1、1991 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 真 题 试 卷数 学 （ 一 ） 试 题一 、 填 空 题 (本 题 满 分 15分 ,每 小 题 3 分 .)(1) 设 21 ,cos ,x ty t 则 2 2d ydx =_.(2) 由 方 程 2 2 2 2xyz x y z 所 确 定 的 函 数 ( , )z z x y 在 点 (1,0, 1) 处 的 全 微 分dz=_.(3) 已 知 两 条 直 线 的 方 程 是 1 1 2 3: 1 0 1x y zL ； 2 2 1: 2 1 1x y zL ,则 过 1L 且 平 行 于 2L的 平 面 方 程 是
2、_.(4) 已 知 当 0x 时 , 12 3(1 ) 1ax 与 cos 1x 是 等 价 无 穷 小 ,则 常 数 a=_.(5) 设 4 阶 方 阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ,则 A的 逆 阵 1A =_.二 、 选 择 题 (本 题 满 分 15分 ,每 小 题 3 分 .)(1) 曲 线 2211 xxey e ( )(A) 没 有 渐 近 线 (B) 仅 有 水 平 渐 近 线(C) 仅 有 铅 直 渐 近 线 (D) 既 有 水 平 渐 近 线 又 有 铅 直 渐 近 线(2) 若 连 续 函 数 ( )f x 满 足 关 系 式 20( )
3、ln 22x tf x f dt ,则 ( )f x 等 于 ( )(A) ln 2xe (B) 2 ln 2xe(C) ln 2xe (D) 2 ln 2xe (3) 已 知 级 数 11 ( 1) 2n nn a , 2 11 5nn a ,则 级 数 1 nn a 等 于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设 D是 xOy平 面 上 以 (1,1)、 (-1,1)和 (-1,-1)为 顶 点 的 三 角 形 区 域 , 1D 是 D在 第 一 象 限 的 部分 ,则 ( cos sin )D xy x y dxdy 等 于 ( )(A) 12 cos sinD
4、x ydxdy (B) 12 D xydxdy(C) 14 ( cos sin )D xy x y dxdy (D) 0(5) 设 n阶 方 阵 A、 B 、 C 满 足 关 系 式 ABC E ,其 中 E 是 n阶 单 位 阵 ,则 必 有 ( )(A) ACB E (B) CBA E(C) BAC E (D) BCA E三 、 (本 题 满 分 15分 ,每 小 题 5 分 .)(1) 求 0lim(cos ) xx x .(2) 设 n是 曲 面 2 2 22 3 6x y z 在 点 (1,1,1)P 处 的 指 向 外 侧 的 法 向 量 ,求 函 数2 26 8x yu z 在
5、点 P 处 沿 方 向 n的 方 向 导 数 .(3) 2 2( )x y z dV ,其 中 是 由 曲 线 2 2 ,0y zx 绕 z 轴 旋 转 一 周 而 成 的 曲 面 与 平 面 4z 所围 成 的 立 体 .四 、 (本 题 满 分 6 分 )在 过 点 (0,0)O 和 ( ,0)A 的 曲 线 族 sin ( 0)y a x a 中 ,求 一 条 曲 线 L ,使 沿 该 曲 线 从 O到A的 积 分 3(1 ) (2 )L y dx x y dy 的 值 最 小 .五 、 (本 题 满 分 8 分 .)将 函 数 ( ) 2 | | ( 1 1)f x x x 展 开 成
6、 以 2 为 周 期 的 傅 立 叶 级 数 ,并 由 此 求 级 数21 1n n 的 和 .六 、 (本 题 满 分 7 分 .)设 函 数 ( )f x 在 0,1上 连 续 ,(0,1)内 可 导 ,且 1233 ( ) (0)f x dx f ,证 明 在 (0,1)内 存 在 一 点 c,使 ( ) 0f c .七 、 (本 题 满 分 8 分 .)已 知 1 (1,0,2,3) , 2 (1,1,3,5) , 3 (1, 1, 2,1)a , 4 (1,2,4, 8)a ,及(1,1, 3,5)b .(1) a、 b 为 何 值 时 , 不 能 表 示 成 1 2 3 4 、 、
7、 、 的 线 性 组 合 ？(2) a、 b 为 何 值 时 , 有 1 2 3 4 、 、 、 的 唯 一 的 线 性 表 示 式 ？ 并 写 出 该 表 示 式 .八 、 (本 题 满 分 6 分 )设 A为 n阶 正 定 阵 ,E 是 n阶 单 位 阵 ,证 明 A E 的 行 列 式 大 于 1.九 、 (本 题 满 分 8 分 )在 上 半 平 面 求 一 条 向 上 凹 的 曲 线 ,其 上 任 一 点 ( , )P x y 处 的 曲 率 等 于 此 曲 线 在 该 点 的 法 线 段PQ长 度 的 倒 数 (Q是 法 线 与 x轴 的 交 点 ),且 曲 线 在 点 (1,1)
8、处 的 切 线 与 x轴 平 行 .十 、 填 空 题 (本 题 满 分 6 分 ,每 小 题 3 分 .)(1) 若 随 机 变 量 X 服 从 均 值 为 2,方 差 为 2 的 正 态 分 布 ,且 2 4 0.3P X ,则 0P X =_.(2) 随 机 地 向 半 圆 20 2y ax x (a为 正 常 数 )内 掷 一 点 ,点 落 在 半 圆 内 任 何 区 域 的 概 率 与 区域 的 面 积 成 正 比 ,则 原 点 和 该 点 的 连 线 与 x轴 的 夹 角 小 于 4 的 概 率 为 _.十 一 、 (本 题 满 分 6 分 )设 二 维 随 机 变 量 ( , )
9、X Y 的 概 率 密 度 为 ( 2 )2 , 0, 0( , ) 0, x ye x yf x y 其 他 ,求 随 机 变 量 2Z X Y 的 分 布 函 数 .1991 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 真 题 试 卷数 学 （ 一 ） 试 题 参 考 答 案 及 解 析一 、 填 空 题 (本 题 满 分 15分 ,每 小 题 3 分 .)(1)【 答 案 】 3sin cos4t t tt【 解 析 】 这 是 个 函 数 的 参 数 方 程 ,满 足 参 数 方 程 所 确 定 函 数 的 微 分 法 ,即如 果 ( )( )x ty t , 则 ( )(
10、 )dy tdx t .所 以 sin2dydy tdtdxdx tdt ,再 对 x求 导 ,由 复 合 函 数 求 导 法 则 得2 2 sin 1( ) ( )2 2d y d dy dt d tdx dt dx dx dt t t 2 32 cos 2sin 1 sin cos4 2 4t t t t t tt t t .(2)【 答 案 】 2dx dy【 解 析 】 这 是 求 隐 函 数 在 某 点 的 全 微 分 ,这 里 点 (1,0, 1) 的 含 义 是 (1,0) 1z z .将 方 程 两 边 求 全 微 分 ,由 一 阶 全 微 分 形 式 不 变 性 得2 2 2
11、2 2 2( )( ) 02d x y zd xyz x y z ,再 由 全 微 分 四 则 运 算 法 则 得 2 2 2( ) ( ) xdx ydy zdzxy dz ydx xdy z x y z ,令 1, 0, 1x y z ,得 2dx dzdy ,即 2dz dx dy .(3)【 答 案 】 3 2 0x y z 【 解 析 】 所 求 平 面 过 直 线 1L ,因 而 过 1L 上 的 点 (1,2,3) ；因 为 过 1L 平 行 于 2L ,于 是 平 行 于 1L 和 2L 的 方 向 向 量 ,即 平 行 于 向 量 1 (1,0, 1)l 和 向 量2 (2,
12、1,1)l ,且 两 向 量 不 共 线 ,于 是 平 面 的 方 程1 2 31 0 1 02 1 1x y z ,即 3 2 0x y z .(4)【 答 案 】 32【 解 析 】 因 为 当 0x 时 , 1 1sin ,(1 ) 1nx x x xn ,当 0x 时 2 0ax ,所 以 有 12 2 2 23 1 1 1(1 ) 1 ,cos 1 sin ,3 2 2ax ax x x x 所 以 1 22 30 0 21(1 ) 1 23lim lim 1cos 1 32x x axax ax x .因 为 当 0x 时 , 12 3(1 ) 1ax 与 cos 1x 是 等 价
13、 无 穷 小 ,所 以 2 13 a ,故 32a .(5)【 答 案 】 1 2 0 02 5 0 01 20 0 3 31 10 0 3 3 .【 解 析 】 为 求 矩 阵 的 逆 可 有 多 种 办 法 ,可 用 伴 随 ,可 用 初 等 行 变 换 ,也 可 用 分 块 求 逆 .根 据 本 题 的特 点 ,若 知 道 分 块 求 逆 法 ,则 可 以 简 单 解 答 .注 意 ： 1 1 10 00 0A AB B , 1 110 00 0A BB A .对 于 2 阶 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 有 规 律 ： a bA c d ,则 求 A的 伴 随 矩 阵* a b d bA
14、 c d c a .如 果 0A ,这 样1 1 1a b d b d bc d c a c aA ad bc .再 利 用 分 块 矩 阵 求 逆 的 法 则 ： 1 1 10 00 0A AB B ,易 见1 1 2 0 02 5 0 01 20 0 3 31 10 0 3 3A .二 、 选 择 题 (本 题 共 5 个 小 题 ,每 小 题 3分 ,满 分 15分 .)(1)【 答 案 】 (D)【 解 析 】 由 于 函 数 的 定 义 域 为 0x ,所 以 函 数 的 间 断 点 为 0x ,2 22 20 0 01 1lim lim lim1 1x xx xx x xe ey
15、e e ,所 以 0x 为 铅 直 渐 近 线 ,2 22 21 1lim lim lim 11 1x xx xx x xe ey e e ,所 以 1y 为 水 平 渐 近 线 .所 以 选 (D).【 相 关 知 识 点 】 铅 直 渐 近 线 ： 如 函 数 ( )y f x 在 其 间 断 点 0x x 处 有0lim ( )x x f x ,则 0x x 是函 数 的 一 条 铅 直 渐 近 线 ；水 平 渐 近 线 ： 当 lim ( ) ,(x f x a a 为 常 数 ） ,则 y a 为 函 数 的 水 平 渐 近 线 .(2)【 答 案 】 (B)【 解 析 】 令 2t
16、u ,则 2 , 2t u dt du ,所 以20 0( ) ln 2 2 ( ) ln 22x xtf x f dt f u du ,两 边 对 x 求 导 ,得 ( ) 2 ( )f x f x ,这 是 一 个 变 量 可 分 离 的 微 分 方 程 ,即 ( ) 2( )d f x dxf x .解 之 得2( ) xf x Ce ,其 中 C 是 常 数 .又 因 为 00(0) 2 ( ) ln 2 ln 2f f u du ,代 入 2( ) xf x Ce ,得 0(0) ln 2f Ce ,得ln 2C ,即 2( ) ln 2xf x e .(3)【 答 案 】 (C)【
17、 解 析 】 因 为1 1 2 3 4 2 1 21 ( 1)n n n nn a a a a a a a 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( )n na a a a a a 2 1 2 2 1 21 1 1( )n n n nn n na a a a (收 敛 级 数 的 结 合 律 与 线 性 性 质 ),所 以 12 2 11 1 1 ( 1) 5 2 3nn n nn n na a a .而 1 2 3 4 2 1 21 ( ) ( ) ( )n n nn a a a a a a a 2 1 2 2 1 21 1 1( )n n n nn n na a a a 5 3 8 ,
18、故 应 选 (C).(4)【 答 案 】 (A)【 解 析 】 如 图 ,将 区 域 D分 为 1 2 3 4, , ,D D D D 四 个 子 区 域 .显 然 , 1 2,D D 关 于 y 轴 对 称 , 3 4,D D 关 于 x轴 对 称 .令 12 cos sinDDI xydxdyI x ydxdy ,由 于 xy对 x及 对 y 都 是 奇 函 数 ,所 以1 2 3 40, 0D D D Dxydxdy xydxdy .而 cos sinx y 对 x是 偶 函 数 ,对 y 是 奇 函 数 ,故 有3 4 1 2 1cos sin 0, cos sin 2 cos sin
19、D D D D Dx ydxdy x ydxdy x ydxdy ,所 以11 2( cos sin ) 2 cos sinD Dxy x y dxdy I I x ydxdy ,故 选 (A).(5)【 答 案 】 (D)【 解 析 】 矩 阵 的 乘 法 公 式 没 有 交 换 律 ,只 有 一 些 特 殊 情 况 可 以 交 换 .由 于 A、 B 、 C 均 为 n阶 矩 阵 ,且 ABC E ,对 等 式 两 边 取 行 列 式 ,据 行 列 式 乘 法 公 式| | | | 1A B C ,得 到 0A 、 0B 、 0C ,知 A、 B 、 C 均 可 逆 ,那 么 ,对 于 A
20、BC E ,先 左乘 1A 再 右 乘 A有 1ABC E BC A BCA E ,故 应 选 (D).其 实 ,对 于 ABC E 先 右 乘 1C 再 左 乘 C,有 1ABC E AB C CAB E .三 、 (本 题 满 分 15分 ,每 小 题 5 分 .)(1)【 解 析 】 这 是 1 型 未 定 式 求 极 限 . 1 (cos 1)cos 10 0lim(cos ) lim(1 (cos 1) xxxxx xx x 令 cos 1x t ,则 0x 时 0t ,所 以 1 1cos 10 0lim(1 (cos 1) lim(1 )x tx tx t e ,所 以 01 (
21、cos 1) (cos 1)(cos 1) limcos 10 0lim(1 (cos 1) lim xx xxx xx xx xx e e .因 为 当 0x 时 ,sin x x ,所 以 220 0 02 sin 22 2(cos 1)lim lim lim 2x x xx xxx x x ,故0 (cos 1)lim 20lim(cos ) x xxxx x e e .(2)【 解 析 】 先 求 方 向 n 的 方 向 余 弦 ,再 求 , ,u u ux y z ,最 后 按 方 向 导 数 的 计 算 公 式cos cos cosu u u un x y z 求 出 方 向 导
22、数 .曲 面 2 2 22 3 6x y z 在 点 (1,1,1)P 处 的 法 向 量 为 (1,1,1)4 ,6 ,2 4 ,6 ,2 2 2,3,1Px y z x y z ,在 点 (1,1,1)P 处 指 向 外 侧 ,取 正 号 ,并 单 位 化 得 2 21 12,3,1 2,3,1 cos ,cos ,cos .142 3 1n 又 2 2 2 2 (1,1,1)2 2 2 2 (1,1,1)2 2 2 22 2 (1,1,1)6 6 6146 8 6 88 8 8146 8 6 86 8 6 8 14P PP PP Pu x xx z x y z x yu y yy z x
23、 y z x yx y x yuz z z ,所 以 方 向 导 数 cos cos cosu u u un x y z 6 2 8 3 1 1114 714 14 14 14 14 .(3)【 解 析 】 由 曲 线 2 2 ,0y zx 绕 z 轴 旋 转 一 周 而 围 成 的 旋 转 面 方 程 是 2 2 2x y z .于 是 ,是 由 旋 转 抛 物 面 2 21 ( )2z x y 与 平 面 4z 所 围 成 .曲 面 与 平 面 的 交 线 是2 2 8, 4x y z .选 用 柱 坐 标 变 换 ,令 cos , sin ,x r y r z z ,于 是:0 2 ,0
24、 4,0 2z r z ,因 此 2 2( )I x y z dV 4 2 2 20 0 0 ( )zdz d r z rdr 24 240 02 4 2 r zrr r z dz 4 20 2564 3z dz .四 、 (本 题 满 分 6 分 )【 解 析 】 曲 线 sin , ( 0, )y a x x ,则 cosdy a xdx ,所 以3(1 ) (2 )LI y dx x y dy 30 1 ( sin ) (2 sin ) cos a x x a x a x dx 23 30 1 sin 2 cos sin 22aa x ax x x dx 23 30 0 0sin 2 c
25、os sin 22aa xdx a x xdx xdx 23 20 0 0(cos 1) cos 2 sin sin 2 24aa x d x a xd x xd x 23 3 0 001cos cos 2 sin cos cos23 4aa x x a x x x x 34 43 a a .对 关 于 a的 函 数 34 43I a a 两 边 对 a求 导 数 ,其 中 0a ,并 令 0,I 得24 4 0I a .所 以 1a , 且 0,0 10,1I aI a .故 1a 为 函 数 34 4 ,( 0)3I a a a 的 极 小 值 点 ,也 是 最 小 值 点 .故 所 求
26、的 曲 线 为sin , ( 0, )y x x .五 、 (本 题 满 分 8 分 .)【 解 析 】 按 傅 式 级 数 公 式 ,先 求 ( )f x 的 傅 式 系 数 na 与 nb .因 ( )f x 为 偶 函 数 ,所 以1 ( )sin 0 ( 1,2,3, )ln l nb f x xdx nl l ,01 2( )cos ( )cosl ln l n na f x xdx f x xdxl l l l 1 1 10 0 022 (2 )cos 4 cos sinx n xdx n xdx xd n xn 1 2 202 2(cos 1)sin ( 1,2,3, )nn x
27、dx nn n ,10 02 (2 ) 5a x dx .因 为 ( ) 2 | |f x x 在 区 间 ( 1 1)x 上 满 足 狄 利 克 雷 收 敛 定 理 的 条 件 ,所 以0 1( ) 2 | | cos sin2 n nna n nf x x a x b xl l 2 215 2(cos 1) cos2 n n n xn 2 215 4 1 cos(2 1) ( 1 1)2 (2 1)n n x xn .令 0x ,有 2 215 4 1(0) 2 0 cos02 (2 1)nf n ,所 以 , 221 1(2 1) 8n n .又 2 2 2 2 21 1 1 11 1
28、1 1 1 1(2 1) (2 ) (2 1) 4n n n nn n n n n ,所 以 , 2213 14 8n n ,即 221 1 6n n .六 、 (本 题 满 分 7 分 .)【 解 析 】 由 定 积 分 中 值 定 理 可 知 ,对 于 123 ( )f x dx ,在 区 间 2( ,1)3 上 存 在 一 点 使 得123 2 1( ) ( )(1 ) ( )3 3f x dx f f ,即 1233 ( ) ( ) (0)f x dx f f .由 罗 尔 定 理 可 知 ,在 区 间 (0,1) 内 存 在 一 点 (0 1)c c ,使 得 ( ) 0f c .七
29、 、 (本 题 满 分 8 分 )【 解 析 】 设 1 1 2 2 3 3 4 4x x x x ,按 分 量 写 出 ,则 有1 2 3 42 3 3 41 2 3 41 2 3 412 12 3 ( 2) 4 33 5 ( 8) 5x x x xx x xx x a x x bx x x a x .对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 作 初 等 行 变 换 :第 一 行 分 别 乘 以 有 2 、 3 加 到 第 三 行 和 第 四 行 上 ,再 第 二 行 乘 以 1 、 2 加 到 第 三 行 和第 四 行 上 ,有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 2 1 0 1
30、1 2 12 3 2 4 3 0 1 2 13 5 1 8 5 0 2 2 5 2A a b a ba a 1 1 1 1 10 1 1 2 10 0 1 00 0 0 1 0a ba ,所 以 ,当 1, 0a b 时 , ( ) 1 ( )r A r A ,方 程 组 无 解 .即 是 不 存 在 1 2 3 4x ,x ,x ,x 使 得1 1 2 2 3 3 4 4x x x x 成 立 , 不 能 表 示 成 1 2 3 4 、 、 、 的 线 性 组 合 ；当 1a 时 , ( ) ( ) 4.r A r A 方 程 组 有 唯 一 解 2 1, , ,01 1 1 Tb a b
31、ba a a ,故 有 唯 一 表 达 式 ,且 1 2 3 42 1 01 1 1b a b ba a a .【 相 关 知 识 点 】 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 判 定 定 理 ：设 A是 m n 矩 阵 ,线 性 方 程 组 Ax b 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是 系 数 矩 阵 的 秩 等 于 增 广 矩 阵 A A b 的 秩 ,即 是 ( ) ( )r A r A (或 者 说 ,b 可 由 A 的 列 向 量 1 2, , , n 线 表 出 ,亦 等 同 于1 2, , , n 与 1 2, , , ,n b 是 等 价 向 量 组 ).设 A是 m
32、 n 矩 阵 ,线 性 方 程 组 Ax b ,则(1) 有 唯 一 解 ( ) ( ) .r A r A n (2) 有 无 穷 多 解 ( ) ( ) .r A r A n (3) 无 解 ( ) 1 ( ).r A r A b 不 能 由 A的 列 向 量 1 2, , , n 线 表 出 .八 、 (本 题 满 分 6 分 )【 解 析 】 方 法 1： 因 为 A为 n阶 正 定 阵 ,故 存 在 正 交 矩 阵 Q,使1 21T NQ AQ Q AQ ,其 中 0( 1,2, )i i n , i 是 A的 特 征 值 .因 此 ( )T T TQ A E Q Q AQ Q Q E
33、 两 端 取 行 列 式 得 | | | | | | | ( ) | | | ( 1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E ,从 而 | | 1A E .方 法 2： 设 A的 n个 特 征 值 是 1 2 n, , , . 由 于 A为 n阶 正 定 阵 ,故 特 征 值 全 大 于 0.由 为 A的 特 征 值 可 知 ,存 在 非 零 向 量 使 A ,两 端 同 时 加 上 ,得 1A E .按 特 征 值 定 义 知 1 是 A E 的 特 征 值 .因 为 A E 的 特 征 值 是1 21 1 1n, , , . 它 们 全 大 于 1,根 据 iA ,知 | |
34、 ( 1) 1iA E .【 相 关 知 识 点 】 阵 特 征 值 与 特 征 向 量 的 定 义 ： 设 A是 n阶 矩 阵 ,若 存 在 数 及 非 零 的 n维 列 向 量 X使 得 AX X 成 立 ,则 称 是 矩 阵 A的 特 征 值 ,称 非 零 向 量 X 是 矩 阵 A的 特 征 向 量 .九 、 (本 题 满 分 8 分 )【 解 析 】 曲 线 ( )y y x 在 点 ( , )P x y 处 的 法 线 方 程 为1 ( )Y y X xy (当 0y 时 ),它 与 x轴 的 交 点 是 ( ,0)Q x yy ,从 而 12 2 2 2| | ( ) (1 )P
35、Q yy y y y .当 0y 时 ,有 ( ,0),| |Q x PQ y ,上 式 仍 然 成 立 .因 此 ,根 据 题 意 得 微 分 方 程 3 12 22 21(1 ) (1 )yy y y ,即 21yy y .这 是 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 ,且 当 1x 时 , 1, 0y y .令 ( )y P y ,则 dPy P dy ,二 阶 方 程 降 为 一 阶 方 程 21dPyP Pdy ,即 21PdP dyP y .即 21y C P ,C为 常 数 .因 为 当 1x 时 , 1, 0y P y ,所 以 1C ,即 2 21 1y P y ,所 以
36、2 1y y .分 离 变 量 得 2 1dy dxy .令 secy t ,并 积 分 ,则 上 式 左 端 变 为2 sec tan ln sec tantan1dy t tdt t t Cty 2 2ln sec sec 1 ln 1t t C y y C .因 曲 线 在 上 半 平 面 ,所 以 2 1 0y y ,即 2ln 1y y C x .故 2 1 xy y Ce .当 1x 时 , 1,y 当 x前 取 +时 , 1C e , 2 11 xy y e ,22 112 2 21 1 11 ( 1)( 1) 1 xxy yy y eey y y y y y ；当 x前 取 时
37、 ,C e , 2 11 xy y e ,22 112 2 21 1 11 ( 1)( 1) 1 xxy yy y eey y y y y y ；所 以 ( 1) ( 1)1 ( )2 x xy e e .十 、 填 空 题 (本 题 满 分 6 分 ,每 小 题 3 分 .)(1)【 解 析 】 一 般 说 来 ,若 计 算 正 态 分 布 随 机 变 量 在 某 一 范 围 内 取 值 的 概 率 ,应 该 已 知 分 布 的 两 个 参数 和 2 ,否 则 应 先 根 据 题 设 条 件 求 出 , 2 ,再 计 算 有 关 事 件 的 概 率 ,本 题 可 从2( ) 0.8 ,通 过
38、 查 ( )x 表 求 出 ,但 是 注 意 到 所 求 概 率 ( 0)P x 即 是 2( ) 与 2( ) 之 间 的关 系 ,可 以 直 接 由 2( ) 的 值 计 算 出 2( ) .因 为 2(2, )X N ,所 以 可 标 准 化 得 2 (0,1)X N ,由 标 准 正 态 分 布 函 数 概 率 的 计 算 公 式 ,有 4 2 2 2(2 4) ( ) ( )P x ,2( ) (2 4) (0) 0.8P x .由 正 态 分 布 函 数 的 对 称 性 可 得 到 0 2 2 2( 0) ( ) ( ) 1 ( ) 0.2P x .(2)【 解 析 】 设 事 件
39、 A=“ 掷 的 点 和 原 点 的 连 线 与 x轴 的 夹 角 小 于 4 ” ,这 是 一 个 几 何 型 概 率 的 计 算 问 题 .由 几 何 概 率 公 式( ) DSP A S 半 圆 ,而 212S a半 圆 ,2 214 1 12 4D OACS S S a a 圆 , xyO A BD C故 2 221 1 1 12 4( ) 1 22a aP A a .十 一 、 (本 题 满 分 6 分 )【 解 析 】 二 维 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 等 于 对 应 区 域 的 二 重 积 分 ,所 以 有 2( ) 2 ( , )x y zF z P Z z P
40、X Y z f x y dxdy .当 0z 时 , ( ) 0F z .因 为 2x y z 在 直 线 2 0x y 的 下 方与 0, 0x y (即 第 一 象 限 )没 有 公 共 区 域 ,所 以 ( ) 0F z .当 0z 时 , 2x y z 在 直 线 2 0x y 的 上 方 与 第 一 象 限 相 交 成 一 个 三 角 形 区 域 D,此 即 为 积 分 区 间 .( 2 )20 0 0( ) 2 ( ) 1z xz zx y x z z zF z dx e dy e e dx e ze .所 以 2Z X Y 的 分 布 函 数 0, 0,( ) 1 , 0. z z zF z e ze z xyO 2 0x y zD
