1、14 一质点的运动学方程为 ， (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2)在2tx21tys 时，质点的速度和加速度。2t解 (1) 由质点的运动方程 (1) 2t(2)1y消去参数 t，可得质点的轨迹方程 2()x(2) 由(1)、(2) 对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度tdxv212tdyv所以 (3)1xyijij2dtax 2dtyay所以 (4)ij把 t=2s 代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。42vij2aij16 质点的运动学方程为 (S1)，试求：(1)质点的轨道方程；(2)2ttrt2s 时质点的速度和加速度。解 (1)
2、由质点的运动方程，可得2,xtyt消去参数 t， 可得轨道方程214(2) 由速度、加速度定义式，有 d/ttvrij2a将 t=2s 代入上两式，得， 4vij2aj110 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为 ，g 为重力加Bva速度，B 为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设 t=0 时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度 (称为收尾速度)值为多大?解 (1) 由 得 dtva/dtBvg两边积分，得 00t)1(Btegv(2) 当 a=0 时 有 a=g-Bv=0由此得收尾速率 v=g/B112 一艘正以速率 匀速行驶的舰艇
3、，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的0v大小与速度的平方成正比，即 ， k 为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶了 x2a距离时速度的大小。解 dxvtdtvax对上式两边积分 vvxkda00化简得 0ln1vk所以 xev0117 火车在曲率半径 R400m 的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度，求火车的瞬时速率为 时的法向加速度和加速度。2.0atsmsm10解 火车的法向加速度 22s5.4van方向指向曲率中心 火车的总加速度 2222 sm3.00tn设加速度 a 与速度 v 之间的夹角为 ，则4182.05arctgrt 0n118 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，
4、其角位置 。(1)在 t=2s 时，它的3t法向加速度和切向加速度各是多少?(2) 切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等 ?解 质点的角速度 21d/t质点的线速度 2.0.tRv质点的法向加速度 ，切向加速度 为anat(1)422 .10.)1(ttRan (2)dvt 4./(1)把 t=2s 代入(1)式和(2) 式，得此时)m/s(8.42. /103122tna(2)质点的总加速度2/162)3(.ttn由 得 at1 1364.50. t解得 ，t=0.66s36t所以 )rad(15.423t(3) 当 即 时tnat有
5、， t=0.55(s)316t附加题目：湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示) 。当收绳速度为 v 时，试问：(1)船的运动速度 u 比 v 大还是小 ?(2)若 v常量。船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?解 (1) 由图知 22hsL两边对 t 求导数，并注意到 h 为常数，得 dt又 suLv/,/所以 Lv=su (1)即 u/v=L/s1因此船的速率 u 大于收绳速率 v。(2) 将(1)式两边对 t 求导，并考虑到 v 是常量dtsdLv所以 au2即 32/)(svha23 质量为 m 的子弹以速率 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小
6、0与速度成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。解 设任意时刻子弹的速度为 v，子弹进入沙土的最大深度为 s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv(1) 由牛顿第二定律 即 : tmadtvmkd所以 kv对等式两边积分 tv00得 tmk0ln因此 tkev0(2) 由牛顿第二定律 xvmttaf dd即 xmvk所以 对上式两边积分 0dvsxk得到 0m即 ks23 质量为 m 的小球，在水中受到的浮力为 F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 fkv(k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在
7、水中竖直沉降的速率 v 与时间的关系为 mkteFgv1证明 任意时刻 t 小球的受力如图所示，取向下为 y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点由牛顿第二定律 tvafFgd即 mkvm整理得 tFgdmgFfy0对上式两边积分 tvmkvFg00d得 tln即 mkteFgv125 跳伞运动员与装备的质量共为 m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即 。求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率 。2kv Tv解 设运动员在任一时刻的速率为 v， 有牛顿第二定律 tkgd2整理得 mv2对上式两边积分 00dvtgk得 tvln整理得 Tkgmttkgmtt
8、 eev1122设极限速率为 ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。Tv此时 2Tkg即 mvT36 一质量为 与另一质量为 的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由12增加到 时所需要作的功。1xdx解 万有引力 12mGrF两质点间的距离由 x 增加到 时，万有引力所作的功为dx1112121xdxdmAGrxdFr故外力所作的功： 121A37 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为 ，k 为常数。若取无3fr穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为 r 时的势能。解由势能的定义知 r 处的势能 Ep 为:rrrp dkfdfE3 221rkrr38
9、 设地球的质量为 M，万有引力恒量为 ，一质量为 m 的宇宙飞船返回地球时，可0G认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心 下降到 处时1R2所增加的动能。解 由动能定理(或者根据机械能守恒定律 )，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，即： 21000221012()()RkMmmMEAGdrGR4-5如图所示，质量为 M1.5 kg 的物体，用一根长为 l1.25 m 的细绳悬挂在天花板上今有一质量为 m10 g 的子弹以 v0500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小 v 30 m/s ，设穿透时间极短求： (1) 子弹刚穿出时绳中张
10、力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量解 （1 ） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过程系统在水平方向满足动量守恒。0vVv30()1(50)3.1/.mvVmsM对 M 进行受力分析有223.1.5986.15TgNl(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量： 30(0)4.7Ipmv s上式中负号表示冲量方向与 方向相反。v4-8 如图所示，砂子从 h0.8m 处下落到以 3 的速率沿水平向右运动的传输带上，0sm若每秒钟落下 100kg 的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。解 如图所示，设 时间内落下的砂子的质量为 ，则 的动量改变tm水平方向： 0xxFpmv03
11、xvNt竖直方向：() 2yyxFgtpvgh0yxtm或者 2396yhNt 40(1)ymFNgt3Fij47方法二： 01pv显然有 gh2120101 vmvmp根据动量定理 tFp所以 20201vghtvtpFN49738.902414 6 月 22 日，地球处于远日点，到太阳的距离为 m，轨道速度为1052.。6 个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为 m。求：(1)在近日sm193.24 47点地球的轨道速度； (2)在近日点和远日点时地球的角速度。解 设在近日点附近地球的轨道速度为 ，轨道半径为 ，角速度为 ；在远日点地1v1r1球的轨道速度为 ，轨道半径为 ，角速度为 。2
12、v2r2(1) 取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。 21rm地地所以 sm103.1047.925441 rv(2) srad106.247.1037141 rvsr9.053.2712 r417 有两个质量都等于 50kg 的滑冰运动员，沿着相距 1.5m 的两条平行线相向运动，速率皆为 10 。当两人相距为 1.5m 时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以sm后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为 1.0m 时，角速度变为多大?解 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒(1) 设两人质量均为 m，到转轴的距离为 ，握住手以后
13、绕中心角速度为 ，则有：1r 1211rvr)rad/s(3.75.0/(2) 设两人相距 1.0 米时，角速度为 ，此时系统对转轴的转动惯量为 ，两人到转轴的2 2J距离为 ，则2r2112mrm)rad/s(9.5.0/37.0/22r421 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为 m 的滑块。弹簧原长为 ，倔强系数为 k。当 t0 时，弹簧长度为 。滑块得一水平速度 ，0L 0L0v方向与弹簧轴线垂直。t 时刻弹簧长度为 L。求 t 时刻滑块的速度 v 的大小和方向( 用 角表示)。解 因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机
14、械能守恒，即(1) 20220 )(11Lkmv小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即恒量rL故 (2)sin0v由(1)式得 代入(2)式得2020)(Lmk2020)(sinargLmkvL5-5 有一质量为 m1、长为 l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动 . 另有一水平运动的质量为 m2 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2，如图所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (已知棒绕 O 点的转动惯量
15、 J=m1l2/3).解：由角动量守恒可以得到 )(212vlJ碰后，由于摩擦产生的阻力矩为： lgmdrgmrMdFl012由角动量定理， Jt得到，碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 gmvt12)(56 一砂轮直径为 1m，质量为 50kg，以 900 的转速转动，一工件以 200 N 的正压minr力作用于轮子的边缘上，使砂轮在 11.8s 内停止转动。求砂轮与工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为 ，其中， m 和 R 分别为砂轮的质量和半21R径)。解 根据动量矩定理， 21MtJNMmR0联立得： 5.8.12069520 Ntlv2m1m2Ov1 A
