)01 xyO(,)1xlogayx01 xyO(,)1xlogayx高考数学复习专题= 25lg2-lg7-2lg2+lg7+ 21lg5= lg2+ 21lg5= 1lg(25)= lg10= .变式训练 1：化简求值.（1）log 2 487+log212- 1log242-1;（2）(lg2) 2+lg2lg50+lg25;（3）(l
7、og 32+log92)(log43+log83).解：(1)原式=log 2 487+log212-log2 4-log22=log2.3log1l248172（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=( .452lg63)2lg3l()lg23l 例 2 比较下列各组数的大小.（1）log 3 2与 log5 6; （2）log 1.10.7 与 log1.20.7;（3）已知 log 21blog 21alog 21c,比较 2b,2a,2c的大小关系.解：（1）log 3 log 31=0, 而 log5 6log 51=0,lo
8、g 3 log 5 6.(2)方法一 00.71,1.11.2,0 2.1log.l7007, 2.1log.l7070,即由换底公式可得 log1.10.7log 1.20.7.方法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象.如图所示两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7log 1.20.7.(3)y= x21log为减函数，且 cab212121logllog,bac,而 y=2x是增函数，2 b2 a2 c.变式训练 2：已知 0a1,b1,ab 1，则 loga bba1log,1的大小关系是 （ ）高考数学复习专题A.loga bba1logl1 B.b
9、aalloglC. aba 1lll D. bbaalog1llog解： C1.3.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数yxx（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称) ；是奇函数时，图象分布在第一、y三象限( 图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 (0,)(1,)单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数如果0，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内
10、，图象无限接近 轴与0(,) x轴y奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当高考数学复习专题（其中 互质， 和 ） ，若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，qp,pqZpqqpyx若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非pyx qp奇非偶函数图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线,(0)101x下方，若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在yx1yx直线 上方，若 ，其图象在直线 下方x例 1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3yx（2）12yx（3）2yx（4）2（5）1122（6）1124()3()fxx解
11、：（1）此函数的定义域为 R， 3()()f f此函数为奇函数（2）12yx此函数的定义域为 0,) 此函数的定义域不关于原点对称 此函数为非奇非偶函数（3） 21yx此函数的定义域为 (,0)(,)21()fxfx此函数为偶函数（4） 22yxx高考数学复习专题此函数的定义域为 (,0)(,)221()()fxxfx此函数为偶函数（5）12yx此函数的定义域为 0,)此函数的定义域不关于原点对称此函数为非奇非偶函数（6）11424()3()3fxxx00此函数的定义域为 此函数既是奇函数又是偶函数变式训练 1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5yx（2）43yx（3）54y
12、x（4）35yx（5）12yx分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式解：（1）定义域 R，值域 R，奇函数，在 R 上单调递增 （2）定义域 (,0)(,)，值域 (0,)，偶函数，在 (,0)上单调递增，在 (0,) 上单调递减（3）定义域 ,)，值域 ,)，偶函数，非奇非偶函数，在 ,)上单调递增（4）定义域 (0(，值域 (,0)(,)，奇函数，在 (0上单调递减，在 (0,)上单调递减（5）定义域 (,)，值域 (,)，非奇非偶函数，在 (0,)上单调递减例 2 比较大小：（1）12.5,7（2）33(1.),(1.25)高考数学复习专题（3）1125.2,.6,5.
13、（4）30.53log解：（1）12yx在 ,)上是增函数， 1.57，12.7（2） 3在 R上是增函数，5， 33(1.)(.2)（3） yx在 0,上是减函数，.2.6， 11.2.6； 5xy是增函数， ， 12；综上， 1265. （4） 30.， 0.， 3log.50， .53log例 3 已知幂函数23myx（ Z）的图象与 x轴、 y轴都无交点，且关于原点对称，求 的值分析：幂函数图象与 轴、 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合 Z，便可逐步确定 的值解：幂函数 23myx（ ）的图象与 x轴、 y轴都无交点， 20， 1； Z， 2(3)Z，又函数图象关于原点对称， 2m是奇数， 0m或 2变式训练 3：证明幂函数1()fx在 ,)上是增函数分析：直接根据函数单调性的定义来证明证明：设 120x，来源:Z&xx&k.Com高考数学复习专题则121()fxfx1212xx120x120x12()ff即 12()ffx此函数在 ,)上是增函数
