1、2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学( 一) 试卷 一、 填空题( 本题 共 6 小题, 每小 题 4 分, 满分 24 分.把答 案填在 题中横线 上) (1)曲线 1 2 2 x x y 的斜渐近线方程为 _. (2)微分方程 x x y y x ln 2 满足 9 1 ) 1 ( y 的解为_. (3) 设函数 18 12 6 1 ) , , ( 2 2 2 z y x z y x u , 单位向量 1 , 1 , 1 3 1 n , 则 ) 3 , 2 , 1 ( n u =._. (4)设 是由锥面 2 2 y x z 与半球面 2 2 2 y x R z 围成的空间区域,
2、是 的整个边界的外侧,则 zdxdy ydzdx xdydz _. (5)设 123 , 均为 3维列向量,记矩阵 123 (,) A , 123123123 (, 2 4 , 3 9 ) B , 如果 1 A ,那么 B . (6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为X , 再从 X , , 2 , 1 中任取一个数,记为Y , 则 2 Y P =_. 二、 选择 题( 本题 共 8 小题, 每小 题 4 分,满分 32 分. 每小 题给出 的四个 选项中,只有 一项符 合题 目要求,把所 选项前 的字母填 在题后 的括号 内) (7)设函数 n n n x x f 3 1 lim )
3、( ,则 () f x 在 ) , ( 内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设 () Fx是连续函数 () f x 的一个原函数, “ “ N M 表示“M 的充分必要条件是 “, N 则必有 (A) () Fx是偶函数 () f x 是奇函数 (B) () Fx是奇函数 () f x 是偶函 数 (C) () Fx是周期函数 () f x 是周期函数 (D) () Fx是单调函数 () f x 是单调函数 (9)设函数 y x y x dt t y x y x y x u ) ( ) ( ) ( ) , ( , 其中函数 具有二
4、阶导数, 具有一阶导数,则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u (B) 2 2 2 2 y u x u (C) 2 2 2 y u y x u (D) 2 2 2 x u y x u (10)设有三元方程 ln e 1 xz xy z y ,根据隐函数存在定理,存在点 (0,1,1)的一个邻域, 在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 (,) zzx y (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 (,) x x y z 和 (,) zzx y (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 (,) yy xz 和 (,) zzx y (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 (
5、,) x x y z 和 (,) yy xz (11)设 2 1 , 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 12 , ,则 1 , 12 () A 线性无关的充分必要条件是 (A) 0 1 (B) 0 2 (C) 0 1 (D) 0 2 (12)设 A为(2 ) nn 阶可逆矩阵,交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 * ., BA B 分别为 , AB 的伴随矩阵,则 (A)交换 * A 的第 1列与第 2列得 * B (B)交换 * A 的第 1行与第 2行得 * B (C)交换 * A 的第 1列与第 2列得 * B (D)交换 * A 的第 1行与第 2行得 * B (1
6、3)设二维随机变量(,) X Y 的概率分布为 XY01 00 . 4 a 1 b 0.1 已知随机事件 0 X 与 1 Y X 相互独立,则 (A) 0.2, 0.3 ab (B) 0.4, 0.1 ab (C) 0.3, 0.2 ab (D) 0.1, 0.4 ab (14)设 ) 2 ( , , , 2 1 n X X X n 为来自总体 (0,1) N 的简单随机样本,X 为样本均值, 2 S 为 样本方差,则(A) ) 1 , 0 ( N X n (B) 22 ( ) nS n (C) ) 1 ( ) 1 ( n t S X n (D) 2 1 2 2 (1 ) ( 1 ,1 ) n
7、 i i nX Fn X 三 、 解答 题(本题 共 9 小题,满分 94 分. 解答 应写出 文字说明 、证明 过程或 演算步 骤) (15)(本题满分 11 分) 设 0 , 0 , 2 ) , ( 2 2 y x y x y x D , 1 2 2 y x 表示不超过 2 2 1 y x 的最 大整数. 计算二重积分 D dxdy y x xy . 1 2 2 (16)(本题满分 12分) 求幂级数 1 2 1 ) ) 1 2 ( 1 1 ( ) 1 ( n n n x n n 的收敛区间与和函数 () f x . (17)(本题满分 11 分) 如图,曲线C 的方程为 () yf x
8、,点 (3, 2)是它的一个拐点, 直线 1 l 与 2 l 分别是曲线C 在点 (0,0)与 (3, 2)处的切线,其交点 为 (2,4) .设函数 () f x 具有三阶连续导数,计算定积分 3 0 2 . ) ( ) ( dx x f x x (18)(本题满分 12分) 已知函数 () f x 在0,1上连续,在 (0,1)内可导,且 (0) 0, (1) 1 ff . 证明: (1)存在 ), 1 , 0 ( 使得 1 ) ( f . (2)存在两个不同的点 ) 1 , 0 ( , ,使得 . 1 ) ( ) ( f f (19)(本题满分 12分) 设函数 ) (y 具有连续导数,
9、在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分 24 () 2 2 L y dx xydy xy 的值恒为同一常数. (1)证明:对右半平面 0 x 内的任意分段光滑简单闭曲线 , C 有 24 () 2 0 2 C ydx xydy xy . (2)求函数 ) (y 的表达式. (20)(本题满分 9分) 已知二次型 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) , , ( x x a x x a x a x x x f 的秩为 2. (1)求a的值；(2)求正交变换xy Q ,把 ) , , ( 3 2 1 x x x f 化成标准形. (
10、3)求方程 ) , , ( 3 2 1 x x x f =0的解. (21)(本题满分 9分) 已知 3 阶矩阵 A的第一行是 c b a c b a , , ), , , ( 不全为零,矩阵 123 246 36k B (k为常数), 且 AB O ,求线性方程组 0 x A 的通解. (22)(本题满分 9分) 设二维随机变量(,) X Y 的概率密度为 (,) f x y 1 0 01 , 02 x yx 其它 求:(1)(,) X Y 的边缘概率密度 ) ( ), ( y f x f Y X . (2) Y X Z 2 的概率密度 ). (z f Z (23)(本题满分 9分) 设 )
11、 2 ( , , , 2 1 n X X X n 为来自总体 (0,1) N 的简单随机样本, X 为样本均值,记 . , , 2 , 1 , n i X X Y i i 求:(1) i Y 的方差 n i DY i , , 2 , 1 , . (2) 1 Y 与 n Y 的协方差 1 Cov( , ). n YY2 0 0 5年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析 填空题 （本题共 6 小题， 每小题 4 分， 满分 2 4分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 1 2 2 x x y 的斜渐近线方程为 . 4 1 2 1 x y 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行
12、计算即可 . 【详解】 因为 a = 2 1 2 lim ) ( lim 2 2 x x x x x f x x ， 4 1 ) 1 2 ( 2 lim ) ( lim x x ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 4 1 2 1 x y （2） 微分方程 x x y y x ln 2 满足 9 1 ) 1 ( y 的解为 . 9 1 ln 3 1 x x x y . 【分析】 直接套用一阶线性微分方程 ) ( ) ( x Q y x P y 的通解公式： ) ( ) ( ) ( C d x e x Q e y d x x P d x x P ， 再由初始条件确定任意常数即
13、可. 【详解】 原方程等价为 x y x y ln 2 ， 于是通解为 ln 1 ln 2 2 2 2 C x d x x x C d x e x e y d x x d x x = 2 1 9 1 ln 3 1 x C x x x ， 由 9 1 ) 1 ( y 得 C = 0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 x x x y （ 3）设函数 18 12 6 1 ) , , ( 2 2 2 z y x z y x u ，单位向量 1 , 1 , 1 3 1 n ，则 ) 3 , 2 , 1 ( n u = 3 3 . 【分析】 函数 u ( x , y , z )沿单位向量 cos ,
14、cos , cos n 的方向导数为： cos cos cos z u y u x u n u 因此，本题直接用上述公式即可. 【详解】 因为 3 x x u ， 6 y y u ， 9 z z u ，于是所求方向导数为 ) 3 , 2 , 1 ( n u = . 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 （ 4）设 是由锥面 2 2 y x z 与半球面 2 2 2 y x R z 围成的空间区 域， 是 的整个边界的外侧，则 z d x d y y d z d x x d y d z 3 ) 2 2 1 ( 2 R . 【分 析】 本题 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式
15、转化为三重积 分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】 z d x d y y d z d x x d y d z dx dy dz 3 = . ) 2 2 1 ( 2 sin 3 3 2 0 0 4 0 2 R d d d R （5）设 3 2 1 , , 均为 3维列向量，记矩阵 ) , , ( 3 2 1 A ， ) 9 3 , 4 2 , ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 B ， 如果 1 A ，那么 B 2 . 【分析】 将 B写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质 进行计算即可. 【详解】 由题设，有 ) 9 3 , 4 2 , ( 3 2 1 3
16、 2 1 3 2 1 B = 9 4 1 3 2 1 1 1 1 ) , , ( 3 2 1 ， 于是有 . 2 2 1 9 4 1 3 2 1 1 1 1 A B （ 6）从数 1 , 2 , 3 , 4 中任取一个数，记为 X , 再从 X , , 2 , 1 中任取一个数，记 为 Y , 则 2 Y P = 48 13 . 【 分 析 】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式 , 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 2 Y P = 1 2 1 X Y P X P + 2 2 2 X Y P X P + 3 2 3 X Y P X P + 4
17、 2 4 X Y P X P = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 0 ( 4 1 二 、 选 择 题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 3 2 分 . 每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 n n n x x f 3 1 lim ) ( ，则 f ( x )在 ) , ( 内 ( A ) 处处可导. ( B ) 恰有一个不可导点. ( C ) 恰有两个不可导点 . ( D ) 至少有三个不可导点 . C 【分析】 先求出 f ( x )的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当 1 x 时， 1 1 lim ) (
18、3 n n n x x f ； 当 1 x 时， 1 1 1 lim ) ( n n x f ； 当 1 x 时， . ) 1 1 ( lim ) ( 3 1 3 3 x x x x f n n n 即 . 1 , 1 1 , 1 , , 1 , ) ( 3 3 x x x x x x f 可见 f ( x )仅在 x = 1 时不可导，故应选( C ) . （8）设 F ( x )是连续函数 f ( x )的一个原函数， “ “ N M 表示“ M的充分必要 条件是 N ”，则必有 ( A ) F ( x )是偶函数 f ( x )是奇函数. （B） F ( x )是奇函数 f ( x )是
19、偶函数. ( C ) F ( x )是周期函数 f ( x )是周期函数. ( D ) F ( x ) 是 单 调 函 数 f ( x ) 是 单 调 函 数 . A 【分 析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答 案. 【详解】方法一： 任一原函数可表示为 x C d t t f x F 0 ) ( ) ( ， 且 ). ( ) ( x f x F 当 F ( x ) 为 偶 函 数 时 ， 有 ) ( ) ( x F x F ， 于 是 ) ( ) 1 ( ) ( x F x F ， 即 ) ( ) ( x f x f ，也即 ) ( ) ( x f x f ，可见
20、f ( x )为奇函数；反过来，若 f ( x )为奇函 数，则 x d t t f 0 ) ( 为偶函数，从而 x C d t t f x F 0 ) ( ) ( 为偶函数，可见 ( A )为正确选 项.方法二： 令 f ( x ) = 1 , 则取 F ( x ) = x + 1 , 排除 ( B )、 ( C ) ; 令 f ( x ) = x , 则取 F ( x ) = 2 2 1 x , 排 除( D ) ; 故应选( A ) . （9） 设函数 y x y x d t t y x y x y x u ) ( ) ( ) ( ) , ( , 其中函数 具有二阶导 数， 具有一阶导数
21、，则必有 ( A ) 2 2 2 2 y u x u . （B） 2 2 2 2 y u x u . ( C ) 2 2 2 y u y x u . ( D ) 2 2 2 x u y x u . B 【分析】 先分别求出 2 2 x u 、 2 2 y u 、 y x u 2 ，再比较答案即可 . 【详解】 因为 ) ( ) ( ) ( ) ( y x y x y x y x x u ， ) ( ) ( ) ( ) ( y x y x y x y x y u ， 于是 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 y x y x y x y x x u ， ) ( ) ( ) ( ) ( 2 y
22、x y x y x y x y x u ， ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 y x y x y x y x y u ， 可见有 2 2 2 2 y u x u ，应选( B ) . （1 0） 设有三元方程 1 ln x z e y z x y ， 根据隐函数存在定理， 存在点( 0 , 1 , 1 ) 的一个邻域，在此邻域内该方程 ( A ) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z ( x , y ) . ( B ) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z )和 z = z ( x , y ) . ( C ) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y
23、 ( x , z )和 z = z ( x , y ) . ( D ) 可 确 定 两 个 具 有 连 续 偏 导 数 的 隐 函 数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) . D 【分析 】 本题考查隐函数存在定理，只需令 F ( x , y , z ) = 1 ln x z e y z x y , 分别求出三个偏导数 y x z F F F , , ，再考虑在点 ( 0 , 1 , 1 )处哪个偏导数不为 0，则可确定 相应的隐函数. 【详解】 令 F ( x , y , z ) = 1 ln x z e y z x y , 则 z e y F x z x ，
24、 y z x F y ， x e y F x z z ln ， 且 2 ) 1 , 1 , 0 ( x F ， 1 ) 1 , 1 , 0 ( y F ， 0 ) 1 , 1 , 0 ( z F . 由此可确定相应的隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) . 故应选( D ) . （1 1） 设 2 1 , 是矩阵 A的两个不同的特征值， 对应的特征向量分别为 2 1 , ， 则 1 ， ) ( 2 1 A 线性无关的充分必要条件是 ( A ) 0 1 . ( B ) 0 2 . ( C ) 0 1 . ( D ) 0 2 . B 【分析】 讨论一组抽象向量
25、的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0 ) ( 2 1 2 1 1 A k k ，则 0 2 2 2 1 1 2 1 1 k k k ， 0 ) ( 2 2 2 1 1 2 1 k k k . 由于 2 1 , 线性无关，于是有 . 0 , 0 2 2 1 2 1 k k k 当 0 2 时，显然有 0 , 0 2 1 k k ，此时 1 ， ) ( 2 1 A 线性无关；反 过来， 若 1 ， ) ( 2 1 A 线性无关， 则必然有 0 2 ( ,否则， 1 与 ) ( 2 1 A = 1 1 线性相关)，故应选( B ) . 方法二： 由于 2 1 2 1
26、2 2 1 1 1 2 1 1 0 1 , , ) ( , A ， 可见 1 ， ) ( 2 1 A 线性无关的充要条件是 . 0 0 1 2 2 1 故应选( B ) . （ 1 2）设 A 为 n（ 2 n ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B , * * , B A 分别为 A , B 的伴随矩阵，则 ( A ) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * B . ( B ) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * B . ( C ) 交换 * A 的第 1列与第 2列得 * B . ( D ) 交换 * A 的第 1行与第 2行得 * B . C 【分 析
27、】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换 与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【 详 解 】 由题设，存在初等矩阵 12 E （交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行 所 得 ） ， 使 得 B A E 12 ， 于 是 12 * 1 12 12 * 12 * * * 12 * ) ( E A E E A E A A E B ，即 * 12 * B E A ,可见应选( C ) . （1 3）设二维随机变量( X , Y ) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0 . 4 a 1 b 0 . 1 已知随机事件 0 X 与 1 Y X 相互独立，则 ( A
28、) a = 0 . 2 , b = 0 . 3 ( B ) a = 0 . 4 , b = 0 . 1 ( C ) a = 0 . 3 , b = 0 . 2 ( D ) a = 0 . 1 , b = 0 . 4 B 【分 析】 首先所有概率求和为 1，可得 a + b = 0 . 5 , 其次，利用事件的独立性 又可得一等式，由此可确定 a , b的取值. 【详解】 由题设，知 a + b = 0 . 5 又事件 0 X 与 1 Y X 相互独立，于是有 1 0 1 , 0 Y X P X P Y X X P ， 即 a = ) )( 4 . 0 ( b a a , 由此可解得 a = 0
29、 . 4 , b = 0 . 1 , 故应选( B ) . （1 4）设 ) 2 ( , , , 2 1 n X X X n 为来自总体 N ( 0 , 1 )的简单随机样本， X 为样本 均值， 2 S 为样本方差，则 ( A ) ) 1 , 0 ( N X n ( B ) ). ( 2 2 n nS ( C ) ) 1 ( ) 1 ( n t S X n ( D ) ). 1 , 1 ( ) 1 ( 2 2 2 1 n F X X n n i i D 【分 析】 利用正态总体抽样分布的性质和 2 分布、 t 分布及 F 分布的定义 进行讨论即可. 【详解】由正态总体抽样分布的性质知， )
30、1 , 0 ( 1 0 N X n n X ， 可排除( A ) ; 又 ) 1 ( 0 n t S X n n S X ，可排除 ( C ) ; 而 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 2 2 n S n S n ， 不能断定( B )是正确选项. 因为 n i i n X X 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( ), 1 ( ，且 n i i n X X 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 与 相互 独立，于是 ). 1 , 1 ( ) 1 ( 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 n F X X n n X X n i i n i i 故应选( D ) . 三
31、、 解 答 题（本题共 9 小题，满分 9 4 分 .解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.） （15） （本题满分 11 分） 设 0 , 0 , 2 ) , ( 2 2 y x y x y x D ， 1 2 2 y x 表示不超过 2 2 1 y x 的 最大整数. 计算二重积分 D d x d y y x x y . 1 2 2 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可. 【详解】 令 0 , 0 , 1 0 ) , ( 2 2 1 y x y x y x D ， 0 , 0 , 2 1 ) , ( 2 2 2 y x y x y x D . 则 D d
32、x d y y x x y 1 2 2 = 1 2 2 D D x y d x d y x y d x d y dr r d dr r d 2 0 2 1 3 1 0 3 2 0 cos sin 2 cos sin （16） （本题满分 12 分） 求幂级数 1 2 1 ) ) 1 2 ( 1 1 ( ) 1 ( n n n x n n 的收敛区间与和函数 f ( x ) .【 分 析 】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间 . 而和函数可利用逐项求导 得到. 【详解】 因为 ( 1)(2 1) 1 (2 1) lim 1 ( 1)(2 1) (2 1) 1 n n n n n n n n n
33、，所以当 2 1 x 时，原级数 绝对收敛，当 2 1 x 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为 （1 , 1） 记 1 2 1 ( 1) ( ) , ( 1,1) 2 (2 1) n n n S x x x n n ， 则 1 2 1 1 ( 1) ( ) , ( 1,1) 2 1 n n n S x x x n ， 1 2 2 2 1 1 ( ) ( 1) , ( 1,1) 1 n n n S x x x x . 由于 (0) 0, (0) 0, S S 所以 2 0 0 1 ( ) ( ) arctan , 1 x x S x S t d t d t x t 2 0 0
34、 1 ( ) ( ) arctan arctan ln(1 ). 2 x x S x S t d t t d t x x x 又 2 1 2 2 1 ( 1) , ( 1,1), 1 n n n x x x x 从而 2 2 ( ) 2 ( ) 1 x f x S x x 2 2 2 2 arctan ln(1 ) , ( 1,1). 1 x x x x x x （17） （本题满分 11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y = f ( x )，点 ( 3 , 2 )是它的一个拐点，直线 1 l 与 2 l 分别是 曲线 C 在点( 0 , 0 )与 ( 3 , 2 )处的切线，其交点为 (
35、2 , 4 ) . 设函数 f ( x )具有三阶连续导数， 计算定积分 3 0 2 . ) ( ) ( d x x f x x 【分析】 题设图形相当于已知 f ( x )在 x = 0 的函数值与导数值，在 x = 3处的函 数值及一阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f ( 0 ) = 0 , 2 ) 0 ( f ; f ( 3 ) = 2 , . 0 ) 3 ( , 2 ) 3 ( f f 由分部积分，知 3 0 3 0 3 0 2 2 3 0 2 ) 1 2 )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x x f x f x x x f d x x dx x
36、 f x x = dx x f x f x x f d x 3 0 3 0 3 0 ) ( 2 ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( = . 20 ) 0 ( ) 3 ( 2 16 f f （18） （本题满分 12 分） 已知函数 f ( x )在 0，1 上连续，在( 0 , 1 )内可导，且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 . 证明： （I）存在 ), 1 , 0 ( 使得 1 ) ( f ； （I I）存在两个不同的点 ) 1 , 0 ( , ，使得 . 1 ) ( ) ( f f 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介 值问题
37、，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【 详 解 】 （ I）令 x x f x F 1 ) ( ) ( ，则 F ( x )在 0， 1 上连续，且 F ( 0 ) = - 1 0 ,于是由介值定理知，存在存在 ), 1 , 0 ( 使得 0 ) ( F ，即 1 ) ( f . （I I） 在 , 0 和 1 , 上对 f ( x )分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同 的点 ) 1 , ( ), , 0 ( ，使得 0 ) 0 ( ) ( ) ( f f f ， 1 ) ( ) 1 ( ) ( f f f 于是 . 1 1 1 1 ) ( 1 ) ( ) ( )
38、 ( f f f f （19） （本题满分 12 分） 设函数 ) ( y 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上， 曲 线积分 L y x x y dy dx y 4 2 2 2 ) ( 的值恒为同一常数. （ I）证明：对右半平面 x 0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 0 2 2 ) ( 4 2 C y x x y d y d x y ； （I I）求函数 ) ( y 的表达式. 【分析】 证明（ I）的关键是如何将封闭曲线 C与围绕原点的任意分段光滑 简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将 C进行分解讨论；而（ I I）中 求 ) ( y 的表达式，显然应用
39、积分与路径无关即可 .【详解】 （I） 1 l l 2 C o X l 3 如图，将 C分解为： 2 1 l l C ，另作一条曲线 3 l 围绕原点且与 C相接，则 C y x x y d y d x y 4 2 2 2 ) ( 3 1 4 2 2 2 ) ( l l y x x y d y d x y 0 2 2 ) ( 3 2 4 2 l l y x x y d y d x y . （I I） 设 2 4 2 4 ( ) 2 , 2 2 y x y P Q x y x y ， , P Q在单连通区域 0 x 内具有一阶连续偏 导数，由（）知，曲线积分 2 4 ( ) 2 2 L y dx
40、 x y dy x y 在该区域内与路径无关，故当 0 x 时，总有 Q P x y . 2 4 2 5 2 4 2 2 4 2 2 (2 ) 4 2 4 2 , (2 ) (2 ) Q y x y x x y x y y x x y x y 2 4 3 2 4 3 2 4 2 2 4 2 ( )(2 ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) . (2 ) (2 ) P y x y y y x y y y y y y x y x y 比较、两式的右端，得 4 3 5 ( ) 2 , ( ) 4 ( ) 2 . y y y y y y y 由得 2 ( ) y y c ，将 ( ) y 代入得 5 3 5 2 4 2 , y c y y 所以 0 c ，从而 2 ( ) . y y （20） （本题满分 9 分） 已知二次型 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) , , ( x x a x x a x a x x x f 的秩为 2 . （I） 求 a 的值； （I I） 求正交变换 Q y x ，把 ) , , ( 3 2 1 x x x f 化成标准形； （I I I） 求方程 ) , , ( 3 2 1 x x x f = 0 的解. Y 【 分 析 】 （ I）根据二次型的秩为 2，可
